设{X_n}是独立同分布随机变量序列，公共分布函数F(x)，记其部分最大值${M_n} = \mathop {\max }\limits_{1 \le k \le n} \left\{ {{X_k}} \right\}$，若存在规范化常数序列α_n＞0，β_n＞0，使得

其中sign(x)是符号函数，H(x)为非退化分布函数，且如果(1)式成立，则称F(x)属于幂赋范极值分布H(x)的吸引场，记作F∈D_p(H).由文献[1]可知，H(x)是以下6种类型之一：

其中α为大于0的常数.

文献[2]研究了6种类型的分布函数属于幂赋范条件下的吸引场的充要条件；文献[3]研究了在幂赋范下极值的矩收敛和密度函数收敛.使用条件矩刻画F属于给定的极值分布，在线性赋范情形文献[4]得到F属于Λ的极值吸引场的条件矩刻画；文献[5]得到F属于Φ_α和Ψ_α的条件矩刻画.本文将研究在幂赋范条件下，F分别属于上述H_1，α，H_2，α，H_3，α，H_4，α，Ψ(x)和Φ(x) 6种吸引场的条件矩刻画(见定理1-定理6).为证明主要结论，需要引用下面的结论.

引理1^[4]  设U：${\mathbb{R} ^ + } \to {\mathbb{R} ^ + }$，且

是有限的.如果

那么U(t)∈RV_-ρ.相反地，如果U(t)∈RV_-ρ，ρ＞0，且u(t)＞0为减函数，那么(2)式成立，且u(t)∈RV_-ρ-1.

为统一符号，定义r(F)=sup {x|F(x)＜1}为分布函数F(x)的上端点.

定理1  若r_F=∞.定义

如果F∈D_p(H_1，α)，α＞2，那么对于0≤p＜α-2，μ_p+2(t)＜∞且t→∞时，

反之，当α＞2时，对0≤p＜α-2，如果(3)式成立，那么F∈D_p(H_1，α).

证  关于必要性：由文献[2]之定理2.1知，F∈D_p(H_1，α)的充要条件为对于y＞0时，

故α＞2时有

显然，这对p=0也成立.由(4)式知(3)式成立.

对于充分性，若(3)式成立.定义

对任意的δ≥-1，有

特别地，当t→∞时，

利用以下关系式

则式(3)可写为

其中0≤p＜α-2.

如果式(7)对p=0成立，那么设${J_0}^*\left(t \right) = \frac{{J_1^2\left(t \right)}}{{{J_2}\left(t \right)}}$，则$\frac{{{J_0}\left(t \right)}}{{{J_0}^*\left(t \right)}} \to \frac{{\alpha - 1}}{{\alpha - 2}}$.只需证J₀^*(t)∈RV_-α.由于

其中$f\left(t \right) = \frac{{{J_2}\left(t \right)}}{{{J_1}\left(t \right)}}$.故${J_0}^*\left(t \right) = {J_0}^*\left({{z_0}} \right)\exp \left({ - \int_{{z_0}}^t {\frac{{g\left(u \right)}}{u}{\rm{d}}u} } \right)$，其中$g\left(t \right) = \frac{t}{{f\left(t \right)}}\left({2\frac{{{J_0}\left(t \right)}}{{{J_0}^*\left(t \right)}} - 1} \right)$.注意到$f'\left(t \right) = - 1 + \frac{{{J_0}\left(t \right)}}{{{J_0}^*\left(t \right)}} \to \frac{1}{{\alpha - 2}}, g\left(t \right) \to \frac{\alpha }{{\alpha - 2}}\left({\alpha - 2} \right) = \alpha $.

由文献[4]的Karamata公式可知，J₀^*(t)∈RV_-α.假设式(7)对于整数0＜p＜α-2成立，定义

那么有

与p=0的方法相同，很容易得到J_p(t)∈RV_-(α-p).由式(6)和引理1，得J_P-1∈RV_-(α-p)-1.将上述步骤重复p次，就得到1-F(exp(t))=J₀(t)∈RV_-α.

