考虑如下具有变时滞的高阶随机Hopfield神经网络模型

其中：i∈I={1，2，…，n}；x_i(t)表示第i个神经元在t时刻的状态变量；f_j(·)，g_j(·)表示激活函数；b_ij，c_ijl分别表示突触的一阶和二阶连接强度；a_i＞0表示第i个神经元的衰减率；τ_ij(t)表示t时刻神经网络中的变时滞且满足0≤τ_ij(t)≤τ和${{\dot{\tau }}_{ij}}$(t)≤ρ＜1；I_i表示外界对神经网络的输入量.

系统(1)的初值条件为

其中φ(s)=(φ₁(s)，φ₂(s)，…，φ_n(s))^T∈C=([-τ，0]，${\mathbb{R}^{n}}$)指的是把[-τ，0]映射到${\mathbb{R}^{n}}$上的所有连续函数组成的一个集合. p-范数在本文中的形式为

对于系统(1)，我们假设

(H₁)存在实数${{M}_{j}}>0, \text{ }{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{L}}_{j}}, \text{ }{{\bar{L}}_{j}}$及N_j＞0，使得|g_j(x)|≤M_j，${{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{L}}}_{j}}\le \frac{{{f}_{j}}\left( y \right)-{{f}_{j}}\left( x \right)}{y-x}\le {{{\bar{L}}}_{j}}, $ $\left| {{g}_{j}}\left( y \right)-{{g}_{j}}\left( x \right) \right|\le {{N}_{j}}\left| y-x \right|$对任意的x，y∈ $\mathbb{R}$，1≤j≤n成立.

定义

把系统(1)作为主驱动系统，为了同步，引入如下的响应系统

其中e_j(t)=y_j(t)-x_j(t).响应系统(4)的初值条件是y_i(s)=ϕ_i(s)，s∈[-τ，0]，i∈I，其中：ϕ(s)=(ϕ₁(s)，ϕ₂(s)，…，ϕ_n(s))^T∈C([-τ，0]，${\mathbb{R}^{n}}$)，U_i(t)为外部输入控制，ω(t)=[ω₁(t)，…，ω_n(t)]^T为定义在完备概率空间(Ω，F，F_t，P)上具有自然滤波{F_t}_t≥0的n维独立布朗运动，且有E{dω(t)}=0，E{[dω(t)]²}=dt；σ_ij(t，e_j(t)，e_j(t-τ_ij(t))dω_j(t)，i，j∈I表示随机扰动.

(H₂)存在实数d_ij＞0和p_ij＞0，使得σ_ij²(t，u，v)≤d_iju²+p_ijv²，对任意的u，v∈R，i，j∈I成立.

为了书写方便记

(H₃)不等式${{\lambda }_{i}}-{{\mu }_{i}}-\text{ }\frac{{{\sigma }_{i}}}{1-\rho }-{{\omega }_{i}}\ge 0$，i∈I成立.

本文要通过构造一个恰当的外部输入控制U_i(t)，实现驱动系统(1)和响应系统(4)在有限的时间内同步

其中a＞0是一个常数，${{F}_{i}}\left( \varepsilon \right)={{\lambda }_{i}}-{{\mu }_{i}}-\text{ }\frac{{{\sigma }_{i}}{{\text{e}}^{\tau \varepsilon }}}{1-\rho }-{{\omega }_{i}}-\varepsilon $，i∈I.

根据系统(1)和系统(4)知误差系统为

定义1  对于驱动系统(1)和响应系统(4)，若存在一个有限的时间常数T＞0，使得

同时当t＞T时‖y(t)-x(t)‖=0，则驱动系统(1)和响应系统(4)以概率1在有限时间(t₀，T]内同步.

