设E是赋范线性空间，X为E中的非空闭子集.设G：X→2^X为非空的集值映射(即对任何x∈X，G(x)是X的非空子集)，f：X×X→$\mathbb{R}$是泛函，则拟变分不等式问题(QVIP)为：求x∈X，满足x∈G(x)，且使得f(x，y)≤0(y∈G(x))，其中x是(QVIP)的解.

文献[1-2]在研究与随机脉冲和控制相关的问题时提出了拟变分不等式.关于拟变分不等式解的存在性及其求解算法已经有相当多的成果^[3-6].数学问题解的稳定性在理论、算法和应用上是非常重要的.但是，除了少数的数学问题外，大多数的数学问题都不能保证解的稳定性.人们自然要问，在什么情况下，解是稳定的？一类问题中的大多数问题都有稳定解？人们已经取得许多结论(如文献[7]).需要指出的是，以上关于拟变分不等式解的研究是基于约束映射所构成的空间一致拓扑.正如文献[8]指出，集值映射的图像拓扑允许比一致拓扑有更大的扰动，因为它同时考虑集值映射和可行策略集的扰动.文献[9-11]研究了图像拓扑意义下一些非线性问题解的稳定性.受到以上文献的启发，本文将图像拓扑引入到拟变分不等式问题中，利用非线性问题解的稳定性的研究模式得到拟变分不等式解的稳定性.

设X为赋范线性空间E中的一个非空凸紧集，记Φ为所有满足下列条件的函数f：X×X→$\mathbb{R}$的全体：

(h₁) f(x，y)在X×X上是下半连续的；

(h₂)∀x∈X，y$\longmapsto$ f(x，y)是凹的；

(h₃)∀y∈X，f(y，y)≤0；

(h₄) $\mathop {\sup }\limits_{\left( {x, y} \right) \in \left( {X, X} \right)} $ |f(x，y)|＜+∞.

记Ψ为所有满足下列条件的集值映射G：X→2^X的全体：

(h₅) ∀x∈X，G(x)是非空凸紧集；

(h₆) G在X上是上半连续的.

记M=Φ×Ψ，对任意的u₁=(f₁，G₁)，u₂=(f₂，G₂)，在M上定义u₁，u₂之间的距离为

其中h为X上的Hausdorff距离.

注1  显然ρ是度量.另外，此处的ρ不同于文献[7]中定义的度量ρ^′，

定理1  (M，ρ)是完备度量空间.

证  设{u_n}是M中的任意一个Cauchy列，则对∀ε＞0，存在正整数n₁，使得对∀m，n＞n₁，有

因X为赋范线性空间E中的一个非空凸紧集，由文献[12]的定理1.5.4，对∀(x，y)∈(X×X)，存在函数f(x，y)，使得f_n(x，y)→f(x，y)(n→∞).又因Graph(G_n)为K(X×X)中的Cauchy列，由文献[13]，存在非空紧集D²∈K(X×X)，使得Graph(G_n)→D².

设D²在X上的投影为A，定义集值映射为G：A→2^A，且

则Graph(G)=D²，从而Graph(G_n)→Graph(G).

∀x∈X，有(x，y_n)∈Graph(G_n)，即y_n∈G_n(x).由于G_n(x)为紧的，不妨设y_n→y.

由文献[13]和Graph(G_n)→Graph(G)，有(x，y)∈Graph(G)，y∈G(x)，进一步得到G在x∈X处存在.

令u=(f，G)，故u_n→u.容易得到，∀x∈X，y→f(x，y)是凹的.由文献[12]的定理2.2.1，且D²为紧的，从而G在A上是上半连续且紧的.由(x_n，y_n)→(x，y)，故存在正整数n₂(n₂＞n₁).对∀n＞n₂，再由f_n→f，有

由ε的任意性，f(x，y)在(x，y)处是下半连续的.

对∀y₁，y₂∈G(x)，有(x，y₁)，(x，y₂)∈Graph(G).对∀x∈X，存在(x，y_n¹)，(x，y_n²)∈Graph(G_n)，使得y_n¹→y₁，y_n²→y₂.

