平稳序列的次最大值和次最小值与其位置的渐近性质

卜雪妍; 陈守全

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.11.010

平稳序列的次最大值和次最小值与其位置的渐近性质

西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

基金项目: 国家自然科学基金项目（11571283）

详细信息

作者简介:
卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究 .

通讯作者: 陈守全, 博士, 副教授

中图分类号: O211.4

The Asymptotic Properties of Locations of the Second Maximum and Minimum of Stationary Sequences

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

摘要: 讨论了含有极值指标的平稳序列的次最大值与其位置在长相依条件下的渐近性质，并给出了次最大值和次最小值与它们的位置的渐近性质.
- 点过程 /
- 相依条件 /
- 最大值的位置 /
- 渐近独立
Abstract: In this paper, we discuss the asymptotic independence of the normalized second maximum and its location under a long-range dependence condition. Further, we give the asymptotic independence of the joint locations of the second maximum and the joint locations of the second minimum.
- point process /
- dependence conditions /
- location of maxima /
- asymptotic independence .
全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措^[1]。2020年5月28日，《教育部关于印发〈高等学校课程思政建设指导纲要〉的通知》指出：“课程思政建设工作要围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在全国所有高校、所有学科专业全面推进，促使课程思政的理念形成广泛共识，广大教师开展课程思政建设的意识和能力全面提升，协同推进课程思政建设的体制机制基本健全，高校立德树人成效进一步提高。”^[1]而今日的青年作为未来勇挑重担的栋梁，正处于心灵塑造关键期，具有自主进行价值探索与被价值引领的双重需求。如何引导青年大学生树立正确的人生观，使之认识到个体与国家富强、民族兴旺、人民幸福相互影响，认识到自身的时代使命及其担当，成为解决好“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”^[2]这个根本问题的关键。作为思政教育前沿阵地，高校思政教学在课程思政建设中理应起到示范作用，必须紧扣时代发展主题，围绕思政教学改革之内在要求，探究课程思政教学的具体内容及其特点。本文围绕全面推进课程思政建设的要求，基于“价值最小单元”的教学理念，探索课程设计向度，为课程思政教学设计提供具有参考价值的新思路。

一.   “价值最小单元”概念释义及课程设计理念

对“价值最小单元”概念的界定和阐释是进行课程思政教学设计思考与创新的出发点，只有充分阐明其基本含义，才能在其基础上探究课程思政教学设计理念，推动新时代高校课程思政教学创新与发展。

所谓“价值最小单元”，即以最小价值主题为核心所设定的一个包含完整教学环节的“闭环”，其中应充分考虑到围绕教学效果的达成而展开师生互动，并以受教育者的接受程度为教学效果评价的基础。“最小价值单元”为课程思政教学设计提供了方向。第一，课程设计应以符合时代发展趋势、符合学生实际、符合学科特征的基本价值单元作为教学议题。譬如：针对社会主义核心价值观所包含的12个方面的基本内容，需要根据具体语境继续拓展，以最小议题为引领，将教学内容拓展为具有话题性的一个完整价值单元。第二，课程设计要充分考虑受教育者“认知—感动—领悟—内化”等关键教育环节，兼顾开放互动、探索式推进这一过程本身。这一过程中既有课程设计可控的部分，又有具体教学实践不可控的部分；既有知识传递的内容，又有情感沟通的内容。第三，以单一价值议题为核心的一个完整课程设计环节，即为一个“价值最小单元”的最终载体。

二.   基于“价值最小单元”的课程思政教学设计探索

课程思政教学设计是开展课程思政教学的重要一环，在遵循“价值最小单元”这一设计理念的基础上，应注重对教学内容、教学过程以及教学载体进行全方位设计，推动课程思政教学实现以特定价值观念为课程议题，以“留白”的价值深意求创生，以深切的价值情感促转化。

一   作为教学内容的“最小价值单元”：以特定的价值观念为课程议题

课程思政教学设计要坚持“内容为王”，在深刻阐明“最小价值单元”这一设计理念的基础上将特定价值观念作为课程议题，深度发掘议题具有的现实意义，设计符合大学生主体特征的课程议题，进一步拓展课程思政内容的深度及广度，以凸显课程思政教学的价值。

首先，选择有价值的议题进行教学设计。所谓“议题”，就是指从开始设置议题之时就以清晰的价值主线和价值基调作为总的引领，通过切实的情境感知使受教育者对特定的议题有更加深切的了解。而所谓有价值的议题是指议题既体现价值判断的基本观点又包括学科课程的具体内容，既具有开放性、思辨性和引领性又体现教学的重点、难点，既可以成为独立的单元又可以成为富有延伸性的“议题群”。在“思想道德修养与法律基础”课程教学中，教师可尝试以最简明的方式，将抽象的富有价值的主题和问题直接设计为一个基本的“价值议题”，以创设思辨性情境、两难性情境和生成性情境^[3]。譬如，以电影《无问西东》教学为例，可设置“爱国主义精神”“青年人的理想与责任担当”“社会正义与社会情怀”“文化传承与变革”等议题，突出教学重点，加强精神引领。

