定义1  若定义在Banach空间X上的一族映射S(t，s)：X→X，∀t≥s满足对于任意的t≥r≥s有S(s，s)=id_x，S(t，s)=S(t，r)S(r，s)，则称S(·，·)是一个非自治的过程.

定义2  设A={ A(t)}_{t∈$ \mathbb{R}$}是Banach空间X中的一个非自治集，若对任意的t∈$ \mathbb{R}$，$ \overline{\bigcup\limits_{\mathit{s}\le \mathit{t}}{\mathit{\boldsymbol{A}}\left( \mathit{s} \right)}}$是紧的，则称A在X中是后项紧的.若对任意的t₁，t₂∈ $ \mathbb{R}$，当t₁≤t₂时，有A(t₁)⊂A(t₂)，则称A是单调递增的.

定义3  设S(·，·)和A={ A(t)}_{t∈$ \mathbb{R}$}分别是定义在Banach空间X上的一个非自治过程和非自治集，若满足：

(ⅰ) A是后项紧的，即对∀t∈$ \mathbb{R}$，$ \overline{\bigcup\limits_{\mathit{s}\le \mathit{t}}{\mathit{\boldsymbol{A}}\left( \mathit{s} \right)}}$在X中是紧的；

(ⅱ) A是不变的，即S(t，τ)A(τ)=A(t)，t≥τ；

(ⅲ) A是拉回吸引的，即对于X中每个有界集D，有

其中$ \rm{dis}{{\rm{t}}_{\mathit{X}}}\left( \mathit{A}, \mathit{B} \right)=\underset{\mathit{a}\in \mathit{A}\ \mathit{b}\in \mathit{B}}{\mathop{\rm{supinf}}}\, {{\left\| \mathit{a}\rm{-}\mathit{b} \right\|}_{\mathit{X}}}$是Hausdorff-半距离，则称A是一个关于非自治过程S(·，·)的后项紧的拉回吸引子.

下面我们引用文献[1]中的一个存在性定理：

定理1  设S(·，·)是定义在Banach空间X上的一个非自治过程.若满足

(ⅰ) S(·，·)在X上有一个单调递增的有界的闭的吸收集$ \mathscr{K}={{\left\{ \mathscr{K}\left( \mathit{t} \right) \right\}}_{\mathit{t}\in \mathbb{R}}}$；

(ⅱ) S(·，·)是后项渐进紧的：{S(s_n，s_n-τ_n)x_n}_n=1^∞在X的拓扑下有一个收敛子列，这里，t∈$ \mathbb{R}$，s_n≤t，τ_n→+∞当n→+∞，x_n是L²中的有界列；

则S(·，·)有一个后项紧的拉回吸引子A={A(t)}_{t∈$ \mathbb{R}$}，其中

讨论如下具有初边值条件的非自治的Kuramoto-Sivashinsky方程的后项紧的动力学行为

其中，

对于ν和非自治项g我们有如下假设：

(F0) $ \mathit{\nu >}\frac{2}{{{\left( \frac{2\rm{ } \pi \rm{ }}{\mathit{l}} \right)}^{2}}}$；

(F1) g∈L_loc²($ \mathbb{R}$，L²(Ω))；

(F2)外力项是后项λ-缓增有限的：

其中

下面我们给出本文所讨论的函数空间并定义相应的内积与范数，定义

下面分别定义在L和H上的内积与范数：

由文献[3]可知，由Galevkin逼近法，我们容易证明对于每一个u₀∈L，s∈ $ \mathbb{R}$，K-S方程(2)在假设F1下是适定的，即使方程(2)有唯一的解u(·，s，u₀)∈C([s，+∞)，L)∩L_loc²([s，+∞)，H)，因此我们可以定义一个非自治过程S(·，·)：L→L，即

或

本文主要结论.

定理2  在L中，非自治的Kuramoto-Sivashinsky方程(2)在假设(F0)-(F2)下有一个单调递增的有界的吸收集$ \mathscr{K}={{\left\{ \mathscr{K}\left( \mathit{t} \right) \right\}}_{\mathit{t}\in \mathbb{R}}}$，这里$ \mathscr{K}\left( \mathit{t} \right)$由(12)式给出，且有唯一的后项紧的拉回吸引子A={A(t)}_{t∈$ \mathbb{R}$}，其中

这一小节将证明前面(4)，(5)式中定义的过程S(·，·)：L→L在假设(F0)-(F2)下有一个增的有界吸收集.

下面我们先给出在空间L上的一个后项估计.

