考虑如下带临界指数的Kirchhoff型问题：

其中$a, b, \lambda>0, 1 \leqslant q<6, k \in L^{\frac{6}{6-q}}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$为非零非负函数. 6为$D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$嵌入$L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right)(s \in[1, 6])$的Sobolev临界指数. $\|u\|=\left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2} \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{2}}$为空间$D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$的标准范数，$L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$空间的标准函数为

当q=1时，文献[1]研究了问题(1)当λ>0充分小时两个正解的存在性.当1<q < 2时，文献[2]利用变分方法获得了问题(1)两个正解的存在性.文献[3]研究了q=2的情况.特别地，当2<q < 6时，文献[4]研究了问题(1)，其中$k \in L^{\frac{6}{6-q}}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$为非零非负函数并满足如下条件：

(K) 存在$x_{0} \in \mathbb{R}^{3}, \delta, \rho>0$，使得对任意|x-x₀|<ρ和0<β < 3，有k(x)≥δ|x-x₀|^-β.利用变分法，得到：当$2<q<4, 3-\frac{2 q}{3}<\beta<3$，存在$\lambda_{*}>0$，使得对∀0<λ<λ_*，问题(1)都至少存在一个正的基态解；当4≤q < 6，0<β < 3时，对∀λ>0，问题(1)都至少存在一个正的基态解.文献[5-7]也研究了带临界指数的Kirchhoff型问题.

值得思考的是：当2<q < 6时，在去掉条件(K)的情况下，问题(1)是否存在正解?本文将给出一个肯定的答案.

定义问题(1)对应的能量泛函为

显然，$I \in C^{1}\left(D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right), \mathbb{R}\right)$，且对$\forall u, v \in D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$，有

众所周知，问题(1)的解与能量泛函I在空间D^1，2(R³)上的临界点是一一对应的.记S为D^1，2(R³) L⁶(R³)的最佳Sobolev常数，即

根据文献[4]中的引理2.2，可以获得能量泛函I在空间D^1，2(R³)上具有如下山路结构：

命题1  假设a，b>0，2<q < 6，λ>0，则I满足以下条件：

(ⅰ)存在两个正常数r，ρ>0，使得I|_Sr≥ρ，其中$S_{r}=\left\{u \in D^{1.2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) :\|u\|=r\right\}$；

(ⅱ)存在$u_{0} \in D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$且‖u₀‖>r，使得I(u₀) < 0.

记

根据文献[4]中引理2.4和引理2.5，可得如下局部(PS)_c条件：

命题2  假设a，b>0，λ>0，则：

(ⅰ) 当2<q < 4时，泛函I在$D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$上满足局部(PS)_c条件，其中$c <\mathit{\mathit{\Lambda} } -D \lambda^{\frac{6}{6-q}}$，D为与λ无关的正常数；

(ⅱ) 当4≤q < 6时，泛函I在$D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$上满足局部(PS)_c条件，其中c<Λ.

接下来，我们估算泛函I在$D^{1.2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$上的山路水平值.众所周知，对$\forall x \in \mathbb{R}^{3}, U(x)=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{\left(1+|x|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$为如下带临界指数项的半线性椭圆方程的所有正解：

根据文献[2]，可得

我们可得如下结论：

引理1  假设a，b>0，λ>0，则：

(ⅰ)当2<q < 4时，存在λ_*>0，使得对∀0<λ<λ_*，有$\sup _{t \geqslant 0} I(t U)<\mathit{\Lambda} -D \lambda^{\frac{6-q}{6}}$；

(ⅱ)当4≤q < 6时，有$\sup _{t \geqslant 0} I(t U)<\mathit{\Lambda} $.

证  对∀t≥0，有

显然有I(0)=0，且$\lim \limits_{t \rightarrow+\infty} I(t U)=-\infty$.根据文献[4]中的引理2.6可得，存在t_*>0满足

使得

其中t₀，T₀>0为常数.令

从而有

令g′(t)=0，可得

当0<t<t_max时，有g′(t)>0；当t>t_max时，有g′(t) < 0.容易得到$\sup\limits _{t \geqslant 0} g(t)=g\left(t_{\max }\right)$，且根据(3)式，我们有

而对于$\frac{\lambda t^{q}}{q} \int_{\mathbb{R}^{3}} k(x)|U|^{q} \mathrm{d} x$，利用Hölder不等式以及(2)式和(3)式，可得

因此，根据(4)式，可得

当2<q < 4时，对正常数D，存在λ_*>0，使得对∀0<λ<λ_*，有

结合(6)式可得，对∀0<λ<λ_*，有$\sup _{t \geqslant 0} I(t U)<\Lambda-D \lambda^{\frac{6-q}{6}}$.当4≤q < 6时，根据(5)式和(6)式，可得对$\sup _{t \geqslant 0} I(t U)<\mathit{\Lambda} $.

下面给出本文的主要结论及其证明：

定理1  假设a，b>0，2<q < 6，系数函数$k \in L^{\frac{6}{6-q}}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$为非零非负函数，则有：

(ⅰ) 当2<q < 4时，存在λ_*>0，使得对∀0<λ<λ_*，问题(1)至少有一个正能量的正山路解；

(ⅱ) 当4≤q < 6时，对∀λ>0，问题(1)至少有一个正能量的正山路解；

(ⅲ) 在问题(1)具有正山路解的情况下，问题(1)必定存在一个正基态解.

证  根据命题1可知，泛函I在空间$D^{1, 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$上具有山路几何结构.从而，存在序列$\left\{u_{n}\right\} \subset D^{1.2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$，使得当n→∞时，有：

其中：

这里ρ，u₀为命题1中所定义.由于I(u)=I(|u|)，不妨假设u_n≥0.应用山路引理，根据命题2以及引理1可知，当2<q < 4时，有$c <\mathit{\Lambda} -D \lambda^{\frac{6}{6-q}}$，且{u_n}在$D^{1 \cdot 2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$中，设u_n→u_*且u_*≥0，从而有$I\left(u_{*}\right)=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} I\left(u_{n}\right)=c>\rho>0$，且u_*为问题(1)的非负解.再根据强极大值原理，可得u_*为问题(1)正能量的正山路解.当4≤q < 6时，类似地，可证得问题(1)至少有一个正能量的正山路解.最后，根据文献[4]中定理1.1和定理1.2的证明，同样可得问题(1)必定存在一个正基态解.