其次，深度发掘议题的意义和价值。选定议题应以当代教学理念为遵循，深挖议题的价值。深度发掘议题的价值与意义主要从以下几方面着手：第一，深度挖掘议题的文化底蕴，以深厚的文化底色给予议题以坚实的价值支撑；第二，深度挖掘议题的现实意义，以丰富的现实底蕴赋予议题以鲜活的现实色彩；第三，深度挖掘议题的现实价值，拓展议题的内涵。例如，从“思想道德修养与法律基础”课程教学出发，深入探究我国社会主义核心价值观这一议题的意义与价值，分析中华优秀传统文化的继承和弘扬对于落实立德树人根本任务、有效开展德育工作所具有的重要现实意义^[4]。在“思想道德修养与法律基础”课程教学设计中，教师应注重发掘议题的意义和价值，深刻揭示社会主义核心价值观的文化渊源与文化基石，以深厚的文化底蕴获得受教育者的认同和共鸣；应揭示社会主义核心价值观在国家层面、社会层面以及个人层面的现实含义，为受教育者提供价值选择和价值参考；应拓展议题的内涵，积极引出社会主义核心价值观的诸多议题，通过教育教学活动引导、帮助受教育者培养家国情怀、文化素养、法律意识。

再次，寻求议题与受教育者的契合点。寻求议题与受教育者的联系和契合之处，是得到受教育者理解，引起受教育者共鸣，促进受教育者提升思想认识、道德修养的重要方式。第一，注重议题的契合性。“新课标”针对的是高中生，因此课程教学设计应注重设置能引发“议”的冲动的情境而烘托出“价值”，但在大学本科阶段，则应注重设计与受教育者抽象思考力相匹配的议题。引导大学生直接参与思考和讨论抽象的价值议题，甚至可以设置辩论环节，引导同学们在互动中深化对价值理念的认识，沉浸式地参与抽象的价值判断，使其获得真切的主体性感知。第二，突出议题的多元化和开放性。议题的“价值”本身具有基于主体特性的巨大阐释空间，就特定价值议题，只能做到大方向的引领与个体领悟相结合，不可能要求每个人有精准、趋同的理解。因此，价值议题应以价值启发为主。第三，强调议题的生活化、实践性。“思想道德修养与法律基础”课程的具体教学效果与受教育者结合生活实践进行个性塑造息息相关。因此，议题必须贴近受教育者的生活实际，体现实践特征，以促进受教育者深入理解价值议题，更加积极主动地将所学所感付诸实践。

二   作为教学艺术的“价值最小单元”：以“留白”的价值深意求创生

课程思政教学设计应讲求教学艺术，重视教学方法、教学技巧的关键作用。设计教学过程中的“价值最小单元”就是试图以“留白”的方式，激发受教育者对价值议题的好奇心和探索热情。“留白”作为一种教学技巧，实际上就是教师在教学过程中减少直接讲授的时长与内容，不直接告诉受教育者硬性记忆的知识点，留下一定的“空白”，采用启发式教学，以一种“此时无声胜有声”的方式让学生思考设定的价值议题，深刻领会议题的价值深意，使知识真正转化为学生自我发展、自我成长的养料。

现阶段，课程思政教学过程中仍然存在诸多问题，具体表现在以下几方面：其一，教育者重视对特定内容的灌输而忽视适度引导，对受教育者发生转变缺乏耐心等待，强调单一考核标准；其二，单一的知识的讲授使教育内容本身因脱离受教育者切身感知而显得空洞与呆板，换言之，过于强调理性在思想道德教育中的作用，而很大程度上忽视了感性认识以及与感性认识密切相关的受教育者真切的现实生活；其三，现有的教育模式会令受教育者丧失自我生长的能力，对所学内容无感甚至是反感，陷入一种慢性焦虑之中。

如何解决以上问题，如何激发受教育者主体活力，如何以“留白”的方式激发学生探究的热情和学习的兴趣，成为当前推动高校课程思政教学设计创新的主要任务。

首先，教学导入设置“留白”，激发受教育者想要“知道”的欲望。在讲授新课之前，教师要根据本节课新授内容巧设“留白”进行导入。在这一过程中，教师要对教学新授内容有所把握，从整体出发，寻求受教育者的兴趣点和好奇点，设计有吸引力的悬念和情境，使教学内容与教学“留白”实现有效结合，使新知识处于“呼之欲出”而又“若隐若现”的状态，以激发受教育者“求知”的欲望，为课程思政教学进行铺垫。以“思想道德修养与法律基础”课程教学为例，教师在讲授“爱国主义情怀”时可以在授课前展示“时局图”，巧妙点出主题，引起受教育者的好奇心，实现既“破题”又“立意”。

其次，找准教学关键点，突出“留白”的针对性、有效性，以此感动受教育者。在开展课程思政教学的过程中，对“留白”的运用要站在全局的角度，指出教学内容的关键和重点之处，突出教学“留白”的针对性；要考虑到受教育者的整体状况，结合高校课程标准、学科教学特点以及受教育者的知识能力水平，科学设计“留白”。通过“留白”凸显教学重点，加强对学生道德认知、道德践行以及品德修养的有效引导，帮助学生理解教学内容。

