我们主要考虑如下形式的Schrödinger方程：

其中$N \geqslant 4,2<p<2 ^*=\frac{2 N}{N-2}, \lambda$为正的实数，并且Q满足如下条件：

(Q) $ Q \in C\left(\mathbb{R}^{N}\right)$，对任意的$x \in \mathbb{R}^{N}$，有

并且当$x \rightarrow x_{0}$时，有

近年来，很多学者研究了带有Sobolev临界指数的Schrödinger方程，在许多文献中均假设Q是周期的或者渐近周期的.比如：文献[1-2]研究了Q是周期的情况，并得到了方程(1)非平凡解的存在性；文献[3-5]指出若Q是渐近周期的，则方程(1)有基态解；文献[6-9]研究了Q=1的情况.对于带有临界项的Schrödinger方程的研究，之前均要求Q是周期的或者渐近周期的，本文去掉了Q是周期的或者渐近周期的这个条件.更多相关研究可参考文献[10-12].本文的主要结果为：

定理1  假设N≥4，2 < p < 2^*，条件(Q)成立.那么对任意的λ>0，方程(1)存在正基态径向解.

注1  在某种意义上，由于文献[6]未考虑Q≠1的情况，因此我们完善了文献[6]的结果.我们需指出：满足条件(Q)且不是周期的或者渐近周期的函数是存在的，如$Q(|x|)=\mathrm{e}^{-|x|^{2}}+\cos \left(|x|^{2}\right)+2$.

方程(1)对应的能量泛函为$I : H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \longrightarrow \mathbb{R}$为

其中$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$是$H^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$中全体径向函数构成的子空间.

易知$I(u) \in C^{1}\left(H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right), \mathbb{R}\right)$，并且对任意的$v \in H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$，有

定义空间$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$的范数为

定义如下形式的Nehari流形：

与文献[13]中引理4.1以及文献[9]中引理3.1的证明类似，可以得到I限制在$\mathscr{N}$上的一些性质.

引理1  假设条件(Q)成立，则下面结论成立：

(ⅰ)对任意的$u \in H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \backslash\{0\}$，存在唯一的t_u=t(u)>0，使得$t_{u} u \in \mathscr{N}$，且$I\left(t_{u} u\right)=\max \limits_{t \geqslant 0} I(t u)$；

(ⅱ)流形N是正则的；

(ⅱ)若定义$m=\inf \limits _{u \in \mathscr{N}} I(u)$，则m>0.

引理2  假设条件(Q)成立，序列$\left\{u_{n}\right\} \subset H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$使得：

则序列{u_n}有收敛子列.

证  证明的思路与文献[13]中引理1.44类似.因为$I^{\prime}\left(u_{n}\right) \rightarrow 0$，且对所有$x \in \mathbb{R}^{N}$有Q(|x|)>0，结合2 < p < 2^*，可知

因此，序列{u_n}在$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$中是有界的.必要时，可取{u_n}的一个子列(不妨仍记为{u_n})，则存在u∈$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$，使得

因为序列{u_n}是有界的且满足I′(u_n)0，则$\left\langle I^{\prime}\left(u_{n}\right), u_{n}\right\rangle \rightarrow 0$.又因为在$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$中$u_{n} \rightharpoonup u$，易证〈I′(u)，u〉=0.结合2 < p < 2^*和Q(|x|)>0，有

令v_n=u_n-u.由于在$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$中$u_{n} \rightarrow u$，则

因为在$L^{p}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$中$u_{n} \rightharpoonup u$，则

运用Brézis-Lieb引理，可推断

由$\frac{1}{2} \times(2)-\frac{1}{p} \times(3)-\frac{1}{2^{*}} \times(4)$和$I\left(u_{n}\right) \rightarrow c$，可知当$n \rightarrow \infty$时，有

此外，由(2)-(4)式和〈I′(u_n)，u_n〉→0，可得

则

因此，当$n \rightarrow \infty$时，存在非负常数b，使得：

若b=0，我们可得‖v_n‖→0，则结论成立.然而，若b>0，由于$Q\left(x_{0}\right)=\max \limits_{x \in \mathbb{R}^{N}} Q(|x|)>0$，并运用Sobolev嵌入定理，可以推断

结合(6)式，可得$\left(Q\left(x_{0}\right)\right)^{\frac{2}{2^{*}}} b \geqslant S b^{\frac{2}{2^{*}}}$.从而$b \geqslant S^{\frac{N}{2}}\left(Q\left(x_{0}\right)\right)^{\frac{2-N}{2}}$.将(6)式代入(5)式，由I(u)≥0可知$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{*}}\right) b \leqslant c$.因此

矛盾，则b>0不成立，故结论成立.

众所周知，方程-Δu=|u|^2*-2u有一个径向的基态解

定义径向函数$\psi(x) \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{N}, [0, 1]\right)$，使得：当x∈B(x₀，ρ)时，ψ(x)≡1；当$x \in \mathbb{R}^{N} \backslash B\left(x_{0}, 2_{\rho}\right)$时，ψ(x)≡0.令u_ε(x)=ψ(x)U_ε(x)，其中ε>0，且：

根据文献[14]，可得如下估计：

以及

引理3  若定理1的条件都满足，则

证  对任意的$u \in H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \backslash\{0\}$，不难验证$c_{1} \leqslant \max\limits _{t \geqslant 0} I(t u)$.因此只需证存在$u_{0} \in H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \backslash\{0\}$，使得$\max\limits _{t \geqslant 0} I\left(t u_{0}\right) < \frac{1}{N} S^{\frac{N}{2}}\left(Q\left(x_{0}\right)\right)^{\frac{2-N}{2}}$即可.利用文献[14]中的方法，当N≥4且p>2时，有

根据文献[4]，可知

由引理1可知，存在t_ε>0，使得$\max\limits _{t \geqslant 0} I\left(t u_{\varepsilon}\right)=I\left(t_{\varepsilon} u_{\varepsilon}\right)$.利用文献[14]中引理3.6的证明思路，可证得：对于充分小的ε，有t_ε≤C.定义：

当N≥4时，根据(8)-(12)式，可得

因此

此外，因为N≥4且2 < p < 2^*，通过计算可得0 < α < 2以及2≤N-2 < β < N，故

定理1的证明  类似文献[13]中引理4.1和定理4.2的证明，可得

由引理1，利用Ekeland变分原理，可知存在序列$\left\{u_{n}\right\} \subset N$，使得当n→∞时，有：

与文献[9]中引理4.1的证明类似，可证得$I^{\prime}\left(u_{n}\right) \rightarrow 0$.由引理2和引理3，可知在$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$中$u_{n} \rightarrow u$，I(u)=m且I′(u)=0.容易验证$|u| \in \mathscr{N}$以及I(|u|)=I(u)=m.运用拉格朗日乘子定理知，|u|是方程(1)的非负基态解.由强极大值原理可得u>0.