假设对实数0＜p＜α-2式子(7)成立.与p为整数时情况相同，有J_p(t)∈RV_-(α-p).不失一般性，设0＜p＜1.在δ≥-1，α＞δ+p+1情况下，有

因此，

因此，J_δ+p+1(t)∈RV_-α+p+1+δ.如果δ=-p＞-1，那么J₁(t)∈RV_-(α-1)，可得

证毕.

定理2  若0＜x_F＜∞，定义

如果F∈D_p(H₂，α)，α＞2，那么对于0≤p＜α-2，μ_p+2(t)＜∞且t→∞时，

反之，当α＞2时，对0≤p＜α-2，如果μ_p+2(t)＜∞且式子(8)成立，那么F∈D_p(H₂，α).

证  必要性相的证明似于定理1中(4)的证明，利用文献[2]中定理2.2给出的F∈D_p(H₂，α)充要条件为当y＞0时，

对充分性，定义

则

类似于定理1的证明方法，可得结论成立.

定理3  若r(F)=0，定义

如果F∈D_p(H₃，α)，α＞2，那么对于0≤p＜α-2，μ_p+2(t)＜∞且t→∞时，

反之，当α＞2时，对0≤p＜α-2，如果μ_p+2(t)＜∞且式(10)成立，那么F∈D_p(H₃，α).

证  必要性的证明类似于定理1中(4)式的证明，利用文献[2]中定理2.3关于F∈D_p(H₃，α)的充要条件为当y＞0时，

证得(10)式成立.对充分性，定义

则

类似于定理1的证明方法，可得结论成立.

定理4  若r(F)＜0，定义

如果F∈D_p(H₄，α)，α＞2，那么对于0≤p＜α-2，μ_p+2(t)＜∞且t→∞时，

反之，当α＞2时，对0≤p＜α-2，如果μ_p+2(t)＜∞且式(12)成立，那么F∈D_p(H₄，α).

证  必要性的证明类似于定理1中(4)式的证明，利用文献[2]中定理2.4关于F∈D_p(H₄，α)的充要条件为当y＞0时

可证得(12)式成立.对充分性，定义

则

类似于定理1的证明方法，可得结论成立.

定理5  若r(F)＞0，定义

如果F∈D_p(Φ)，那么对于p≥0，μ_p+2(t)＜∞且当t↑r(F)时，

反之，对p≥0，如果μ_p+2(t)＜∞且式(14)成立，那么F∈D_p(Φ).

证  必要性的证明：由文献[2]定理2.5可知，F∈D_p(Φ)的等价条件为当r(F)＞0时，存在一个函数f＞0，使得对于x∈$\mathbb{R} $，

成立.在此条件下，对某些连续函数f，定义

有

因此有

由f(t)的表达式可知

故(15)式中的渐近式成立.显然，式(15)对p=0也成立.由式(15)，可证式(14)成立.

对于充分性的证明，首先定义

另外记

类似于式(5)的方法，可得

类似于定理1的证明过程，可得结论成立.

定理6  若r(F)≤0，定义

如果F∈D_p(Ψ)，那么对于p≥0，μ_p+2(t)＜∞且当t↑r(F)时，

反之，对p≥0，如果μ_p+2(t)＜∞且(17)式成立，那么F∈D_p(Ψ).

证  必要性的证明：由文献[2]定理2.6可知，F∈D_p(Ψ)的等价条件为当r(F)≤0时，存在一个函数f＞0使得对于x∈$\mathbb{R} $，有

成立.在此条件下，对某些连续函数f，定义

有

成立.因此有，

由(18)式，可证(17)式成立.

对于充分性的证明，首先定义

类似于定理5，记g₂(t)=log (t)-f(t)，则

同理可证得结论成立.