Elman神经网络是一种局部递归的神经网络，与前馈型BP神经网络相比，它除了包含输入层、隐含层和输出层外，还有一个特别的隐含层，即承接层.承接层可以认为是一个一步时延算子，用来接收反馈信号并记忆隐含层前一时刻的输出状态，这些状态与外部输入信号一起作为当前时刻隐含层的输入^[15]，其网络拓扑结构如图 1.这种自联方式使Elman神经网络具有适应时变特性的能力，并对历史状态的数据具有敏感性.由此可见，采用Elman网络可以大大减少节点数，减少计算量的同时亦提高了算法的实时性.

Elman神经网络的非线性数学模型为：

其中：w^l，w²，w³分别表示承接层到隐含层、输入层到隐含层、隐含层到输出层的连接权值矩阵；f(.)为中间层神经元的传递函数；y(k)为k时刻m维输出层输出量；x(k)为k时刻n维隐含层输出量；x_c(k)为k时刻n维承接层反馈量；u(k)为k时刻r维输入层输入量.

Elman神经网络采用标准BP网络算法来更新权值与阈值，其学习指标函数采用误差平方和函数，表达式为：

式中$\overset{\wedge }{\mathop{{{y}_{k}}}}\,\left( w \right)$为目标输出值.

该表达式使得网络学习指标函数的误差平方和最小，以满足实际应用要求.

由于Elman网络仍是采用标准BP算法梯度下降法进行权值和阈值的修正，因此存在学习过程收敛速度慢、易陷入局部最小值的缺点.近年来新发展的遗传算法(Genetic Algorithm，GA)是模拟生物进化过程的人工智能方法^[16-17]，遗传算法将Darwin的“物竞天择、适者生存”生物进化思想应用到优化搜索算法中，将搜索空间映射为遗传空间，以适应度函数作为评价依据，借助自然遗传学的遗传算子对编码群体进行交叉和变异，实现群体中个体位串的选择和遗传，建立起一个产生新解集种群的迭代过程.群体的个体在迭代过程中不断进化，最后收敛到一个最适应环境的个体上，从而求得问题的最优解.利用遗传算法的全局搜索能力和自身广泛的适应性，对Elman神经网络的初始权值和阈值进行全局寻优，然后将优化过后的初始权值和阈值反馈给Elman神经网络，再利用Elman神经网络进行局部精确寻优，做到二者的优势互补，从而建立二者相结合的GA-Elman神经网络模型. GA优化Elman神经网络的算法流程如图 2所示.

其具体实现步骤如下：

步骤1  初始化种群P，包括交叉概率P_c、变异概率P_m、终止代数T、代沟G等.采用二进制编码方法对Elman神经网络的权值和阈值进行编码，确定初始种群规模M，随机生成初始种群.

步骤2  计算个体的适应度函数，并进行排序，根据${{P}_{i}}=\frac{{{f}_{i}}}{\sum{{{f}_{i}}}}$选择网络个体，f_i为第i个体适应度值，用误差平方和E_i进行衡量，E_i为第i个体的网络总误差，即：

式中：i为染色体个数，i=1，2，…，n；k为学习样本数，k=1，2，…，m；o为Elman神经网络输出节点数，o=1，2，L，q；ro为目标输出值；d期望输出值.

步骤3   以交叉概率P_c进行交叉操作，交叉是遗传算法获取新优良个体的主要操作过程，没有进行交叉操作的个体则进行复制.

步骤4  以变异概率P_m进行变异操作，这是为了保持个体的多样性，确保遗传算法的有效性.

步骤5  将新产生的个体插入原种群从而生成新种群，并计算新个体的适应度值.

步骤6  若找到符合要求的个体，则算法结束；否则，重复步骤2~5的步骤，直到当前种群中的某个个体对应的网络结构满足要求.通过遗传算法对Elman神经网络进行种群生成、交叉和变异等操作，最终将优化后的网络权值和阈值赋值于Elman神经网络进行训练与判别.

以文献[18]中的矿井水化学数据为依据，在不破坏原始数据的前提下，对原始数据中Na⁺，K⁺质量浓度进行求和处理；仅选取Na⁺+K⁺，Ca²⁺，Mg²⁺，Cl^-，HCO₃^-，SO₄^2- 6种离子作为判别水源的指标依据，以前20组水化数据作为训练样本，剩下的6组数据作为待测样本，为了更好地分析结果，将该矿突水水源类型进行二进制编码，其中(001)，(010)，(100)分别对应4-6煤顶板水、奥灰水、6煤底至奥灰砂岩水3类水源.矿井水化数据如表 1(对于6组待测样本而言，右侧为真实水源类型的二进制编码，作为神经网络模型的期望输出).

由于采集到的26组水化学数据样本各项指标值有大有小，过大或过小的输入值将使节点的输出进入饱和区，因此，为防止某些数值低的特征被淹没，且保留其原始意义，需将各指标进行归一化处理.采用Matlab的mapminmax函数将输入量归一化至[0, 1]，对数据进行线性变换、压缩，可以为后面的数据处理提供方便，亦可以保证程序运行时加快收敛速度.

