设A是自然序集[n]的非空子集，设α∈$\mathscr{OI}$_(n，r)^k，用im(α)表示α的象集，ker(α)表示dom(α)上的如下等价关系：ker(α)={(x，y)∈dom(α)×dom(α)：xα=yα}.对任意的t∈im(α)，tα^-1表示t的原象集且|tα^-1|=1.若|im(α)|=r，1≤r≤n-1，则由双边k型-保序性容易验证α有如下表示法：

其中a₁ < a₂ < … < a_i-1 < a_i≤k < a_i+1 < … < a_r，b₁ < b₂ < … < b_i-1 < b_i≤k < b_i+1 < … < b_r，易证α是正则元，且$\mathscr{OI}$_n^k是正则半群.易见对任意的i∈{1，2，…，r}，当a_i=b_i时，α是半群$\mathscr{OI}$_n^k的幂等元.

为叙述方便，这里引用Green-等价关系，不难验证，在半群$\mathscr{OI}$_(n，r)^k中$\mathscr{L}$，$\mathscr{R}$，$\mathscr{D}$，$\mathscr{K}$^[1]有如下刻划：对任意的α，β∈$\mathscr{OI}$_(n，r)^k，有

(ⅰ) (α，β)∈$\mathscr{L}$当且仅当im(α)=im(β)；

(ⅱ) (α，β)∈$\mathscr{R}$当且仅当ker(α)=ker(β)；

(ⅲ) (α，β)∈$\mathscr{D}$当且仅当|im(α)|=|im(β)|且|im(α)∩[1，k]|=|im(β)∩[1，k]|；

(ⅳ) (α，β)∈$\mathscr{K}$当且仅当|im(α)|=|im(β)|.

易证$\mathscr{K} = \mathop \cup \limits_{i = 1}^S {\mathscr{D}_i}$，其中$s = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {r + 1} & {k \ge r, n - k \ge r}\\ {n - k + 1} & {k \ge r, n - k < r}\\ {k + 1} & {k < r, n - k \ge r}\\ {n - r + 1} & {k < r, n - k < r} \end{array}} \right.$

易见$\mathscr{L}$⊆$\mathscr{K}$，$\mathscr{R}$⊆$\mathscr{K}$.记$\mathscr{K}$_r={α∈$\mathscr{OI}$_(n，r)^k：|im(α)|=r}，0≤r≤n-1，1≤k≤n-1.显然$\mathscr{K}$₀，$\mathscr{K}$₁，$\mathscr{K}$₂，…，$\mathscr{K}$_r-1，$\mathscr{K}$_r恰好是$\mathscr{OI}$_(n，r)^k的r+1个$\mathscr{K}$-类，不难验证$\mathscr{OI}_n^k = \bigcup\limits_{i = 1}^r {{\mathscr{K}_i}} $是具有包含关系$\mathscr{OI}$_(n，0)^k⊂$\mathscr{OI}$_(n，1)^k⊂…⊂$\mathscr{OI}$_(n，n-1)^k=$\mathscr{OI}$_n^k的双边理想链.

定义1  用X_n(r)表示自然序集[n]={1，2，3，…，n-1，n}(n≥4)的所有r元子集，则X_n(r)中共有C_n^r(其中C_n^r表示从n个元素中取出r个元素的组合数)个元素.令t=C_n^r，记X_n(r)={A₁，A₂，…，A_t}，其中A_i={a₁ < a₂ < … < a_i < … < a_r}，A_i⊆[n]且|A_i|=r(i=1，2，…，t-1，t).将X_n(r)按照不同$\mathscr{D}$关系分类，记为[D]={A，D∈X_n(r)：|A∩[1，k]|=|D∩[1，k]|}.进一步可证：对于任意的α，β∈ [D]，其中$\alpha = \left({\begin{array}{*{20}{l}} {{A_i}}\\ {{A_j}} \end{array}} \right)$，$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} {{A_p}}\\ {{A_q}} \end{array}} \right)$，可知|A_j|=|A_q|且|A_j∩[1，k]|=|A_q∩[1，k]|.

本文未定义的术语及符号参见文献[12-13].

引理1  对0≤r≤1，有$\mathscr{K}$_r⊆$\mathscr{K}$_r+1· $\mathscr{K}$_r+1.