再次，注重探究式“留白”，激发受教育者“领悟”的热情。探究性“留白”的设计应注重引导受教育者在课程学习的过程中乐于探究、善于探究，进而对相关问题和相关现象进行学术研究，激发受教育者乐于探索、善于领悟、敢于研究的热情。要对探究性“留白”设计问题予以高度重视，借助探究性“留白”，强化受教育者自主学习和自主探究的能力，以引导受教育者对课程知识进行更加深入的学习思考。“思想道德修养与法律基础”课程内容为受教育者提供了广阔的探究空间，在探讨人生价值、理想信念等方面有意识地设计了探究性问题。这些问题没有统一的答案，却能够有效激发受教育者的探究热情，能够引导受教育者更加积极主动地参与知识探究，在群策群力中引发受教育者对知识的领悟，实现受教育者之间灵魂的碰撞，加深受教育者对知识的深度理解与感悟。

最后，加强课堂评价“留白”，促进受教育者的思想情感“内化”。高校课程思政教学设计要注重课堂评价“留白”，对受教育者予以有效地激励，充分调动学生学习、实践以及内化的主动性和积极性。课堂教学评价工作的开展，要充分抓住受教育者的身心发展特点，进行多元化、开放式评价，允许在程式设定之外有“意外”或“惊喜”发生。例如，对“翻转课堂”“智慧课堂”等教学新模式的评价应注重诊断式、过程性评价，适当赞美，不否定学生。与此同时，通过课堂评价“留白”，创新教学评价的方法，形成多元主体互评，构成多重指标评价体系，引导受教育者在学习“思想政治修养与法律基础”课程中对思想道德与法律知识点进行深入的学习和思考，进而将道德和法律知识内化为自身的行为规范。

总而言之，注重适当采取“留白”的方式，就是要讲求教学艺术，在课程设计中充分允许不确定性的发生，强调师生在主体间性教学场域中的平等地位，激发受教育者自我生长的动力，以增强课程思政教学的有效性。

三   作为教学载体的“价值最小单元”：以深切的价值情感促转化

进行课程思政教学设计要重视教学载体的重要作用。这里的教学载体不再是单纯的物化的教学器具，而是将单一价值议题为核心的一个完整课程设计“闭环”作为一个“价值最小单元”的最终载体。通过完整的教学设计流程阐释议题价值，搭建起教学内容与受教育者情感沟通的桥梁，促进受教育者情感的升华和知识的内化。

作为教学载体的“价值最小单元”，应设计成几个教学环节，形成完整的“闭环”结构，传递深切的价值情感，促进受教育者情感的升华。可将“价值最小单元”分为如下几个教学设计环节：信念贯穿—时代描摹—理路分析—任务描述—价值揭示。第一，信念贯穿。课堂教学应以坚定的理想信念和使命担当作为主线，如解放军战士“最美逆行”、医生“舍身奉献”等都应成为大家学习的榜样，将信念作为贯穿课程教学全程的线索。第二，时代描摹。要注重生动案例与社会现实的结合，追求价值议题与具体历史、社会语境相契合，生动揭示人与时代、人与现实的关系，点明重要人物或重大事件在历史长河中的重要意义，给人心灵的震撼。例如通过介绍集体主义精神在全国人民共同抗疫中的体现、爱国主义精神在抗洪救灾中的彰显等生动事例，调动受教育者参加抗疫的积极性。第三，理路分析。要善于运用史料进行说理，疏通事理，沟通情理，以事理带情理，以情理察事理，给人细密严谨、可信度高的感受。第四，任务描述。课程的讲授要以重要事件和重要任务为主要抓手，通过对事件和具体任务的描述，凸显人物和事件的价值，以小见大，突出关键内容。例如，全民抗疫过程中涌现的钟南山、张定宇、陈薇等鲜活的人物，全国各族人民千里驰援、互帮互助的感人事迹等，都可以作为课程思政教学中的典型案例，以充分凸显议题价值，呼应教学主题。第五，价值揭示。阐明讲授意图，与主题相呼应，展开不过度、总结不冗长，点到为止。或者引用学理深厚的语句条理清晰地进行总结，让受教育者能在短小精悍的总结中受到启发。以“思想道德修养与法律基础”这一高校公共课为例，在实际教学中，教师可以采取案例引入法、具体学科与哲学类比法以及人物感染法等。

以上基于“价值最小单元”的教学设计环节有助于实现价值引领，达到较为理想的教学效果。从课程设计角度而言，作为教学载体的“价值最小单元”的深切情感启发在于：在课程思政教学中应适当压缩道理阐发，以充分表达某种信念或者价值的陈述为主，由此引起受教育者的共鸣，自然而然地进入由“感动”到“领悟”的环节，使课程思政教学与专业课程内容达到“无缝对接”，进而使思想道德教育达到“润物无声”的效果。

