本文中的环均指有单位元的结合环，所有的R-模都指左R-模(右R-模可视为反环R°上的模).关于限制同调维数，文献[1]做了很多工作，运用导出函子定义了模M的限制投射、内射和平坦维数：

Rpd_RM=sup{i≥0|存在内射维数有限的R-模T，使得Ext_Rⁱ(M，T)≠0.}

Rid_RM=sup{i≥0|存在投射维数有限的R-模L，使得Ext_Rⁱ(L，M)≠0.}

Rfd_RM=sup{i≥0|存在平坦维数有限的R°-模T，使得Tor_i^R(T，M)≠0.}

文献[2]研究了有限维数和限制平坦维数之间的关系.随后，文献[3-4]分别研究了复形的限制投射和内射维数，并给出了一些维数的性质.对限制同调维数的进一步研究可参见文献[5-6].受以上工作的启发，本文进一步研究模的限制内射维数.特别地，我们引入了限制内射模，并借助限制内射模的分解给出了限制内射维数新的计算办法.本文中投射、内射和平坦R-模的类分别记为P(R)，I(R)，F(R)，所有投射、内射和平坦维数有限的R-模的类记为$\overline{P\left( R \right)}$，$\overline{I\left( R \right)}$，$\overline{F\left( R \right)}$.

定义1    设M是R-模.如果对任意的投射维数有限的R-模L，都有Ext_R¹(L，M)=0，则称M是限制内射模.所有限制内射R-模构成的类记为RI(R).

命题1    设M是R-模.则M是限制内射模当且仅当对任意投射维数有限的R-模L，任意i＞0，都有Ext_Rⁱ(L，M)=0.

证    充分性显然成立，下证必要性.不妨设pd_RL=m＜∞.若m=0，则结论显然成立.故设m＞0，则存在正合列

其中P_i∈P(R).令K=Ker(P₀→L)，则有正合列

因为pd_RK≤m-1＜∞，所以Ext_R¹(K，M)=0.由于Ext_R²(L，M)≅Ext_R¹(K，M)，故Ext_R²(L，M)=0.再由数学归纳法可得，对任意的i＞0，Ext_Rⁱ(L，M)=0.

定义2^{[7，定义2.1]}    称R-模M是Gorenstein内射模，如果存在一个内射R-模的正合列

使得M≅Ker(I⁰→I¹)，并且对任意内射R-模E，Hom_R(E，-)保持其正合.所有Gorenstein内射R-模构成的类记为GI(R).

命题2    设R是环.则Gorenstein内射R-模是限制内射的，即GI(R)⊆RI(R).

证    设M是Gorenstein内射R-模，下证M∈RI(R)，即对任意L∈$\overline{P\left( R \right)}$，证明Ext_R¹(L，M)=0.不妨设pd_RL=m＜∞.如果m=0，则结论显然成立.故设m＞0.因为M∈GI(R)，则存在正合列

其中I_i∈I(R)，故有

因此M∈RI(R).

以下例子说明限制内射R-模未必是Gorenstein内射的.

例1    设(R，m)是一个交换的Artin局部环，其中m²=0，且R不是Gorenstein环.事实上R=k[x，y]/(x²，xy，y²)即满足上述条件，其中k是域.因为R不是Gorenstein环，故存在非Gorenstein内射的R-模M，但M是限制内射的.事实上，若L是任意投射维数有限的R-模，因为R是一个交换的Artin局部环，所以L是投射的，因此Ext_R¹(L，M)=0，即M是限制内射R-模.

定义3^[8]    设ℵ是R-模的类.如果I(R)⊆ℵ，且对任意的正合列

其中X^′∈ℵ，有X∈ℵ当且仅当X^″∈ℵ，则称ℵ是内射可解的.

定理1    令R是环，则RI(R)是内射可解的，并且对任意的直积和直和项封闭.

证    注意到I(R)⊆RI(R).令0→M^′→M→M^″0是R-模的正合列，其中M^′∈RI(R)，下证M∈RI(R)当且仅当M^″∈RI(R).设M∈RI(R).对任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，有正合列

因为M，M^′∈RI(R)，所以由命题1知

因此Ext_R¹(L，M^″)=0，故M^″∈RI(R).反之，设M^″∈RI(R)，类似于上述证明可得M∈RI(R)，因此RI(R)是内射可解的.

