设X为实Banach空间，X^*为其拓扑对偶空间，Y为有限维空间，C与D分别是X与Y中的非空闭凸子集，K是${\mathbb{R}^n}$中的点凸锥并且int K≠$\emptyset $，K的对偶锥定义为

特别地，K^*是一个弱^*闭凸锥，记K的凸包为co K，$\mathbb{R}_ + ^n$ ={x=(x₁，x₂，…，x_n)：x_i≥0，i=1，2，…，n}和$\mathbb{R}_{{\rm{ + + }}}^n$={x=(x₁，x₂，…，x_n)：x_i＞0，i=1，2，…，n}.设f：X→${\mathbb{R}^n}$与g：X→Y为向量值映射.

若h：X→$\mathbb{R}$在x∈X处为局部Lipschitz连续函数，h在x∈X处沿方向v∈X的Clarke广义导数^[6]定义为

h在x₀处的Clarke次微分定义为

特别地，Clarke广义导数与次微分满足

集合C⊂X在x₀∈C处的Clarke法锥定义为

其中T(C；x₀)为集合C在x₀∈C处的Clarke切锥，

T(C；x₀)={v∈X：对∀t_n↓0，∀x_n→x₀，x_n∈C，存在v_n→v使得x_n+t_nv_n∈C}

本文考虑如下(MP)约束多目标优化问题：求最小的f(x)，使得g(x)∈D(x∈C).

记问题(MP)的可行集为M.易知，M=g^-1(D)∩C，其中

如果存在一个数δ＞0，使得

则称x₀∈M为问题(MP)的一个局部弱Pareto有效解，其中B(x₀；δ)是以x₀为球心，δ为半径的开球.如果将B(x₀；δ)替换为$\mathbb{R}^n$，则可以得到弱有效解的定义.假设f，g都在x₀∈M处局部Lipschitz连续.

定义1^[13]  如果对于∀y^*∈N(D，g(x₀))\{0}，有

则称问题(MP)在x₀∈M处满足次微分约束规格(CQ).

命题1^{[4, 7]}  对于e∈int K，函数ξ_K(y)=inf{t∈$\mathbb{R}$：y∈te-K}在$\mathbb{R} ^n$上是连续、正齐次与次可加的，ξ_K(0)=0，并且严格int K单调的(即如果y₂-y₁∈int K，则ξ_K(y₁)＜ξ_K(y₂)).

由文献[8]的定理3.1，我们可以得到如下结论：

命题2  x₀∈M是问题(MP)的一个弱有效解当且仅当ξ_K(f(x)-f(x₀))≥0(∀x∈M).

借助标量化函数ξ_K与Clarke次微分，讨论一类非光滑约束多目标优化问题的局部弱有效解的Karush-Kuhn-Tucker必要最优性条件.

定理1  设x₀是问题(MP)的一个局部弱有效解，并且问题(MP)在x₀处满足次微分约束规格(CQ).则存在μ∈N(D，g(x₀))，使得

其中φ(x)=ξ_K(f(x)-f(x₀)).

证  因为x₀是问题(MP)的一个局部弱有效解，则由命题2知

由于φ(x₀)=0，故x₀为优化问题的一个局部解：$\mathop {\min }\limits_{x \in M} \varphi \left( x \right)$.应用文献[10]的定理3.2(ⅰ)可得(2)式.

下面研究命题1中函数ξ_K的一些性质.

命题3  ξ_K⁰(0；v)=ξ_K(v)(∀v∈$\mathbb{R} ^n$).

证  由于ξ_K是正齐次与次可加的，则它是凸函数.故ξ_K是Clarke正则的，并且有

即ξ_K⁰(0；v)=ξ_K(v)(∀v∈$\mathbb{R} ^n$).

命题4  $\partial {\xi _K}\left( 0 \right) \subset {K^ * }$.

证  假设存在ξ∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right)$，并且$\xi \notin {K^ * }$.存在v∈K使得〈ξ，v〉＜0，并且有

因为ξ∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right)$，结合命题3可得到

由于ξ_K(-v)=inf{t∈$\mathbb{R}$：-v∈te-K}与v∈K，则有v∈0·e-K.因此ξ_K(-v)≤0.结合(4)式，可得到〈ξ，-v〉≤0，与(3)式矛盾.

下面我们通过一个例子说明命题3与命题4.

例1  设K=$\mathbb{R}_ + ^2$，e=(1，1).于是有ξ_K(v₁，v₂)=max{v₁，v₂}，故

断言

事实上，若α=(α₁，α₂)∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right)$，则有

取v₁=v₂=1，得到α₁+α₂≤1；取v₁=v₂=-1，得到-α₁-α₂≤-1.故α₁+α₂≥1，从而α₁+α₂=1.