总之，作为教学载体的“价值最小单元”，就是在相对完整的教学环节设计的基础上，注重让价值议题承载于“信念贯穿—时代描摹—理路分析—任务描述—价值揭示”的链条上，使得各个环节形成互相支撑、搭配合理的“闭环”，以强化道德情感教育，促进受教育者道德水平的提升。

三.   基于“价值最小单元”的课程思政教学设计反思

对教学设计进行反思也是教学设计的关键一环。基于“价值最小单元”的课程思政教学设计，应从教学者与教育者双重角度，从是否能够发掘特定价值观念的深度广度、是否引起受教育者对价值深意的探究热情、是否得到受教育者的认同与共鸣这三个方面进行反思。

一   拓展价值议题的深度与广度

课程思政教学设计是以特定的价值观念为一个基本议题来开端的。价值议题的选择、价值议题的深度以及广度都影响着课程设计的效果，也最终影响教学的实际效果。因此，在教学设计过程中，教育者应时刻反思是否充分发掘特定价值观念的广度与深度。

1   反思议题的设置是否符合课程要求且具有针对性

对议题进行调整和规划有助于整体教学设计灵活安排，也有助于价值议题的拓展延伸。首先，反思议题的设置是否符合课程要求。教育者要根据高校课程思政教学实施要求，增加“新颖”“灵活”“创新”的议题，应删除“繁、难、偏、旧”的议题，充实具有时代感的相关议题，补充以学生发展为本、培养学生创新精神的议题，增加课程实践、推进素质教育相关议题，不断增强高校课程思政教学设计的实效性。其次，反思议题的设置是否具有针对性。“思想道德修养与法律基础”课程各章节虽有联系，但总体而言各章节各具特色。因此，议题的设置要充分凸显各章节的重点。例如，在“珍惜大学生活开拓新的境界”这一章节的教学设计中，应充分注意要抓住“学生身份的转变”这一关键点，有针对性地选择议题。议题要充分强调大学生身份的不同之处，鼓励学生以积极的心态面对大学生活，激励大学生在大学生活与学习中不断进步。而在“领悟人生真谛创造人生价值”这一章节的教学设计中，教育者应充分抓住“如何实现人生价值”这一关键议题，鼓励大学生通过奋斗、奉献而实现人生的价值。总之，教育者应从议题是否符合课程要求、是否具有针对性这两方面进行反思。

2   反思是否根据受教育者实际挖掘议题深度

教学设计只有贴近受教育者本身实际状况，才能更大程度地发挥价值议题的作用。在教学设计中，教育者应切实反思是否在选择价值议题时联系学生生活和社会实际，把学生视为“生活世界”中“实际”的人，而不仅仅是“书本世界”中“虚假”的人；应时刻反思、注意面向学生的课堂，是否面向学生的生活世界，是否能反映受教育者的真实需求，是否能满足受教育者对知识的渴求；应时刻反思价值议题的设置与挖掘是否符合受教育者生理、心理特征，是否能激起学生更大的学习热情。以“思想道德修养与法律基础”课程教学中“领悟人生真谛创造人生价值”一课为例，在该节的教学设计中，教育者应充分重视和及时反思价值议题的设计是否切合受教育者实际，对案例的选择(例如大学生援疆、大学生投身扶贫工作等)是否体现大学生的真实生活，对案例的分析是否能解决大学生的困惑，是否能激发起大学生学习的热情。

3   反思是否根据时代要求对议题进行延伸

任何事物都无法脱离时代的大潮，教育也是如此。因此，教学设计应充分切合时代特征和时代要求，对价值议题的选择应体现时代气息。这也是教育者在教学设计反思中应注意的问题。例如党的十九大报告指出当下中国社会的主要矛盾已转变为人民日益增长的美好生活需要与发展不平衡不充分之间的矛盾。早在党十八大报告中，党中央就从价值层面提出了12种具体规范，即国家层面的富强、民主、文明、和谐，社会层面的自由、平等、公正、法治，个人层面的爱国、敬业、诚信、友善。这12种价值规范，高屋建瓴地为课程思政教学设计指明了方向。因此，在课程思政教育教学设计中，社会主义核心价值观应成为价值议题设置的主要依据。教育者必须反思是否将时代的要求凸显于议题之中，反思是否根据时代的要求对价值议题进行适当延伸。

总之，对课程思政教学设计进行反思，必须将激发受教育者对价值议题的探究热情作为一项重要标准，将议题的设置必须符合课程要求、根据受教育者实际深挖议题深度、根据时代要求对价值议题进行延伸作为衡量标准。

二   激发受教育者对价值深意的探究热情

课程思政教学设计的一个重要目标就是促进受教育者对价值深意的讨论和有效互动，激发学生对价值深意的探究热情。对价值议题展开讨论和互动，充分理解价值深意，有利于增强教学的实际效果。因此，在教学设计过程中，教育者应时刻反思价值议题是否能够激发受教育者的参与探究热情。

