文献[1]运用Leggett-Williams不动点定理研究了一类二阶边值问题

3个正解的存在性.受文献[1]的启发，并且基于一些基本性质的结果^[2-6]，本文利用Leggett-Williams不动点定理，研究以下高阶边值问题：

3个正解的存在性，其中n≥2，p∈{1，2，…，n-2}.

定义1^[7-8]  设E=(E，‖·‖)是Banach空间，$P \subset E$非空，且满足：

(ⅰ) 对∀u，v∈P，α，β≥0，有αu+βv∈P；

(ⅱ) 如果-u，u∈P，必有u=0.

则称P是E中的锥.

定义2^[9]  设E为Bananch空间，$P \subset E$为E中的锥，如果映射Φ：$P \longrightarrow \mathbb{R}_{+}$非负连续，且满足

则称Φ为凹函数.

定义3^[10]  设E为Bananch空间，$P \subset E$为E中的锥，如果映射φ：$P \longrightarrow \mathbb{R}_{+}$非负连续，且满足

则称φ为凸函数.

定义4^[1]  令0 < a < b，α是非负连续凹函数，定义凸子集P_r和P(α，a，b)：

引理1^[11]  令$T : \overline{P_{c}} \longrightarrow \overline{P_{c}}$是全连续算子，且α是非负连续凹函数，对于$x \in \overline{P_{c}}$，有α(x)≤‖x‖.假设存在0 < a < b < d≤c，使得：

(C₁) {x∈P(α，b，d)：α(x)>b}≠∅，且对于x∈P(α，b，d)，有α(Ax)>b；

(C₂) 对于‖x‖ < a，有‖Ax‖ < a；

(C₃) 对于x∈P(α，b，c)，α(Ax)>b，有‖Ax‖>d.

则在A上至少有3个不动点x₁，x₂，x₃，使得：

引理2^[12]   n阶两点边值问题

的解可以表示为

其中$n \geqslant 2$，$p \in\{1,2, \cdots, n-2\}$，Green 函数为

引理3^[12]  任意给定$s \in[0, 1], G(\bullet, s) :[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}$是连续的，则对于(2)式给出的G(t，s)有如下性质：

引理4  由于f是连续的，则边值问题(1)的解非负，且满足$\underset{t\in [\eta \cdot 1]}{\mathop{\min }}\,\ u(t)\ge \gamma \text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }u\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }$，其中$\gamma = {\eta ^{n - 1}}, \eta \in \left[{0, \; 1} \right]$.

证  因为

所以

又因为$\frac{G(t, s)}{G(1, s)} \geqslant \eta^{n-1}$，则

令γ=η^n-1，所以

记E=C[0, 1]，规定它的范数为

则E是Banach空间.

定义锥

记：

则0 < m < M.定义$\alpha : P \longrightarrow[0, \infty), \alpha(u)=\min \limits_{t \in[\eta, 1]} u(t)$.对于u∈K，有α(u)≤‖u‖.

定理1  假设存在a，b，c，使得$0 <a<b \leqslant \min \left\{\gamma, \frac{m}{M}\right\} c$，且：

(H₁) $f(u) \leqslant \frac{c}{M}, u \in[0, c]$

(H₂)$f(u)<\frac{a}{M}, u \in[0, a]$；

(H₃) $f(u) \geqslant \frac{b}{m}, u \in\left[b, \frac{b}{\gamma}\right]$.

则边值问题(1)有3个正解u₁，u₂，u₃，且：

证  首先定义算子T

如果u∈P，根据G(t，s)的性质，得Tu(t)≥0.根据引理4，有Tu∈P，也就是T：$P \longrightarrow P$，则T是全连续算子.

现说明引理1的条件都满足.对任意u∈P，有α(u)≤‖u‖.如果$u \in \overline{P_{c}}$，则‖u‖≤c，且(H₁)成立，则我们有

因此，$T : \overline{P_{c}} \longrightarrow \overline{P_{c}}$.同理，如果$u \in \overline{P_{a}}$，且(H₂)成立，则$T : \overline{P_{a}} \longrightarrow \overline{P_{a}}$.因此，引理1的条件(C₂)满足.

选取$u(t)=\frac{b}{\gamma}, 0 \leqslant t \leqslant 1$，有：

所以

如果$u \in P\left(\alpha, b, \frac{b}{\gamma}\right)$，则$b \leqslant u(s) \leqslant \frac{b}{\gamma}$，对于s∈[η，1]，由(H₃)知

因此引理1的条件(C₁)满足.

如果u∈P(α，b，c)，且$\|T u\|>\frac{b}{\gamma}$，则

因此，条件(C₃)满足.根据引理1得，存在正解u₁，u₂，u₃，使得：