证  用ϕ表示空变换，则$\mathscr{K}$₀={ϕ}，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1\\ 1 \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 2\\ 2 \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₁且ϕ=βγ，于是$\mathscr{K}$₀⊆$\mathscr{K}$₁· $\mathscr{K}$₁.

对任意α∈ $\mathscr{K}$₁，不妨设$\alpha = \left({\begin{array}{*{20}{l}} a\\ b \end{array}} \right)$∈$\mathscr{OI}$_n^k，注意到n≥4，取c∈[n]\{a}，分以下情况证明$\mathscr{K}$₁⊆$\mathscr{K}$₂· $\mathscr{K}$₂.

情形1  a < c且k=1

当a=k=1时，易知b=1，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1 & c\\ 1 & 2 \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1 & 3\\ b & 3 \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

当a≠1时，易知b≠1，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} a & c\\ 2 & 3 \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2\\ {b - 1} & b \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

情形2  a < c且k≠1

当a≤k < c时，易知b≤k，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} a & c\\ b & c \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{l}} b & {c + 1}\\ b & {c + 1} \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

当a < c≤k时，易知b≤k，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{c}} a & c\\ {k - 1} & k \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {k - 1} & {k + 1}\\ b & {k + 1} \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

当k < a < c时，易知b>k，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{c}} a & c\\ {k + 1} & {k + 2} \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} k & {k + 1}\\ k & b \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

情形3  a>c且k=1

当c=k=1时，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} c & a\\ 1 & 2 \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 3\\ b & {b + 1} \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

当c≠1时，易知1 < c < a，b>1，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{l}} c & a\\ 2 & 3 \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1 & 3\\ 1 & b \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

情形4  a>c且k≠1

当c≤k < a时，易知b>k，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{c}} c & a\\ k & {k + 1} \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {k + 1} & {k + 2}\\ b & {b + 1} \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

当k < c < a时，易知b>k，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{c}} c & a\\ {k + 1} & {k + 2} \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {k + 2}\\ 1 & b \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

当c < a≤k时，易知b≤k，令$\beta = \left({\begin{array}{*{20}{c}} c & a\\ {k - 1} & k \end{array}} \right), \gamma = \left({\begin{array}{*{20}{c}} k & {k + 1}\\ b & {k + 1} \end{array}} \right)$，则β，γ∈ $\mathscr{K}$₂且α=βγ.

综上所述，对0≤r≤1，有$\mathscr{K}$_r⊆$\mathscr{K}$_r+1· $\mathscr{K}$_r+1.

引理2  对2≤r≤m-1，3≤m≤n-1，有$\mathscr{K}$_r⊆$\mathscr{K}$_r+1· $\mathscr{K}$_r+1.

证  任取

其中a₁ < a₂ < … < a_i-1 < a_i≤k < a_i+1 < … < a_r，b₁ < b₂ < … < b_i-1 < b_i≤k < b_i+1 < … < b_r，0≤i≤r，令a₀=0.

以下分两种情况证明α∈ $\mathscr{K}$_r+1· $\mathscr{K}$_r+1.

情形1  α为幂等元.

显然α是dom(α)上的恒等变换.由r≤n-2可知，|[n]\dom(α)|≥2.任取x₁，x₂∈[n]\dom(α).设ε₁，ε₂分别为dom(ε₁)=dom(α)∪{x₁}，dom(ε₂)=dom(α)∪{x₂}上的恒等变换，则ε₁，ε₂∈E($\mathscr{K}$_r+1)且α=ε₁ε₂.

情形2  α为非幂等元.

由α的标准表示可知，当i=0或i=r时，α∈ $\mathscr{OI}$_n.由文献[1]的引理4易知，存在β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1，使得α=βγ.下证0 < i < r，可分3种子情形讨论：

情形2.1  |{1，2，…，k}\{a₁，a₂，…，a_i}|=0，|{k+1，k+2，…，n}\{a_i+1，a_i+2，…，a_r}|≠0.因α∈ $\mathscr{K}$_r且2≤r≤n-2，可知2≤|{k+1，k+2，…，n}\{a_i+1，a_i+2，…，a_r}|≤n-k.即

当a_r≠n且b_r≠n时，令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

当a_r≠n且b_r=n时，由2≤r≤n-2知，存在p∈{i，i+2，…，r-1}，使得b_p+1-b_p>1.令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

当a_r=n且b_r≠n时，由2≤r≤n-2知，存在p∈{i，i+2，…，r-1}，使得a_p+1-a_p>1.令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

当a_r=n且b_r=n时，由2≤r≤n-2知，存在p，q∈{i，i+2，…，r-1}，使得a_p+1-a_p>1，b_q+1-b_q>1.当p < q时，令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.同理可证，当p≥q时，结论仍然成立.