1   反思是否激发受教育者对价值深意的好奇心

现阶段，教学设计仍旧存在一系列问题，突出表现在：学生在以往的课程学习过程中没有切身体验到成功，无法激发学生的学习动机；对枯燥、过时的课堂教学议题表示不满意，对学习提不起兴趣。因此，如何有效地激发学生对价值议题的探究兴趣、激发他们的学习动机已成为当前亟待解决的一大难题，也是教师在教学设计中应时刻注意和反思的问题。教师应反思是否在教学设计中充分运用“留白”的手法，是否为学生留有充足的时间和空间对价值议题进行思考，进而激发学生探究的欲望；是否在教学设计中运用兴趣发现型教学模式，采用辩论教学法，激发学生产生强烈的好奇心，促使其主动地参与到课堂教学中；是否在教学设计中设计问题情境，提出有一定难度的问题，使学生既感到熟悉又不能利用已有的知识去解决问题，激起学生探究的积极性和求知的欲望。

2   反思是否促进受教育者对价值议题的有效参与

学生对价值议题的有效、及时反馈能够充分体现学生对于价值议题的感兴趣程度，对于激发学习和探究的热情具有重要作用。教师应反思是否在教学设计中为学生创设体验的机会，是否充分运用表演参与型教学模式，采用体验教学法，设置互动环节，鼓励学生积极参与，勇于接受挑战，敢于自我表现，促进自我完善，进而得到学生对价值议题的有效反馈；反思是否在教学设计中运用情感体验型教学模式，采用情境教学法，创设必要情境让学生有身临其境的感觉，让学生感同身受，产生心灵深处的碰撞，有效提升学生的课程参与度；反思是否在教学设计中运用归纳型教学模式，采用讨论教学法，让学生有效参与其中，切实提升参与感，激发学生对价值议题的探究热情。

总之，对课程思政教学设计进行反思，必须将能否激发受教育者对价值议题的探究热情作为反思的主要内容，将是否激发受教育者对价值深意的好奇心、促进教育者对价值议题的有效参与作为反思的重点。

三   促进受教育者的情感共鸣与价值认同

课程思政教学设计的目的就是要促进受教育者的情感共鸣与价值认同。对价值议题的共鸣与认同有利于加深受教育者对价值议题的理解与认识，也有利于受教育者对价值观念的践行与落实。因此，在教学设计过程中，教育者应时刻反思价值议题是否能够得到受教育者的认同与共鸣。

1   反思是否在教学设计中彰显高尚的情怀

课程思政教学设计既需要理性的成分，更需要情感的投入^[5]。只有把理性和感性充分结合起来，彰显高尚的情怀，课程思政教学设计才算成功。因此，要反思在教学设计中是否厚植家国情怀，是否充分彰显民族精神，是否始终积极关注社会热点、关注时代问题，将支撑中华民族生生不息的精神薪火相传。同时，还要反思在教学设计中是否体现使命担当，将实现中华民族伟大复兴、实现人民群众对美好生活的向往作为课程思政教学的重点议题，培养学生爱国之情、报国之志，引导受教育者在新时代新征程中扛起使命、书写华章。特别是在“继承爱国传统弘扬民族精神”一课的教学设计中重点突出家国情怀、使命担当这一主题，引起学生的价值认同与情感共鸣。

2   反思是否在教学设计中注重解决学生的现实问题

课程思政教学设计只有接地气、有温度、有真情，才会使受教育者与之产生共鸣，才能发自内心地认同、接受教育。教育者应反思是否在实际教学设计中设身处地地为学生思考问题，何为学生最关心的问题、何为学生最疑惑的问题；反思是否在教学设计中真诚地为学生着想，爱护学生、关心学生。只有想学生之所想，急学生之所急，才能充分激发学生对于价值议题的认同与共鸣。例如在“珍惜大学生活开拓新的境界”一课的教学设计中，教育者应及时反思是否以学生为主体，切实了解学生的困难，解决学生的现实问题。

3   反思是否在教学设计中投入了饱满的热情

教育本就是动之以情、晓之以理的过程，是情和理交织在一起的过程。心理学研究表明，一个人的情感可以感染其他人，使他人能够产生与之相应的情感，这就是情感共鸣。受教育者一旦与教育者产生了情感共鸣，教育内容就很容易被接受^[6]。只有教育者真正投入其中，为教学设计倾注了心血，凸显出教学设计的价值，方能引起学生的情感共鸣。教育者要反思是否以饱满的热情投入工作中，是否在教学设计过程中不断刻苦钻研，不断提高教育水平和能力，以精湛的专业水平和饱满的热情促进教学设计与学生的情感共鸣。这样的反思应贯穿于课程思政教学设计全过程。

总之，对教学设计进行反思，必须将能否激发受教育者的情感共鸣与价值认同作为考量的主要内容，将是否在教学设计中彰显高尚的情怀、注重解决学生的现实问题、投入饱满的热情作为教学设计反思的重点。

