图的染色问题是图论的主要研究内容之一，在现实中被广泛地应用，因而逐渐成为众多学者研究的热点.近年来，一些染色问题在频率分配中有很强的应用，如泛宽度染色、L(p，1)-标号^[1].特别地，文献[2]给出了G的剖分图S₁(G)的L(p，1)-标号，也就是G的(p，1)-全标号^[3]. Mycielski图^[4-5]是实际应用中一种重要的图，一些学者对一些特殊图的Mycielski图的染色问题进行了研究^[5-8].本文讨论了路、圈、扇和轮的Mycielski图的(2，1)-全标号，根据路、圈、扇和轮的Mycielski图的结构特征，给出了一种标号方法，得到了它们的(2，1)-全标号数.

本文所讨论的图均为简单、有限图.文中未加说明的记号和术语参见文献[4, 9].

定理1    设P_n表示阶为n(n≥3)的路，则有

证    情形1    n=3.

由图M(P₃)的结构知Δ(M(P₃))=4，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明

只需给出M(P₃)的一个5-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是M(P₃)的一个正常的5-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(M(P₃))=5.

情形2    n=4.

由图M(P₄)的结构知Δ(M(P₄))=4，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明

只需给出M(P₄)的一个5-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是M(P₄)的一个正常的5-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(M(P₄))=5.

情形3    n≥5.

由图M(P_n)的结构知Δ(M(P_n))=n，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明

只需给出M(P_n)的一个(n+1)-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是M(P_n)的一个正常的(n+1)-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(M(P_n))=n+1.

定理2    设C_n表示阶为n(n≥3)的圈，则有

证    情形1    n=3.

由图M(C₃)的结构知Δ(M(C₃))=4，所以由文献[3]的推论4，有

首先证明λ₂^T(M(C₃))=5不成立.反证法，假设存在图M(C₃)的一个正常的5-(2，1)-全标号.由文献[10]的引理8知，图M(C₃)的最大度点v_i只能标0或5.由图M(C₃)的结构易知，最大度点v_i生成的子图中包含三角形，而三角形的顶点色数为3，所以0和5无法完成对最大度点v_i的全标号，矛盾.所以λ₂^T(M(C₃))≥6.

为了证明λ₂^T(M(C₃))=6，只需给出M(C₃)的一个6-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是M(C₃)的一个正常的6-(2，1)-全标号，所以

情形2    n=4.

由图M(C₄)的结构知Δ(M(C₄))=4，所以由文献[3]的推论4，有

首先证明λ₂^T(M(C₄))=5不成立.反证法，假设存在一个映射f是图M(C₃)的一个正常的5-(2，1)-全标号.由文献[10]的引理8知，图M(C₄)的最大度点v₁，v₂，v₃，v₄只能标0或5.不妨令f(v₁)=f(v₃)=0，f(v₂)=f(v₄)=5，则边v₁v₂，v₂v₃，v₃v₄，v₄v₁只能标2和3，不妨令f(v₁v₂)=f(v₃v₄)=2，f(v₂v₃)=f(v₄v₁)=3.则边v₁v₂^′，v₁v₄^′，v₃v₂^′，v₃v₄^′只能标0和1，边v₂v₁^′，v₂v₃^′，v₄v₃^′，v₄v₁^′只能标4和5.又因为w也为最大度点，所以f(w)=0或f(w)=5.

若f(w)=0，则边wv₁^′，wv₂^′，wv₃^′，wv₄^′只能标2，3，4，5，则点v₁^′，v₂^′，v₃^′，v₄^′不能按(2，1)-全标号的定义给出标号，矛盾.

若f(w)=5，则边wv₁^′，wv₂^′，wv₃^′，wv₄^′只能标0，1，2，3，则点v₁^′，v₂^′，v₃^′，v₄^′不能按(2，1)-全标号的定义给出标号，矛盾.

同理，其他的标号情况也得出矛盾.所以λ₂^T(M(C₄))≥6.

为了证明λ₂^T(M(C₄))=6，只需给出M(C₄)的一个6-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是M(C₄)的一个正常的6-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(M(P₄))=6.

情形3    n≥5.

由图M(C_n)的结构知Δ(M(C_n))=n，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明

下面只需给出M(C_n)的一个(n+1)-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

(ⅰ)当n≡0(mod 2)时，

(ⅱ)当n≡1(mod 2)时，

由文献[3]的定义知，f是M(C_n)的一个正常的(n+1)-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(M(C_n))=n+1.

定理3    设F_n表示阶为n+1(n≥3)的扇，则有

证    不妨设V(F_n)={v₀，v₁，v₂，…，v_n}.

情形1    n=3.

由图M(F₃)的结构知Δ(M(F₃))=6，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明λ₂^T(M(F₃))=7，只需给出M(F₃)的一个7-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是M(F₃)的一个正常的7-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(MF₃))=7.

情形2    n≥4.

由图M(F_n)的结构知Δ(M(F_n))=2n，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明

只需给出M(F_n)的一个(2n+1)-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

由文献[3]的定义知，f是图M(F_n)的一个正常的(2n+1)-(2，1)-全标号.所以λ₂^T(M(F_n))=2n+1.

定理4    设W_n表示阶为n+1(n≥4)的轮，则有

证    不妨设V(W_n)={v₀，v₁，v₂，…，v_n}.由图M(W_n)的结构知Δ(M(W_n))=2n，所以由文献[3]的推论4，有

为了证明

只需给出M(W_n)的一个(2n+1)-(2，1)-全标号.为此，构造映射f：

(1) 当n≡0(mod 2)时，

(2) 当n≡1(mod 2)时，

其他点和边的标号同定理3.由文献[3]的定义知，f是M(W_n)的一个正常的(2n+1)-(2，1)-全标号.所以