设{M_i|i∈I}⊆RI(R)，则对任意L∈$\overline{P\left( R \right)}$有Ext_R¹(L，M_i)=0，所以

因此∏M_i∈RI(R)，即RI(R)对任意直积封闭，再由文献[8]的命题1.4知RI(R)对直和项封闭.

令M是R-模，则由文献[1]的定义5.10知，M的限制内射维数是

由命题1知，Rid_RM=0当且仅当M是限制内射模.

下面我们借助限制内射模的分解给出其新的计算办法.

引理1    设有R-模的正合列0→M→E→C→0，其中E是限制内射模.如果M是限制内射模，那么C也是限制内射模，否则Rid_RC=Rid_RM-1.

证    若M是限制内射模，则由定理1知，C也是限制内射模.令M不是限制内射模，即Rid_RM＞0，当Rid_RM=∞时，由维数转移知结论成立.不妨设Rid_RM=n＜∞，则存在L∈$\overline{P\left( R \right)}$，使得

所以

若Rid_RC≥n，则由维数转移知Rid_RM≥n+1，这与Rid_RM=n矛盾，因此

定理2    设M是R-模，n≥0是整数，则以下结论等价：

(ⅰ) Rid_RM≤n；

(ⅱ)存在R-模的正合列0→M→E⁰→…→Eⁿ→0，其中Eⁱ是限制内射模；

(ⅲ)对任意的i＞n及任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，都有Ext_Rⁱ(L，M)=0；

(ⅳ)对任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，都有Ext_Rⁿ⁺¹(L，M)=0；

(ⅴ)对任意正合列0→M→E⁰→E¹→…，其中Eⁱ是限制内射R-模，都有Kⁿ=Ker(Eⁿ→Eⁿ⁺¹)是限制内射模.

证 (ⅰ)⇒(ⅱ)设Rid_RM≤n，对n进行数学归纳.当n=0时，M是限制内射模，则结论显然成立.不妨设n＞0，考虑正合列

其中E⁰∈I(R)，则由引理1知Rid_RK=n-1，再由归纳假设知，存在R-模的正合列

其中Eⁱ是限制内射的.因此存在R-模的正合列

其中Eⁱ是限制内射模.

(ⅱ)⇒(ⅲ)令0→M→E⁰→…→Eⁿ→0是R-模的正合列，其中Eⁱ是限制内射的.由维数转移知，对任意的i＞n及任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，都有

(ⅳ)⇒(ⅴ)考虑正合列0→M→E⁰→E¹→…，其中Eⁱ是限制内射R-模.令

则有正合列

对任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，有

因此Kⁿ是限制内射模.

(ⅱ)⇒(ⅰ)令0→M→E⁰→…→Eⁿ→0是R-模的正合列，其中Eⁱ是限制内射的.对n进行数学归纳.若n=0，则M是限制内射的，结论显然成立.不妨设n＞0，令K=Ker(E¹→E²)，则有正合列

和

由归纳假设得Rid_RK≤n-1.若M是限制内射模，则结论显然成立；若M不是限制内射模，则由引理1知Rid_RM=Rid_RK+1≤n.

(ⅲ)⇒(ⅳ)和(ⅴ)⇒(ⅱ)显然成立.

推论1    设{M_λ|λ∈Λ}是R-模的类，则有Rid_R(∏M_λ)=sup{Rid_RM_λ|λ∈Λ}.

证    首先证明Rid_R(∏M_λ)≤sup{Rid_RM_λ|λ∈Λ}.不妨设sup{Rid_RM_λ|λ∈Λ}=n＜∞，则对任意的λ∈Λ，都有Rid_RM_λ≤n.由定理2知，存在正合列

其中E_λ0，…，E_λn是限制内射R-模，故存在正合列

由定理1知∏E_λ0，…，∏E_λn是限制内射R-模，因此Rid_R(∏M_λ)≤n.

另一方面，要证sup{Rid_RM_λ|λ∈Λ}≤Rid_R(∏M_λ)，只需证明对任意的λ∈Λ，Rid_RM_λ≤Rid_R(∏M_λ)即可.不妨设Rid_R(∏M_λ)=m＜∞.由定理2知对任意i≥m以及L∈$\overline{P\left( R \right)}$，有Ext_Rⁱ(L，∏M_λ)=0，所以Ext_Rⁱ(L，M_λ)=0.再由定理2知Rid_RM_λ≤m.