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一. “价值最小单元”概念释义及课程设计理念
二. 基于“价值最小单元”的课程思政教学设计探索
一作为教学内容的“最小价值单元”：以特定的价值观念为课程议题
二作为教学艺术的“价值最小单元”：以“留白”的价值深意求创生
三作为教学载体的“价值最小单元”：以深切的价值情感促转化
三. 基于“价值最小单元”的课程思政教学设计反思
一拓展价值议题的深度与广度
二激发受教育者对价值深意的探究热情
三促进受教育者的情感共鸣与价值认同

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极值理论的研究在人类生活中具有非常重要的地位和作用，常用于预测一些极端随机现象和小概率事件.如今，由于极值理论的应用日益成熟、理论本身的发展以及经济金融领域频繁发生危机，对人类的生活和社会造成了重大影响，使得极值理论的价值和优越性进一步得以体现，逐步走向了金融风险管理领域.而且，极值统计量和它们的位置关系的研究作为极值理论研究的一部分，在极值分析中有着非常重要的作用，主要被应用在对环境和财经的数据处理分析中，当我们所研究的数据部分丢失时，应怎样选取数据确保这组数据达到我们预期的概率.类似的问题促使研究者们对极值顺序统计量位置的渐进分布进行深入研究.

对于平稳序列，文献[1]已经证明了最大值和其首次出现的位置在独立同分布的情况下渐近独立以及最大值的位置渐近服从均匀分布；文献[2]得到了在弱混合条件下，平稳序列的最大值与最小值位置的联合渐近分布；文献[3]讨论了平稳高斯向量序列最大值与最小值联合的几乎处处收敛；文献[4]讨论了高斯三角阵的最大值与最小值的密度函数的渐近性质.到目前为止，对于次最大值与次最小值的渐近性质尚未研究，因此，本文在已有研究的基础上对平稳序列的次最大值和它的位置的渐近性质以及次最大值和次最小值位置的渐近性质作进一步研究.

设{X_n}_n≥1是严格的平稳序列，且存在实数列{a_n＞0}_n≥1和{b_n}，使得对于任意的x∈ $\mathbb{R}$ 有

其中G表示非退化的分布函数.如果对每个τ＞0，存在{u_n^(τ)}_n≥1使得

和

成立，那么就说{X_n}有极值指标θ，0＜θ≤1，因此(1)式成立当且仅当

用M_n^(k)(I)和m_n^(r)(I)分别表示该序列的第k个最大值和第r个最小值， $\bar L_n^{\left( k \right)}$ 和 $\underline L _n^{\left( r \right)}$ 分别表示第k个最大值的位置和第r个最小值的位置，即：

1. 预备知识

下面先定义平稳序列超过水平u_n(x)=a_nx+b_n所构成的点过程N_n

其中 $\mathbb{B}$ 是(0，1]上的Borel集.根据上述定义显然有

如果对于任意的τ，n(1-F(u_n))=np{x_i＞u_n}→τ，文献[1]中的条件D(u_n(τ))和D^′(u_n(τ))成立，那么点过程N_n收敛到参数为τ的泊松过程N.

文献[1]中对平稳序列在相依条件下的最大值分布做了研究，文献[5-6]证明了平稳序列在相依条件下最大值和最小值是渐近独立的.下面将对文献[1, 5-6]的条件进行推广，使得{M_n⁽¹⁾(I)≤u_n⁽¹⁾，M_n⁽²⁾(I)≤u_n⁽²⁾}和{M_n⁽¹⁾(J)≤u_n⁽³⁾，M_n⁽²⁾(J)≤u_n⁽⁴⁾}渐近独立.对于{1，2，…，n}中的子集I，J，E，F且有I∪J={1，2，…，n}，E∪F={1，2，…，n}和I∩J=E∩F=∅，使得{{M_n⁽¹⁾(I)≤u_n⁽¹⁾，M_n⁽²⁾(I)≤u_n⁽²⁾，M_n⁽¹⁾(J)≤u_n⁽³⁾，M_n⁽²⁾(J)}≤u_n⁽⁴⁾}和{m_n⁽¹⁾(E)＞v_n⁽¹⁾，m_n⁽²⁾(E)＞v_n⁽²⁾，m_n⁽¹⁾(F)＞v_n⁽³⁾，m_n⁽²⁾(F)＞v_n⁽⁴⁾}渐近独立，其中u_n^(k)，v_n^(k)，k=1，2，3，4满足

定义1  如果对于给定的实数序列{(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)}，且u_n^{(i)^*}∈{(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)}使得

其中l_n=o(n).那么就说序列{X_n}_n≥1满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾).

定义2  假设{u_n^(k)}_n≥1，{v_n^(k)}_n≥1，k=1，2，3，4是两个实数序列，如果

其中l_n=o(n)，u_n^{(i)^*}∈{u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾}，v_n^{(j)^*}∈{v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾}.那么我们就说序列{X_n}_n≥1满足条件D((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾)).

定义3  如果

其中u_n^{(i)^*}∈{u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾}，v_n^{(j)^*}∈{v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾}. {k_n}_n≥1是一个整数序列，且当n→∞时，k_n→∞，那么序列{X_n}_n≥1满足条件C₂((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾)).