情形2.2  |{1，2，…，k}\{a₁，a₂，…，a_i}|≠0，|{k+1，k+2，…，n}\{a_i+1，a_i+2，…，a_r}|=0.因α∈ $\mathscr{K}$_r且2≤r≤n-2，可知2≤|{1，2，…，k}\{a₁，a₂，…，a_i}|≤k.即

当a₁≠1且b₁≠1时，令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

当a₁≠1且b₁=1时，由2≤r≤n-2知，存在p∈{1，2，…，i-1}，使得b_p+1-b_p>1.令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

当a₁=1且b₁≠1时，由2≤r≤n-2知，存在p∈{1，2，…，i-1}，使得a_p+1-a_p>1.令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

当a₁=1且b₁=1时，由2≤r≤n-2知，存在p，q∈{1，2，…，i-1}，使得a_p+1-a_p>1，b_p+1-b_p>1，当p < q时，令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.同理可证，当p≥q时，结论仍然成立.

情形2.3 |{1，2，…，k}\{a₁，a₂，…，a_i}|≠0，|{k+1，k+2，…，n}\{a_i+1，a_i+2，…，a_r}|≠0.由r≤n-2可得，存在两个不同元素x，y∈[n]，使得x∈{1，2，…，k}\{a₁，a₂，…，a_i}，y∈{k+1，k+2，…，n}\{b_i+1，b_i+2，…，b_r}.假设a_p < x < a_p+1(p∈{1，2，…，i})，b_q < y < b_q+1(q∈{i+1，i+2，…，r-1})，令

则β，γ∈ $\mathscr{K}$_r+1且α=βγ.

综上所述，α∈ $\mathscr{K}$_r+1· $\mathscr{K}$_r+1，再由α的任意性可得$\mathscr{K}$_r⊆$\mathscr{K}$_r+1· $\mathscr{K}$_r+1.

定理1的证明  由引理1引理2可知，任意的α∈$\mathscr{OI}$_(n，r)^k可以表达成$\mathscr{OI}$_(n，r)^k的顶端$\mathscr{K}$-类$\mathscr{K}$_r中秩为r的若干元素的乘积或α∈ $\mathscr{K}$_r.换句话说，$\mathscr{K}$_r是$\mathscr{OI}$_(n，r)^k的生成集，即$\mathscr{OI}$_(n，r)^k=〈 $\mathscr{K}$_r〉.

引理3  设α，β∈$\mathscr{OI}$_(n，r)^k，若(α，β)∈ $\mathscr{K}$且(α，αβ)∈ $\mathscr{K}$，则(αβ，β)∈ $\mathscr{L}$，(α，αβ)∈ $\mathscr{R}$.

证  设α，β∈$\mathscr{OI}$_(n，r)^k，若(α，β)∈ $\mathscr{K}$且(α，αβ)∈ $\mathscr{K}$，则|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|.再由im(αβ)⊆im(β)，ker(α)⊆ker(αβ)与[n]的有限性知，im(αβ)=im(β)，ker(α)=ker(αβ)，即(αβ，β)∈ $\mathscr{L}$，(α，αβ)∈ $\mathscr{R}$.

由引理3可知，$\mathscr{OI}$_(n，r)^k的任意一个生成集都必须覆盖$\mathscr{K}$_r中每个$\mathscr{L}$-类和$\mathscr{R}$-类.由组合知识可知，$\mathscr{K}$_r中共有C_n^r个$\mathscr{L}$-类和C_n^r个$\mathscr{R}$-类.因此，得到如下推论1：

推论1  设自然数n≥3，则rank($\mathscr{OI}$_(n，r)^k)≥C_n^r.

引理4  设自然数n≥3，则rank($\mathscr{OI}$_(n，0)^k)=1，rank($\mathscr{OI}$_(n，1)^k)=C_n¹=n.

证  由引理1的证明过程易知$\mathscr{OI}$_(n，0)^k= $\mathscr{J}$₀={Ø}，显然有rank($\mathscr{OI}$_(n，0)^k)=1.下证rank($\mathscr{OI}$_(n，1)^k)=C_n¹=n.

