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在求解不定方程的初等方法中，递推序列法是有效的工具之一.该方法通过将不定方程的求解问题转化为对特定递推序列数论性质的研究，然后综合利用同余及二次剩余等各种初等的方法与技巧制造矛盾，最终找到不定方程的所有解[1-2].设p与q为给定的正整数并且互素，一些作者对形如
的四次不定方程做了大量研究[3-19].在本文里，我们将利用递推序列法给出不定方程
的全部整数解(x，y).
先将方程(1)化为
令
这里
${19 + 2\sqrt {90} }$ 是Pell方程u2-90v2=1的基本解.又因$5 + \sqrt {90} $ 是x2-90y2=-65的最小正整数解，根据文献[1]知，方程x2-90y2=-65的全部整数解由以下两个结合类给出：所以，方程(2)的解应满足y2+3y+1=±yn，
$ \pm \bar y$ .注意到由此可得
${{\bar y}_n} = {y_{ - n}}$ ，且n取任意整数，故只需考虑y2+3y+1=±yn，即容易验证下列关系式成立：
下面将证明：仅当n=0，1，-2时(3)式成立，由此求得方程(2)的全部整数解.
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为了研究当n取何值时4yn+5为完全平方数，我们需要证明下述引理：
引理1 设2|n，则
$\left( \frac{\pm 20{{v}_{2n}}+5}{{{u}_{2n}}} \right)=\left( \frac{{{u}_{n}}\pm 4{{v}_{n}}}{53~} \right)$ .证 对于任意
$n\in \mathbb{Z}$ ，有u-n=un，un＞0.当2|n时，un≡1(mod 5)，u2n=2un2-1≡1(mod 8)，vn≡0(mod 2)，un≡1(mod 8)，于是引理2 若4yn+5为完全平方数，则必有n=0，1，-2(mod 900).
证 采取对序列{4yn+5}取素数模并排除非平方剩余的方法，具体分两步.
第一步：对序列{4yn+5}取素数模.
mod 281，排除n≡2，3，7，9(mod 10)，此时4yn+5≡194，46，97，41(mod 281)，余n≡1，4，5，6，8，10(mod 10)，即余n≡1，4，5，6，8，10，11，14，15，16，18，20，21，24，25，26，28，30，31，34，35，36，38，40，41，44，45，46，48，50(mod 50).
mod 1 949，排除n≡5，6，8，10，11，14，16，18，20，21，24，26，30，31，34，35，36，40，41，45，46(mod 50)，余n≡1，4，15，25，28，44，48，50(mod 50)，即余n≡1，4，15，25，28，38，44，48，50，51，54，65，75，78，88，94，98，100，101，104，115，125，128，138，144，148，150(mod 150).
mod 149，排除n≡4，15，28，48，88，94，98，100，101，115，128，138，144(mod 150)，余n≡1，25，38，44，50，51，54，65，75，78，104，125，148，150(mod 150).
mod 601，排除n≡25，51，54，78，104，125(mod 150)，余n≡1，38，44，50，65，75，148，150(mod 150)，即余n≡1，38，44，50，65，75，148，150，151，188，194，200，215，225，298，300(mod 300).
mod 122 401，排除n≡50，65，151，188，194，200，215(mod 300)，余n≡1，38，44，75，148，150，225，298，300(mod 300).
mod 204 299，排除n≡44，75，148，225(mod 300)，余n≡1，38，150，298，300(mod 300)，即余n≡1，38，150，298，300，301，338，450，598，600，601，638，750，898，900(mod 900).
mod 2 699，排除n≡38，298，301，338，598，600(mod 900)，余n≡1，150，300，450，601，638，750，898，900(mod 900).
mod 81 001，排除n≡150，300，638，750(mod 900)，余n≡1，450，601，898，900(mod 900).
mod 6 554 699，排除n≡601(mod 900)，余n≡1，450，898，900(mod 900).
第二步：设法排除n≡450(mod 900).
要排除n≡450(mod 900)，即排除n≡450，1 350(mod 1 800).
mod 1 601，排除n≡50，150(mod 200)，即排除n≡450，1 350(mod 1 800).
综上所述，仅剩下n≡1，898，900(mod 900)，即n≡0，1，-2(mod 900).引理2得证.
引理3 当n≡0(mod 900)时，则仅当n=0时4yn+5为完全平方数.
证 当n=0时，4yn+5=4y0+5=9=32.当n≡0(mod 900)且n≠0时，可令
对{un±4vn}取模53，可得两个剩余序列周期都为13，而对{2t}模13的剩余序列的周期为12，接下来，对k分两种情况讨论：
情况1 k≡1(mod 4)时，令
则m≡1，2，3，5，7，10(mod 13)，此时相应地有
另一方面，由(11)式可推出4yn+5≡20v2m+5(mod u2m)，再利用引理1及(12)式得
此时4yn+5不是完全平方数.
情况2 k≡-1(mod 4)时，令
则m≡3，6，8，10，11，12(mod 13)，此时相应地有
由(11)式可推出4yn+5≡-20v2m+5(mod u2m)，再根据引理1及(13)式得
此时4yn+5也不是完全平方数.
综上讨论，引理3得证.
引理4 若n≡1(mod 900)，则仅当n=1时4yn+5为完全平方数.
证 当n=1时，4yn+5=4y1+5=121=112.当n≡1(mod 900)且n≠1时，可设
令m=2t(t≥1)，则m≡2，4(mod 6)，um≡18(mod 37).由(11)式得yn≡-y1≡-29(mod um)，又因为um≡1(mod 8)，um≡1(mod 3)，所以
由此可知4yn+5不是完全平方数.引理4得证.
引理5 若n≡-2(mod 900)，则仅当n=-2时，4yn+5为完全平方数.
证 当n=-2时，4yn+5=4y-2+5=372.若n≡-2(mod 900)且n≠-2，可设
注意到对{un}模151的周期为75，而对{2t}模75的周期为20，令
容易验证
$\left( {\frac{{{u_m}}}{{151}}} \right) = - 1$ .另外，根据(11)式得yn≡-y-2≡-341(mod um)，所以由于um≡1(mod 8)，故
所以4yn+5不是完全平方数，引理5得证.
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引理6 -4yn+5是完全平方数当且仅当n=0.
证 由-4yn+5≥0得yn≤1.根据(8)式可知，当n≠0时必有yn≥9，所以n=0.反之显然成立.
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定理1 不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=18y(y+1)(y+2)(y+3)有4组非平凡整数解(x，y)=(6，4)，(-9，4)，(6，-7)，(-9，-7).
证 由引理3得(2y+3)2=4y0+5=32，即y=0，-3；
由引理4得(2y+3)2=4y1+5=112，即y=4，-7；
由引理5得(2y+3)2=4y-2+5=372，即y=17，-20；
由引理6得(2y+3)2=-4y0+5=12，即y=-1，-2.
将y值代入方程(1)可得全部20组整数解，其中包括16组平凡解使得(1)式的两端都为0，这些平凡解为(x，y)=(0，0)，(0，-1)，(0，-2)，(0，-3)，(-1，0)，(-1，-1)，(-1，-2)，(-1，-3)，(-2，0)，(-2，-1)，(-2，-2)，(-2，-3)，(-3，0)，(-3，-1)，(-3，-2)，(-3，-3).另外有4组非平凡解，即(x，y)=(6，4)，(-9，4)，(6，-7)，(-9，-7).
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