Robert Hecht-Nielson证明具有一个中间层的神经网络能够以任意精度逼近非线性关系.增加网络中间层数能够进一步降低误差，提高精度，同时也会使网络复杂化，牺牲其训练时间^[19-20].因此，本文选用具有一个中间层的Elman神经网络，以Na⁺+K⁺，Ca²⁺，Mg²⁺，Cl^-，HCO₃^-，SO₄^2- 6种离子质量浓度值作为输入，以3种突水类型的二进制编码作为输出，输入层节点数为6，输出层节点数为3.网络的训练函数为具有Levenberg-Marquardt最快速算法trainlm函数，该函数它同时具有梯度法和牛顿法的优点，隐含层和输出层传递函数分别为S型的tansig和logsig.训练参数设定如下：目标误差1E-10，最大训练次数1 000，学习速率0.04，结果显示周期50.根据Kolmogorov定理，采用公式$m=\sqrt{U+L}+a$(其中U为输入层节点数；L为输出层节点数；a为1~10之间的随机整数.).经试错法进行隐含层节点数的优选，当节点数为6时Elman神经网络误差较小、效果较好，使用newelm(minmax(pn)，^{[6, 3]}，{‘tansig’，‘logsig’}，‘trainlm’)语句建立了6×6×3的Elman神经网络结构模型，其模型结构图如图 3，其训练过程如图 4，训练结果如图 5.

遗传算法采用的是谢菲尔德(Sheffield)遗传算法工具箱，这里的Elman神经网络权值与阈值总数为69，变量长度R为5，则遗传算法个体的长度L为345，其他参数设定为：种群规模M为50，迭代终止次数T为50，代沟G为0.95，交叉概率P_c为0.8，变异概率P_m为0.1，按照GA优化Elman神经网络算法流程建立GA-Elman神经网络模型(模型中的Elman神经网络参数设置与3.3相同).其优化过程的适应度进化曲线如图 6.

图 6的适应度进化曲线记录了每一代适应度值随进化代数变化的情况，由此可以看出在第5代之后出现了种群适应度较大的进化，平方和误差为2E-05，相比前5代，GA算法的优化效果较为明显，能够使Elman神经网络快速收敛，提高输出结果的精度；随着遗传代数的增加，在第25代出现了适应度的进一步进化，呈递减趋势，表明网络平方和误差的继续减小，Elman神经网络输出结果精度进一步提高，在第26代之后网络平方和误差基本趋于稳定，在第50代时GA算法满足迭代终止要求，寻优结束，网络平和误差达到最小值，为1.871 9E-05.此时，将GA优化算法所得到的权重和阈值作为Elman神经网络的初始参数，进行Elman神经网络的训练，其训练过程如图 7，训练结果如图 8，从而建立GA-Elman神经网络判别模型.

由图 4和图 7，即Elman神经网络训练过程和经GA优化过的Elman神经网络训练过程对比可知，前者在第31步达到收敛，收敛曲线在前24步收敛较为缓慢，之后收敛迅速，网络均方误差(Mean Squared Error，MSE)最终为6.297 8E-09；后者在第14步就达到收敛，在第6步之前收敛较为缓慢，之后快速收敛，网络MSE最终为4.582 9E-09. MSE是衡量“平均误差”的一种较方便的方法，可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度.由此可以看出，未优化的Elman神经网相比与优化过的Elman神经网络，后者在训练过程中具有收敛速度快、网络输出误差小的优点，进一步发现后者的MSE收敛曲线减幅较为均匀，这说明经GA优化过的Elman神经网络在约束过的局部范围内根据函数的梯度信息逐渐接近最小值，而前者MSE收敛曲线减幅一开始较为缓慢在第24步之后则较为陡然，从侧面反映出该收敛的最小值极有可能不是网络的最小值，从而可以推测Elman神经网络在训练过程中存在一定随机性，网络易陷入非全局最优的最小值.由图 5和图 8可知，二者采用Levenberg-Marquardt最快速算法的梯度求解最小值，误差曲面的梯度均达到了预设值，前者结束的梯度值大于后者的，即前者仍具有潜力进入并接近误差曲面的最小值，此时已经停止Elman神经网络的训练，相比于后者，这充分体现了Elman神经网络的易陷入局部最小值的缺点.因此，将GA与Elman神经网络进行结合可以发挥混合算法的优势，提高网络的学习性和输出泛化性.

使用所建立的Elman神经网络模型和GA-Elman神经网络模型对表 1的6组待测样本进行水源类型判别，判别结果见表 2.

由表 2可知，Elman神经网络模型和GA-Elman神经网络模型均能对6组待测样本进行准确判别，而且精度都很高.可以看出，任何一组待测样本的判别输出，后者都要优于前者，特别是第3，第5组的判别输出，GA-Elman平方和误差远低于Elman平方和误差，相差5个数量级.经计算可知Elman神经网络判别模型输出的平均平方和误差为6.00E-05，GA-Elman神经网络模型输出的平均平方和误差为5.45E-07，平均误差精度相差2个数量级，因而后者的判别输出精度更高，泛化性更强.二者输出的误差折线对比图见图 9.