断言α₁，α₂≥0.反之，不失一般性，假设α₁＜0.取v=(-1，0)，则有

与α=(α₁，α₂)∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right)$矛盾！故α₁，α₂≥0，从而$\partial {\xi _K}\left( 0 \right) \subset {K^ * } = \mathbb{R}_ + ^2$.易知(1，0)，(0，1)∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right)$.对∀v=(v₁，v₂)∈${\mathbb{R}^2}$，有

定理2  设x₀为问题(MP)的一个局部弱有效解，并且问题(MP)在x₀处满足次微分约束规格(CQ).则存在λ=(λ₁，…，λ_n)∈K^*，λ≠0，μ∈N(D，g(x₀))，使得

证  因为x₀是问题(MP)的局部弱有效解，由定理1可知，存在μ∈N(D，g(x₀))，使得

其中φ(x)=ξ_K(f(x)-f(x₀)).由于ξ_K为凸函数，故它是Clarke正则的.结合文献[6]的定理2.3.9，我们得到

再由(6)式可知，存在γ∈$\partial \varphi \left( {{x_0}} \right)$，使得

并且

因此，存在η₁，…，η_m≥0，$\sum\limits_{i = 1}^m {{\eta _k} = 1} $，使得

其中

则

不妨设${\overline \lambda _i} = \sum\limits_{k = 1}^m {{\eta _k}\alpha _i^{\left( k \right)}} $，则有

由于$\partial {\xi _K}\left( 0 \right)$是凸的，结合(8)，(9)式可以得到

结合命题4，有$\partial {\xi _K}\left( 0 \right) \subset {K^ * }$，从而λ∈K^*.因为λ∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right) \subset {K^ * }$，我们有

令v=-e，得到-e∈-1·e-K.由于

于是有ξ_K(-e)≤-1，则〈λ，-e〉≤ξ_K(-e)≤-1，故λ≠0.综上所述，存在λ=(λ₁，…，λ_n)∈K^*，λ≠0与μ∈N(D，g(x₀))，使得(5)式成立.

特别地，如果$\mathbb{R}_{\rm{ + }}^n \subset K$，下面的结论成立：

推论1  设x₀是问题(MP)的局部弱有效解，问题(MP)在x₀处满足次微分约束规格(CQ)，并且$\mathbb{R}_{\rm{ + }}^n \subset K$.则存在λ=(λ₁，…，λ_n)∈K^*$ \subset \mathbb{R}_{\rm{ + }}^n$，λ≠0和μ∈N(D，g(x₀))，使得(5)式成立.

在条件$\mathbb{R}_{\rm{ + }}^n \subset {\mathop{\rm int}} \;K\; \cup \left\{ 0 \right\}$下，我们得到问题(MP)的强Kasush-Kuhn-Tucker必要最优性条件：

定理3  设x₀是问题(MP)的局部弱有效解，问题(MP)在x₀处满足次微分约束规格(CQ)，并且$\mathbb{R}_{\rm{ + }}^n \subset {\mathop{\rm int}} \;K\; \cup \left\{ 0 \right\}$，则存在λ=(λ₁，…，λ_n)∈$\mathbb{R}_{{\rm{ + + }}}^n$和μ∈N(D，g(x₀))，使得

证  由定理2可知，存在λ=(λ₁，…，λ_n)∈K^*，λ≠0，μ∈N(D，g(x₀))，使得(10)式成立.下面我们说明λ_i＞0(∀i=1，…，n).断言K^*$ \subset \mathbb{R}_{{\rm{ + + }}}^n \cup \left\{ 0 \right\}$.假设存在α=(α₁，…，α_n)∈K^*和k，j，使得α_k=0，α_j＞0.因为$\mathbb{R}_{\rm{ + }}^n \subset {\mathop{\rm int}} \;K\; \cup \left\{ 0 \right\}$，则有K^*$ \subset \mathbb{R}_{\rm{ + }}^n$.用ε_k表示第k个分量为1的单位向量(k=1，…，n).因为$\mathbb{R}_{\rm{ + }}^n \subset {\mathop{\rm int}} \;K\; \cup \left\{ 0 \right\}$，故ε_k∈int K成立(k=1，…，n).因此，存在充分小的t＞0，使得

并且

与K^*的定义矛盾.故K^*$ \subset \mathbb{R}_{{\rm{ + + }}}^n \cup \left\{ 0 \right\}$.由于λ∈$\partial {\xi _K}\left( 0 \right) \subset {K^ * }$和λ≠0，于是有λ∈$\mathbb{R}_{{\rm{ + + }}}^n$.