对任意的I⊂R_n={1，…，n}，J⊂R_n={1，…，n}，I∪J=R_n，I∩J=∅，下面的引理说明了在条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)下{M_n⁽¹⁾(I)≤u_n⁽¹⁾，M_n⁽²⁾(I)≤u_n⁽²⁾}和{M_n⁽¹⁾(J)≤u_n⁽³⁾，M_n⁽²⁾(J)≤u_n⁽⁴⁾}渐近独立，这是得到次最大值和它的位置的渐近性质的关键.

引理1  假设平稳序列{X_n}_n≥1满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，且存在整数序列{k_n}_n≥1和{l_n}_n≥1使得

其中α_n，l是条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)的系数，则有

引理2  假设{u_n^(k)}_n≥1，{v_n^(k)}_n≥1，k=1，2，3，4是实数序列，如果对于k∈{1，2，3，4}，有

其中τ_k，η_k＜∞.且平稳序列{X_n}_n≥1满足条件α_{n，l_n}^*=o(1)，整数序列{k_n}_n≥1满足

其中J₁，J₂，…，J_{k_n}为{1，2，…，n}中不相交的子集，则有

其中u_n^{(i)^*}∈{u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾}，v_n^{(j)^*}∈{v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾}.

引理3  假设序列{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1分别有极值指标θ₁和θ₂，且平稳序列{X_n}_n≥1满足条件D((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))和C₂((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))其中u_n^(k)，v_n^(k)满足(2)式，{k_n}_n≥1满足(3)式，则

证  不妨设t₁＜t₂，取I₁={1，…，[nt₁]}，I₂={[nt₁]+1，…，[nt₂]}和I₃={[nt₂]+1，…，n}，则利用引理2，

由题设条件易知，对于任意的k∈{1，2，3，4}，C₂(u_n^(k)，v_n^(k))和D(u_n^(k)，v_n^(k))成立，则(4)式等于

因此，利用平稳性以及序列{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1分别有极值指标θ₁和θ₂，得到(5)式等于

另一方面，由于{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1分别满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)和D₄(-v_n⁽¹⁾，-v_n⁽²⁾，-v_n⁽³⁾，-v_n⁽⁴⁾)，利用引理1，

因此(7)式也收敛到(6)式，从而结论成立.

2. 主要结果及其证明

下面将给出 ${\overline {{L_n}} ^{\left( 2 \right)}}/n$ 和a_n^-1(M_n⁽²⁾-b_n)的渐近性质以及次最大值和次最小值与其位置的渐近性质.

定理1  假设{X_n}_n≥1是一平稳序列，有极值指标θ，且存在常数序列{a_n}_n≥1和{b_n}_n≥1使得

其中G是非退化的分布函数.如果对于每个x_k∈ $\mathbb{R}$ ，u_n^(k)=a_n^-1x_k+b_n，k=1，2，3，4，且{X_n}_n≥1满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)和D^′(u_n^(k))，则

其中x是实数，0＜t≤1.

也就是说，次最大值和其位置是渐近独立的，且位置是渐近地服从均匀分布.

证  由于

所以

令I={1，2，…，[nt]}，J={[nt]+1，…，n}，0＜t≤1；令M⁽¹⁾(I)，M⁽²⁾(I)分别表示区间I上的最大值和第二最大值；令M⁽¹⁾(J)，M⁽²⁾(J)分别表示区间J上的最大值和第二最大值.设

的联合分布函数为H_n(x₁，x₂，x₃，x₄)，则对于任意的x₁＞x₂，x₃＞x₄

其中u_n^(k)=a_n^-1x_k+b_n.易知

其中I^′=(0，t]，J^′=(t，1].利用引理1和文献[1]中的推论5.5.2，取B₁=I^′，B₂=J^′，则

其中

由(9)式知(X_n⁽¹⁾，X_n⁽²⁾，Y_n⁽¹⁾，Y_n⁽²⁾)依分布收敛到(X₁，X₂，Y₁，Y₂)，其联合分布函数H是绝对连续的.因此

定理2  假设平稳序列{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1的极值指标分别为θ₁和θ₂.且存在常数序列{a_n＞0}_n≥1，{b_n}_n≥1，{c_n＞0}_n≥1和{d_n}_n≥1使得

和

成立，其中G和H为非退化的分布函数.如果对于每个x₁，x₂，y₁，y₂∈ $\mathbb{R}$ ，u{(k)}_n=a_nx_k+b_n，v{(k)}_n=c_nx_k+d_n，k∈{1，2，3，4}，{X_n}_n≥1满足条件D((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))和C₂((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))，且整数序列{k_n}_n≥1满足(3)式，那么