图 9显示，GA-Elman神经网络判别模型在6组待测样本的输出上平方和误差更为平缓，这表明GA-Elman神经网络判别模型输出较为稳定，其误差折线均在Elman神经网络判别模型误差折线之下，说明GA-Elman神经网络判别模型输出精度更高、泛化性更强.

另外，前3组2种模型的折线距离相差较大，后3组折线距离则相差较小，究其原因，可以给出这样的推断：Elman神经网络在训练过程中易陷入局部最优，虽然收敛误差精度(相比于BP神经网络)有所提高，但是网络输出的泛化性相比于GA-Elman神经网络仍是较弱，在个别样本输出精度上出现一定的、较大的误差浮动.

此外，结合表 1的矿井水化学原始数据可以看出，待测样本的前3组样本均来自于4-6煤顶板水水源，Elman神经网络模型在判别这3组样本输出的结果均要低于后3组，即经GA优化的Elman神经网络模型在前3组的判别输出中呈现：第1，2组样本的判别输出平方和误差均大于第4，5，6组的判别输出平方和误差，虽然第3组样本的判别输出平方和误差较第1，2，6组样本的的判别输出平方和误差要小，但是仍然大于第4，5组样本(均来自于奥灰水水源)的判别输出平方和误差.除此之外，对于第1，2，3组样本的判别输出平均平方和误差为1.98E-07，第4，5组样本的判别输出平均平方和误差为1.00E-09，6煤底至奥灰砂岩水水源的样本仅有第6组，其判别输出的平均平方和误差暂且认为是4.78E-9，则可以得知，GA-Elman神经网络判别模型对奥灰水突水水源判别最为精确，对于6煤底至奥灰砂岩水突水水源判别精度次之，对于4-6煤顶板水突水水源判别精度最差；同时发现表 1的矿井水化数据中，4-6煤顶板水水源的样本为6组，奥灰水水源的样本为7组，6煤底至奥灰砂岩水水源的样本为7组，第一组的样本数量小于后两者，由此可推知：①样本的数量与突水水源的准确判别有一定的关系，也就是样本的多少对于模型的训练以及应用的适用性有一定的影响，为发挥神经网络特有的学习和模拟能力优势、建立更好的突水水源非线性映射关系，应尽量丰富样本的数量；②在收集工程实例资料时候应收集一手原始资料并注意水化学数据采集过程操作的准确度，从而确保样本水化学数据具有代表性和准确性.这与文献[21-23]所得结论较为相符，其中文献[21]建立DDA突水水源判别分析模型，文献[22]建立了线性和典型的FDA突水水源判别模型，文献[23]建立了多组逐步Bayes突水水源判别模型，但均对来自于文献[24]的1号学习样本均做出了错误回判，针对误判，文献[21-23]均提到了选取样本数据要具有代表性，建立样本数据库，从而增强所建立判别模型的适用性.

1) 与文献[18]使用的Fisher和距离判别法相比，Elman神经网络模型具有较强的自组织、自学习和容错能力.针对矿井突水水源类型之间具有很大的模糊性，不易建立确定的相关模型的特点，本文采用Elman神经网络通过选取常用的6种水化学离子及其质量浓度值作为依据建立水化指标与水源类型的非线性映射关系，即建立了具有非线性动态特性的Elman神经网络突水水源判别模型，发挥Elman神经网络对历史数据具有敏感性，以及具有适应时变特性的能力的特点，这为准确地判断突水来源、探寻地下水运移规律提供一定的借鉴价值.

2) Elman神经网络训练过程中在第31步达到收敛，网络的MSE为6.297 8E-09，GA-Elman神经网络训练过程中在第14步达到收敛，网络的MSE为4.582 9E-09；前者所建立的判别模型输出平均平方和误差为6.00E-05，后者所建立的判别模型输出平均平方和误差为5.45E-07.使用遗传算法通过初始化、适应度评价、选择交叉和变异等步骤对Elman神经网络的初始权值与阈值进行全局寻优，克服了Elman神经网络的早熟收敛特性，建立了高精度的GA-Elman神经网络判别模型，相比较，经过遗传算法优化过的Elman神经网络在训练过程中收敛性更好，应用中泛化性更强、稳定性更高，这为准确、有效判别突水来源提供了可靠的决策依据.

3) 本文建议，为进一步确保模型建立的有效性，应选取具有代表性、正确性的相关水质离子并建立完善的训练样本数据库；为进一步增加模型判别的准确性，应收集大量矿井的原始水质地质资料，理论与实际相结合，互相验证进行综合判别.密切结合矿井的水文地质条件，从而确保突水水源判别的准确性，发挥突水水源的确定对煤矿水害防治的指导作用.