情形1  当k=1时，首先验证${\beta _1} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1\\ 1 \end{array}} \right), {\alpha _1} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 2\\ 3 \end{array}} \right), {\alpha _2} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 3\\ 4 \end{array}} \right)$，…，${\alpha _{i - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} i\\ {i + 1} \end{array}} \right), {\alpha _i} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {i + 1}\\ {i + 2} \end{array}} \right)$，${\alpha _{i + 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {i + 2}\\ {i + 3} \end{array}} \right)$，…，${\alpha _{n - 3}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n - 2}\\ {n - 1} \end{array}} \right), {\alpha _{n - 2}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}\\ n \end{array}} \right)$，${\alpha _{n - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} n\\ 2 \end{array}} \right)$∈ $\mathscr{K}$₁，并且这n个元素位于$\mathscr{K}$₁中不同的$\mathscr{L}$-类和不同的$\mathscr{R}$-类.令M₁={α₁，α₂，…，α_i-1，α_i，α_i+1，…，α_n-1，α_n}，则|M₁|=C_n¹=n.

其次，对任意的α∈ $\mathscr{K}$₁必存在i，j∈{1，2，3，…，n-1，n}，使得$\alpha = \left({\begin{array}{*{20}{c}} i\\ j \end{array}} \right)$，则：

(ⅰ)若i=j=1，则α=β₁；

(ⅱ)若i≠1且j≠1，当i < j时，有α=α_iα_i+1…α_j-1；

(ⅲ)当i=j时，有α=α_iα_i+1…α_n-2α_n-1α₁α₂…α_i-2α_i-1；

(ⅳ)当i>j时，有α=α_iα_i+1…α_n-2α_n-1α₁α₂…α_j-2α_j-1.

由此可见$\mathscr{K}$₁⊆〈M₁〉.结合定理1知$\mathscr{OI}$_(n，1)^k=〈M₁〉.

情形2  当k=n-1时，验证${\alpha _1} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1\\ 2 \end{array}} \right), {\alpha _2} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 2\\ 3 \end{array}} \right), {\alpha _3} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 3\\ 4 \end{array}} \right)$，…，${\alpha _{i - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {i - 1}\\ i \end{array}} \right), {\alpha _i} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right)$，${\alpha _{i + 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} {i + 1}\\ {i + 2} \end{array}} \right)$，…${\alpha _{n - 2}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n - 2}\\ {n - 1} \end{array}} \right), {\alpha _{n - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}\\ 1 \end{array}} \right)$，${\beta _1} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} n\\ n \end{array}} \right)$∈ $\mathscr{K}$₁，并且这n个元素位于$\mathscr{K}$₁中不同的$\mathscr{L}$-类和不同的$\mathscr{R}$-类.令M₂={α₁，α₂，…，α_i-1，α_i，α_i+1，…，α_n-1，α_n}，则|M₂|=C_n¹=n.

类似情形1可证$\mathscr{K}$₁⊆〈M₂〉，$\mathscr{OI}$_(n，1)^k=〈M₂〉.

情形3  当k=i，2≤i < n-1时，验证${\alpha _1} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 1\\ 2 \end{array}} \right), {\alpha _2} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 2\\ 3 \end{array}} \right), {\alpha _3} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} 3\\ 4 \end{array}} \right)$，…，${\alpha _{i - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {i - 1}\\ i \end{array}} \right)$，${\alpha _i} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} i\\ 1 \end{array}} \right)$，${\alpha _{i + 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} {i + 1}\\ {i + 2} \end{array}} \right)$，…${\alpha _{n - 2}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n - 2}\\ {n - 1} \end{array}} \right), {\alpha _{n - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}\\ n \end{array}} \right)$，${\alpha _n} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {i + 1} \end{array}} \right)$∈ $\mathscr{K}$₁，并且这n个元素位于$\mathscr{K}$₁中不同的$\mathscr{L}$-类和不同的$\mathscr{R}$-类.令M₃={α₁，α₂，…，α_i-1，α_i，α_i+1，…，α_n-1，α_n}，则|M₃|=C_n¹=n.

类似情形1可证$\mathscr{K}$₁⊆〈M₃〉，$\mathscr{OI}$_(n，1)^k=〈M₃〉.