证  由于n(1-F(u_n^(k)))→τ_k，n(F(v_n^(k)))→η_k，所以

用I，J，E，F分别表示区间{1，2，…，[nt₁]}，{[nt₁]+1，…，n}，{1，2，…，[nt₂]}和{[nt₂]+1，…，n}；M⁽¹⁾(I)，M⁽²⁾(I)，M⁽¹⁾(J)，M⁽²⁾(J)分别表示X_i中在区间I，J上的最大值和第二最大值；m⁽¹⁾(E)，m⁽²⁾(E)，m⁽¹⁾(F)，m⁽²⁾(F)表示X_i中在区间E，F上的最小值和第二最小值.设随机变量

的分布函数为H_n^′(x₁，x₂，x₃，x₄，y₁，y₂，y₃，y₄)，则对任意的x₁＞x₂，x₃＞x₄，y₁＞y₂，y₃＞y₄有

其中u_n^(k)=a_n^-1x_k+b_n，v_n^(k)=c_n^-1x_k+d_n.易知

其中：I^′=(0，t₁]，J^′=(t₁，1]，E^′=(0，t₂]，F^′=(t₂，1].由文献[1]中的推论5.5.2和引理3，

其中

由于

利用点过程的性质(X_n⁽¹⁾，X_n⁽²⁾，Y_n⁽¹⁾，Y_n⁽²⁾，X_n^′⁽¹⁾，X_n^′⁽²⁾，Y_n^′⁽¹⁾，Y_n^′⁽²⁾)依分布收敛到(X₁，X₂，Y₁，Y₂，X₁^′，X₂^′，Y₁^′，Y₂^′)，其分布函数H绝对连续.因此，

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平稳序列的次最大值和次最小值与其位置的渐近性质

西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

作者简介:
卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究 .

通讯作者: 陈守全, 博士, 副教授

The Asymptotic Properties of Locations of the Second Maximum and Minimum of Stationary Sequences

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

一. “价值最小单元”概念释义及课程设计理念

二. 基于“价值最小单元”的课程思政教学设计探索

一作为教学内容的“最小价值单元”：以特定的价值观念为课程议题

二作为教学艺术的“价值最小单元”：以“留白”的价值深意求创生

三作为教学载体的“价值最小单元”：以深切的价值情感促转化

三. 基于“价值最小单元”的课程思政教学设计反思

一拓展价值议题的深度与广度

1 反思议题的设置是否符合课程要求且具有针对性

2 反思是否根据受教育者实际挖掘议题深度

3 反思是否根据时代要求对议题进行延伸

二激发受教育者对价值深意的探究热情

1 反思是否激发受教育者对价值深意的好奇心

2 反思是否促进受教育者对价值议题的有效参与

三促进受教育者的情感共鸣与价值认同

1 反思是否在教学设计中彰显高尚的情怀

2 反思是否在教学设计中注重解决学生的现实问题

3 反思是否在教学设计中投入了饱满的热情

计量

平稳序列的次最大值和次最小值与其位置的渐近性质

通讯作者: 陈守全, 博士, 副教授

作者简介: 卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究
西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

English Abstract

The Asymptotic Properties of Locations of the Second Maximum and Minimum of Stationary Sequences

Corresponding author: Shou-quan CHEN

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作者简介: 卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究 .

通讯作者: 陈守全, 博士, 副教授

The Asymptotic Properties of Locations of the Second Maximum and Minimum of Stationary Sequences

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一. “价值最小单元”概念释义及课程设计理念

二. 基于“价值最小单元”的课程思政教学设计探索

一 作为教学内容的“最小价值单元”：以特定的价值观念为课程议题

二 作为教学艺术的“价值最小单元”：以“留白”的价值深意求创生

三 作为教学载体的“价值最小单元”：以深切的价值情感促转化

三. 基于“价值最小单元”的课程思政教学设计反思

一 拓展价值议题的深度与广度

1 反思议题的设置是否符合课程要求且具有针对性

2 反思是否根据受教育者实际挖掘议题深度

3 反思是否根据时代要求对议题进行延伸

二 激发受教育者对价值深意的探究热情

1 反思是否激发受教育者对价值深意的好奇心

2 反思是否促进受教育者对价值议题的有效参与

三 促进受教育者的情感共鸣与价值认同

1 反思是否在教学设计中彰显高尚的情怀

2 反思是否在教学设计中注重解决学生的现实问题

3 反思是否在教学设计中投入了饱满的热情

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出版历程

平稳序列的次最大值和次最小值与其位置的渐近性质

通讯作者: 陈守全, 博士, 副教授

作者简介: 卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715

English Abstract

The Asymptotic Properties of Locations of the Second Maximum and Minimum of Stationary Sequences

Corresponding author: Shou-quan CHEN

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西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

作者简介:
卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究 .

一作为教学内容的“最小价值单元”：以特定的价值观念为课程议题

二作为教学艺术的“价值最小单元”：以“留白”的价值深意求创生

三作为教学载体的“价值最小单元”：以深切的价值情感促转化

一拓展价值议题的深度与广度

二激发受教育者对价值深意的探究热情

三促进受教育者的情感共鸣与价值认同

作者简介: 卜雪妍(1993-), 女, 硕士研究生, 主要从事极值分析的研究
西南大学数学与统计学院, 重庆 400715