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Gronwall-Bellman型积分不等式[1-2]及其推广形式在研究微分方程、积分方程和微积分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性质时具有重要作用,所以人们不断地研究它的各种推广形式,使其应用范围不断扩大,例如文献[3-7]及其引文.由于分析微分方程组解的需要,人们也研究积分不等式组.文献[8]研究了积分不等式组
文献[9]研究了弱奇异积分不等式
文献[10]研究了更一般形式的弱奇异积分不等式
受文献[8-11]的启发,本文研究了积分号外具有非常数因子,且不等式左边是未知函数幂函数的弱奇异积分不等式组
不等式组(5)把文献[8]中的不等式(1)和(2)推广成积分号外含有非常数因子的弱奇异积分不等式,把文献[9-10]中的不等式(3)和(4)推广成不等式组.利用Hölder积分不等式、Gamma函数和Beta函数把弱奇异积分问题转化成没有奇异的积分问题,利用Bernoulli不等式把非线性问题转化成线性问题,利用积分不等式的结果给出不等式组(5)中两个未知函数的估计.该结果可用于研究积分、微分方程组解的性质.
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为了研究不等式组(5),我们需要下面的引理:
引理1 设
$u, A, B, C, f, g \in C\left(\left[0, t_{1}\right], \mathbb{R}_{+}\right) $ ,B,C为不减函数,k1,k2,k3为正常数,且k1>k2,k1>k3,它们满足不等式则不等式(6)中的未知函数有估计式
定理1 设ri(i=1,2,3,4,5,6)是正常数,
$r_{1}>r_{5}, r_{1}>r_{2}, r_{4}>r_{3}, r_{4}>r_{6} ; u, v, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, $ $c_{2}, d_{1}, d_{2}, f_{1}, f_{2} $ 都是区间[0,t1]上满足不等式组(5)的非负连续函数.若[α,β,γ]∈I,取$ {p_1} = \frac{1}{\beta }, {q_1} = \frac{1}{{1 - \beta }}$ ;若[α,β,γ]∈Ⅱ,取$ p_{2}=\frac{1+4 \beta}{1+3 \beta}, q_{2}=\frac{1+4 \beta}{\beta}$ ,则对i=1,2有不等式组(5)中未知函数的估计式其中
证 利用文献[12]中的引理1,文献[13]中的定理1,文献[11]中的引理1和引理2,由(5)式推出
利用著名的Jensen不等式
$\left(A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}\right)^{l} \leqslant n^{l-1}\left(A_{1}^{l}+A_{2}^{l}+\cdots+A_{n}^{l}\right) $ ,由(23)式和(23)式推出令
把(26)式代入(24)式,得到
把(27)式代入(26)式,利用Bernoulli不等式知,对任意t∈[0,t1],有
由文献[14]的定理5.5和(28)式推出,对任意t∈[0,t1],有
把(29)式代入(27)式,看出对任意t∈[0,t1],有
其中K1,K2如(12)式和(13)式中所定义.把(30)式代入(25)式,利用Bernoulli不等式,得到
其中A(t),B(t)分别由(10)式和(11)式定义.把引理1应用于不等式(31),推出所要求的估计式(9).把估计式(9)代入不等式(30),得到所要求的估计式(8).
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为了对x,y的模进行估计,令u(t)=‖x(t)‖,v(t)=‖y(t)‖,由(32)式得到
则(33)式可视为不等式组(5)的特殊情况:
$a_{i}(t)=b_{i}(t)=c_{i}(t)=d_{i}(t)=f_{i}(t) \equiv 1(i=1, 2), \alpha=1, \beta= $ $\frac{2}{3}, \gamma=\frac{5}{6}, r_{1}=4, r_{2}=3, r_{3}=2, r_{4}=3, r_{5}=2, r_{6}=1. $ 根据文献[11]中的定义可以看出,[α,β,γ]为I型分布.根据文献[11]中的引理1,取$p_{1}=\frac{3}{2}, q_{1}=3 $ ,这些函数满足定理1中相应函数的条件.对定理1中有关函数计算可得由定理1,可以对积分方程组(32)中的未知函数x,y的模进行估计,
其中