因G_n(x)为凸集，有λy_n¹+(1-λ)y_n²∈G_n(x)，即

由文献[13]，令n→∞，有

即λy₁+(1-λ)y₂∈G(x)，故G(x)为凸集.

对∀y∈G(x)，由Graph(G_n)→Graph(G)，G_n(y_n)与G(y)都是非空紧集，存在y_n∈G_n(y_n)，使得y_n→y，且f_n(y_n，y_n)≤0.由f_n和f下半连续，有

由ε的任意性，故f(y，y)≤0.于是u=(f，G)∈M.因此，(M，ρ)是一个完备度量空间.

对任意u=(f，G)∈M，由文献[12]的系3.2.1，存在x^*∈X，使得x^*∈G(x^*)，且∀y∈G(x^*)，有f(x^*，y)≤0.记

为拟变分不等式u的解的全体，则F是一个由M到X的集值映射，且这样定义的映射F具有下面的性质：

定理2  F在M上是一个上半连续紧值映射.

证  因u_n→u，则f_n→f，Graph(G_n)→Graph(G).由x_n∈F(u_n)，知x_n∈G_n(x_n)，即(x_n，x_n)∈Graph(G_n).

由u_n→u，知Graph(G_n)→Graph(G).于是由文献[13]知，序列{(x_n，x_n)}必有聚点(x，x)∈Graph(G)，即有子列{(x_nk，x_nk)}，(x_nk，x_nk)(x，x)∈Graph(G)，从而x∈G(x).

对∀y∈G(x)，有(x，y)∈Graph(G).由u_n→u，知Graph(G_n)→Graph(G)，且G_n(x)与G(x)都是非空紧集，则存在y_n∈G_n(x)，使得y_n→y，且f_n(x，y_n)≤0.

由f_n→f，f_n和f下半连续，则有

由ε的任意性，故f(x，y)≤0.因此，x∈G(x)，∀y∈G(x)，f(x，y)≤0，x∈F(u).

对集值映射F，定义拟变分不等式u的本质解概念如下：

定义1  (ⅰ)对∀u∈M，且x∈F(u)，如果对x的任意开邻域U(x)，存在u的开邻域O(u)，使得∀u^′∈O(u)，存在x^′∈F(u^′)，而x^′∈U(x)，则称x是拟变分不等式u的本质解；

(ⅱ)如果对∀x∈F(u)，x都是本质解，则称拟变分不等式u是本质的.

由定义1及集值映射下半连续和连续的定义，易知有下面的结论：

引理1  (ⅰ) u∈M是本质的当且仅当F在u∈M处下半连续；

(ⅱ)若F在M上是上半连续的，则F在u处连续当且仅当u是本质的.

证  只证明(ⅰ).

必要性  若u∈M，对X中任意开集U，U∩F(u)≠$\emptyset $，取x∈U∩F(u)，则U是x的开邻域.因u是本质的，故x∈F(u)必是本质的.则存在u的开邻域O(u)，使得u^′∈O(u)，有x^′∈F(u^′)，而x^′∈U，于是，U∩F(u^′)≠$\emptyset $.因此，F在u处下半连续.

充分性  对∀u∈M，∀x∈F(u)，x的任意开邻域U(x)，有U(x)∩F(u)≠$\emptyset $.因F在u处下半连续，故存在u的开邻域O(u)，使得u^′∈O(u)，有U(x)∩F(u^′)≠$\emptyset $.取x^′∈U(x)∩F(u^′)，则x^′∈F(u^′)，而x^′∈U(x)，则x必是本质的，则u是本质的.

由本质解的定义、文献[12]的定理2.3.1、定理1、定理2及引理1，得到以下稳定性的结论：

定理3  存在M中的稠密剩余集Q，使得对∀u∈Q，F在u处下半连续，且拟变分不等式u是本质的.即在Baire分类的意义下，大多数的拟变分不等式都是本质的.

证  因(M，ρ)是完备度量空间，故(M，ρ)是Baire空间、F在M上是一个usco映射、由文献[12]的定理2.3.1，存在M中的稠密剩余集Q，使得对∀u∈Q，F在u处下半连续，再由引理1，拟变分不等式u都是本质的.