引理1^[15]   (Harder)如果c₁，c₂，…，c_n是正实数且0＜θ＜p，则

引理2^[16]  若x(t)是一个关于时间t(t≥0)的n维${\rm{It\hat o}}'{\rm{s}}$过程，且满足随机微分方程

若V(t，x(t))∈C^1，2(${\mathbb{R}^{+}}\times {\mathbb{R}^{n}};{\mathbb{R}^{+}}$)，则V(t，x(t))是一个实数值的Itô's过程，且满足随机微分方程

其中：${{V}_{t}}\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)=\frac{\partial V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial t}\text{, }{{V}_{\mathit{\boldsymbol{x}}}}\left( t, \mathit{\boldsymbol{x}} \right)=\left( \frac{\partial V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial {{x}_{1}}}, \cdots , \frac{\partial V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial {{x}_{n}}} \right), {{V}_{\mathit{\boldsymbol{xx}}}}\left( t, \mathit{\boldsymbol{x}} \right)={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial {{x}_{i}}\partial {{x}_{j}}} \right)}_{n\times n}}, $ ${{C}^{1, 2}}\left( {\mathbb{R}^{+}}\times {\mathbb{R}^{n}};{\mathbb{R}^{+}} \right)$指的是关于t一阶连续可微和关于x二阶连续可微的所有非负函数V(t，x)构成的集合.

引理3  如果存在实数a＞0和0＜θ＜1，且正定连续函数V(t)满足LV(t)≤-aV^θ(t)，t≥t₀，则对任意给定的t₀，V(t)满足(EV(t))^1-θ≤V^1-θ(t₀)-a(1-θ)(t-t₀)，t₀≤t≤T，且当t＞T时V(t)=0，其中$T={{t}_{0}}+\frac{{{V}^{1-\theta }}\left( {{t}_{0}} \right)}{a(1-\theta )}$.

证  由引理2可知

对其两边取数学期望则有

则D⁺EV(t)≤-aEV^θ(t).由数学期望Jensen不等式EV^θ(t)≥(EV(t))^θ，有D⁺EV(t)≤-a(EV(t))^θ，即有(EV(t))^1-θ≤V^1-θ(t₀)-a(1-θ)(t-t₀)，t₀≤t≤T，且当t＞T时V(t)=0，其中$T={{t}_{0}}+\frac{{{V}^{1-\theta }}\left( {{t}_{0}} \right)}{a(1-\theta )}$.

定理1  如果(H₁)-(H₃)成立，则驱动系统(1)和响应系统(4)在恰当的外部输入控制U_i(t)下，在有限时间(t₀，T]内同步，

证  构造如下形式的Lyapunov泛函

结合误差系统(6)，假设(H₁)-(H₂)及引理2中的(8)式可以得到下面的式子

对于实数a_i＞0(1≤i≤p)，有不等式$p\prod\limits_{i=1}^{p}{{{a}_{i}}\le }\text{ }\sum\limits_{i=1}^{p}{a_{i}^{p}}$成立，若存在正实数γ_ijk，δ_ijk，ζ_ijk，$\vartheta $_ijk且满足

则

由(10)-(13)式可知

定义函数族

由假设(H₃)知F_i(0)≥0，i∈I.因此，ε_i是方程${{F}_{i}}\left( {{\varepsilon }_{i}} \right)={{\lambda }_{i}}-{{\mu }_{i}}-\text{ }\frac{{{\sigma }_{i}}{{\text{e}}^{\tau {{\varepsilon }_{i}}}}}{1-\rho }-{{\omega }_{i}}-{{\varepsilon }_{i}}$，i∈I的唯一正解.记

成立.

由(14)式和F_i(ε)≥0可知

根据引理(1)可知

则由(15)和(16)式可知

当a≥0，b≥0且0＜r＜1时，不等式(a+b)^r≤a^r+b^r成立，则有

成立.

由(17)式和(18)式可知

成立.

由引理(4)可知

由(9)式和(19)式及数学期望的定义可知

可知

且当t＞T时‖y-x‖=0.说明驱动系统(1)和响应系统(4)在有限时间(t₀，T]内是同步的.

下面给出一个例子，说明本文结论是正确的.在驱动系统(1)中，i，j，l=1，2，g₁=g₂=f₁=f₂=tanh(x)，a₁=a₂=1，τ_ij(t)=τ_il(t)= $\frac{{{\text{e}}^{t}}}{1+{{\text{e}}^{t}}}$，经过计算可知

在响应系统(4)中取

当p=2时，

由(20)式和(21)式可知，驱动系统(1)和响应系统(4)在恰当的外部输入控制U_i(t)(i=1，2)下在有限时间内同步.