综上所述，注意到|M₁|=|M₂|=|M₃|=C_n¹=n.进一步得到rank($\mathscr{OI}$_(n，1)^k)≤C_n¹=n.再结合推论1立即有rank($\mathscr{OI}$_(n，1)^k)=C_n¹=n.

引理5  设n≥3，2≤r≤n-1，则在$\mathscr{K}$_r中存在基数为C_n^r的集合M，使得$\mathscr{K}$_r⊆〈M〉.

证  首先，构造$\mathscr{K}$_r中基数为C_n^r的集合M.

对任意的D∈X_n(r)={D₁，D₂，…，D_t}(t=C_n^r)，不妨设[D]={D=A₁，A₂，…，A_m-1，A_m}，其中m < t=C_n^r.

若m=1，只有${\alpha _1} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} D\\ D \end{array}} \right) = {\varepsilon _D}$∈ $\mathscr{K}$_r；

若2 < m≤t=C_n^r，容易验证：${\alpha _1} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}\\ {{A_2}} \end{array}} \right), {\alpha _2} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_2}}\\ {{A_3}} \end{array}} \right), {\alpha _3} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_3}}\\ {{A_4}} \end{array}} \right)$，…，${\alpha _{i - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{i - 1}}}\\ {{A_i}} \end{array}} \right), {\alpha _i} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_i}}\\ {{A_{i + 1}}} \end{array}} \right)$，${\alpha _{i + 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{i + 1}}}\\ {{A_{i + 2}}} \end{array}} \right)$，…，${\alpha _{m - 2}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{m - 2}}}\\ {{A_{m - 1}}} \end{array}} \right), {\alpha _{m - 1}} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{m - 1}}}\\ {{A_m}} \end{array}} \right)$，${\alpha _m} = \left({\begin{array}{*{20}{l}} {{A_m}}\\ {{A_1}} \end{array}} \right)$∈ $\mathscr{K}$_r.

对其余的$\mathscr{D}$-类也用类似的方式进行构造，可以得到集合M={α₁，α₂，…，α_m-1，α_m，α_m+1，…，α_t-1，α_t}(t=C_n^r)，并且这t个元素位于$\mathscr{K}$_r中不同的$\mathscr{L}$-类和不同的$\mathscr{R}$-类.

其次，对任意的α∈ $\mathscr{K}$_r，验证α∈〈M〉，即$\mathscr{K}$_r⊆〈M〉.

对任意的α∈ $\mathscr{K}$_r，必存在D∈X_n(r)，使得im(α)，dom(α)∈[D].不失一般性可设$\alpha = \left({\begin{array}{*{20}{l}} {{A_i}}\\ {{A_j}} \end{array}} \right)$，其中A_i，A_j∈[D]={D=A₁，A₂，…，A_m-1，A_m}且i，j∈{1，2，…，m-1，m}.

若|[D]|=1，则

α=ε_D=ε_im(α)；

若|[D]|≥2，则：

当i < j时，有α=α_iα_i+1…α_j-1；

当i=j时，有α=α_iα_i+1…α_m-1α_mα₁α₂…α_i-2α_i-1；

当i>j时，有α=α_iα_i+1…α_m-1α_mα₁α₂…α_j-2α_j-1.

定理2的证明  由引理4与引理5可知，任意的α∈ $\mathscr{K}$_r可以表达为M中若干元素的乘积或α∈M，即$\mathscr{K}$_r⊆〈M〉.再由定理1知，M是$\mathscr{OI}$_(n，r)^k的生成集，即$\mathscr{OI}$_(n，r)^k=〈M〉，其中M的定义见引理4与引理5的证明过程.注意到|M|=C_n^r，进一步有rank($\mathscr{OI}$_(n，r)^k)≤C_n^r.因此，结合推论1与引理4，立即有

定理3的证明  当l=r时，显然有r($\mathscr{OI}$_(n，r)^k，$\mathscr{OI}$_(n，l)^k)=0.

当0≤l < r时，由定理1与定理2的证明过程可知

再由相关秩的定义，可知r($\mathscr{OI}$_(n，r)^k，$\mathscr{OI}$_(n，1)^k)=C_n^r.即证得

注1  半群$\mathscr{OI}$_(n，n)^k=$\mathscr{OI}$_(n，n-1)^k∪{ε_[n]}不是由顶端$\mathscr{K}$-类$\mathscr{K}$_n生成的，且rank($\mathscr{OI}$_(n，n)^k)=n+1.