命题3    设R是环，0→M^′→M→M^″→0是R-模的正合列.则：

(ⅰ)令n≥0且Rid_RM^′≤n，则Rid_RM≤n当且仅当Rid_RM^″≤n，并且有不等式Rid_RM^″≤max{Rid_RM^′，Rid_RM}和Rid_RM≤max{Rid_RM^′，Rid_RM^″}；

(ⅱ)若Rid_RM^″＞Rid_RM^′或Rid_RM＞Rid_RM^′，则Rid_RM^″=Rid_RM；

(ⅲ) Rid_RM^′≤1+max{Rid_RM^″，Rid_RM}.

证    (ⅰ)若n=0，即M^′∈RI(R)，则由定理1知，M∈RI(R)当且仅当M^″∈RI(R).设n＞0，由Horseshoe引理可得以下正合交换：

其中I₀^′，…，I_n-1^′和I₀^″，…，I_n-1^″都是内射模.由定理2知K^′∈RI(R).再由定理1知，K∈RI(R)当且仅当K^″∈RI(R)，所以Rid_RM≤n当且仅当Rid_RM^″≤n.

不妨设m=max{Rid_RM^′，Rid_RM}＜∞.对任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，考虑正合列

由定理2知

所以

因此

同理可得

(ⅱ)设Rid_RM^″＞Rid_RM^′，则由(ⅰ)知Rid_RM≤Rid_RM^″.若Rid_RM＜Rid_RM^″，则

这与(ⅰ)中事实相矛盾，所以Rid_RM=Rid_RM^″.同理可证当Rid_RM＞Rid_RM^′时，Rid_RM=Rid_RM^″.

(ⅲ)不妨设m=max{Rid_RM^″，Rid_RM}＜∞.对任意的L∈$\overline{P\left( R \right)}$，考虑正合列

由定理2知

因此

再由定理2可得

推论2    设有R-模的正合列0→M^′→M→M^″→0，如果M^′，M，M^″中任意两个模的限制内射维数有限，那么第三个模的限制内射维数也有限.

定义4^{[9，定义5.4.2]}    设M是R-模，如果对任意的平坦维数有限的R°-模T，都有Tor₁^R(T，M)=0，则称M是强挠自由的.

对于环R，令splf R=sup{pd_RF|F是平坦R-模}.若R是Iwanaga-orenstein环，则由文献[10]的命题9.1.7知splf R＜∞.若环R的左有限投射维数有限，则由文献[11]的命题6知splf R＜∞.对不变量splf R的进一步研究可参见文献[12].

引理2    设M是R-模，若M是强挠自由模，则M的特征模Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.如果splf R°＜∞，那么M是强挠自由模当且仅当Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.

证    设M是强挠自由模，则对任意平坦维数有限的R°-模T，都有Tor₁^R(T，M)=0.令L是投射维数有限的R°-模.则L的平坦维数有限，故有

从而Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.

令splf R°＜∞且Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.对任意平坦维数有限的R°-模L，由条件知L的投射维数有限，故

所以M是强挠自由模.

定理3    设M是R-模，则有不等式Rid_R°Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)≤Rfd_RM；如果splf R°＜∞，那么

证    不妨设Rfd_RM=n＜∞，则由文献[3]的推论2.5知，存在R-模的正合列

其中F_i是强挠自由模.用函子Hom_ℤ(-，ℚ/ℤ)作用于正合列ξ，得到以下正合列

因为F_i是强挠自由模，所以由引理2知Hom_ℤ(F_i，ℚ/ℤ)是限制内射模.因此由定理2可得

如果splf R°＜∞，下证Rfd_RM≤Rid_R°Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ).不妨设Rid_R°Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)=n＜∞，考虑正合列

其中F_i是平坦模.再用函子Hom_ℤ(-，ℚ/ℤ)作用于正合列η，得到以下正合列

其中Hom_ℤ(F_i，ℚ/ℤ)是内射模.注意到Rid_R°Hom_ℤ(M，ℚ/ℤ)=n，由定理2知Hom_ℤ(K_n，ℚ/ℤ)∈RI(R)，从而由引理2知K_n是强挠自由模.因此再由文献[3]的推论2.5可得Rfd_RM≤n.