引理1  若假设(F0)-(F2)成立，则对于每一个R＞0和t∈$ \mathbb{R}$，存在一个$ {{\mathit{\tau }}_{\rm{1}}}=\frac{\rm{ln}\ \mathit{R}}{\mathit{\alpha }}>0$，使得当τ≥τ₁和u₀∈N(0，R)⊂L时，有

其中，$ {{\mathit{C}}_{\rm{0}}}=\rm{min}\left( \frac{\mathit{\nu }}{2}, \frac{\mathit{\nu }}{2}{{\left( \frac{\rm{2 } \pi \rm{ }}{\mathit{L}} \right)}^{4}} \right)$，M(t)是一个关于时间t的有限的增函数，

证  让方程(2)与u在L上作内积并注意到

于是得到

由Young不等式可知：

由Poincare不等式可知

这里λ₁是算子-D²的首特征值，由Young不等式知

进一步结合文献[3]中的结果λ₁= $ {{\left( \frac{\rm{2 } \pi \rm{ }}{\mathit{L}} \right)}^{2}}$知

令

由假设(F0)可知λ＞0且令

对(10)式在[s-τ，s](s≤t)上用Gronwall不等式可知

取

则当τ≥τ₁和u₀∈N(0，R)⊂L时有

这里M(t)由(9)式给出，这个不等式就是我们想要的(7)-(8)式，由假设(F2)知M(t)是一个关于时间t的有限的增函数.证闭.

由引理1知(4)，(5)式中的过程S(·，·)：L→L在假设(F0)-(F2)下有一个增的有界的吸收集.

定理3  若假设(F0)-(F2)成立，则(4)，(5)式中的过程S(·，·)：L→L在L中有一个增的有界的吸收集$ \mathscr{K}={{\left\{ \mathscr{K}\left( \mathit{t} \right) \right\}}_{\mathit{t}\in \mathbb{R}}}$，这里，

证  由假设(F2)知M(t)是一个关于时间t的有限的增函数，于是由引理1知$ \mathscr{K}={{\left\{ \mathscr{K}\left( \mathit{t} \right) \right\}}_{\mathit{t}\in \mathbb{R}}}$是一个增的有界的吸收集.

我们将利用上面引理1的结果(7)-(8)式来得到方程在H空间上的一个后项估计，我们先介绍一个具有非自治形式的后项的一致Gronwa引理，其证明与文献[4]的证明完全类似，因此我们省略了证明.为了计算方便，我们认为c是可能改变的正常数.

引理2  后项的一致Gronwa引理：若y，h₁，h₂是3个正的局部可积的函数，对于每个t∈$ \mathbb{R}$，y′在[s-τ，s](s≤t，τ≥0)上是可积的且它们满足：

其中r∈[s-τ，s]，s≤t，τ≥0则对于σ∈(0，τ)，有

这里，

引理3  若假设(F0)-(F2)成立，则对于每一个R＞0和t∈$ \mathbb{R}$，存在一个$ {{\mathit{\tau }}_{\rm{1}}}=\frac{\rm{ln}\ \mathit{R}}{\mathit{\alpha }}>0$，使得当τ≥τ₁和u₀∈N(0，R)⊂L时，有

其中，

证  让方程(2)与D⁴u在L上做内积可知

类似于文献[3]的做法，由Young不等式和插值不等式知，

由(14)-(15)式知

把引理2中的后项一致Gronwa引理(t∈$ \mathbb{R}$固定，σ=1，τ＞2，s≤t)应用到(16)式知

这里，

于是当τ≥max(2，τ₁)时，由(8)-(9)式有

于是

证闭.

定理4  若假设(F0)-(F2)成立，则(4)，(5)式中定义的过程S(·，·)：L→L在L上是后项渐进紧的.

证  为了证S(·，·)：L→L在L上是后项渐进紧的，我们只需证明{S(s_n，s_n-τ_n)u_0，n}_n=1^∞在L的拓扑下有一个收敛子列，其中，t∈$ \mathbb{R}$是固定的，R＞0，s_n≤t，τ_n→+∞当n→+∞和u_0，n∈N(0，R)⊂L.因为τ_n→+∞当n→+∞，所以存在一个n₀＞0使得当n≥n₀时有τ_n≥max(2，τ₁)(τ₁在引理1中)，于是由引理3知{S(s_n，s_n-τ_n)u_0，n}_n=n0^∞在H中是有界的，由Sobolev紧嵌入H→L知{S(s_n，s_n-τ_n)u_0，n}_n=n0^∞在L中是相对紧的.于是{S₁(s_n，s_n-τ_n)u_0，n}_n=n0^∞在L的拓扑下有一个收敛子列.证闭.

本文结论即定理2的证明.

证  由定理3和定理4知定理1中的条件满足，于是定理2成立.