Existence of Positive Solutions for Singular Boundary Value Problems of Fractional Differential Equations

引理1^[6]  若g(t)∈C[0, 1]，2＜α≤3，分数阶微分方程

的唯一解是$u\left( t \right) = \int_0^1 {G\left( {t, s} \right)g\left( s \right){\rm{d}}s} $，其中

引理2^[6]  函数G(t，s)具有性质：(ⅰ)对于任意t，s∈(0，1)，G(t，s)＞0；(ⅱ)对于任意t，s∈(0，1)，G(t，s)≥θ(t)G(1，s).其中θ(t)=t^α-1.

引理3  假设g(t)∈C[0, 1]，则u(t)∈C[0, 1]是边值问题(2)的解当且仅当u(t)∈C[0, 1]是积分方程$u\left( t \right) = \int_0^1 {G\left( {t, s} \right)g\left( s \right){\rm{d}}s} $的解.

引理4^[7]  设E是Banach空间，P是E中的锥，Ω₁，Ω₂为E中的有界开集且满足θ∈Ω₁⊆Ω₁⊆Ω₂.设A：P∩(Ω₂\Ω₁)P是全连续算子，如果满足下列条件之一：

(ⅰ)‖Au‖≥‖u‖(u∈P∩əΩ₁)，且‖Au‖≤‖u‖(u∈P∩əΩ₂)；

(ⅱ)‖Au‖≤‖u‖(u∈P∩əΩ₁)，且‖Au‖≥‖u‖(u∈P∩əΩ₂).

则A在P∩(Ω₂\Ω₁)中至少有一个不动点.

为了方便，做以下记号：

在本文中，我们给出下面的假设条件：

(A₁)  f_i(u(t))：[0，∞)ⁿ→[0，∞)(i=1，2，…，n)连续；

(A₂)  对于任意t∈[0, 1]，v_i(t)≥0，h_i(t)≥0为连续函数，且$\int_0^1 {{v_i}\left( s \right){\rm{d}}s} > 0$(i=1，2，…，n).

设X=C[0, 1]，其范数$\left\| u \right\| = \mathop {\sup }\limits_{t \in \left[ {0, 1} \right]} \left| {u\left( t \right)} \right|$.在E=X×X×…×X=Xⁿ中定义范数$\left\| u \right\| = \sum\limits_{i = 1}^n {\left\| {{u_i}} \right\|} $，则{E，‖·‖}是Banach空间.定义E中的锥

定义算子T=(T₁，T₂，…，T_n)：P→E，其中

由引理3知，算子T的不动点即系统(1)的解，解的形式为

其中

引理5  假设条件(A₁)和(A₂)成立，那么算子T：P→P是全连续的.

引理6  假设条件(A₁)和(A₂)成立，若存在η＞0，1≤j≤n，j∈$\mathbb{N}$，使得

那么‖Tu‖≥ληL‖u‖，其中

证  对于u∈əΩ_r，有

其中

引理7  假设条件(A₁)和(A₂)成立.令

若存在ε＞0，使得${{\tilde f}_i}$(r)≤εr(i=1，2，…，n)，那么

证  对于u∈əΩ_r，有

引理6和引理7是基于f(u)和u的不等式.与此类似，可得如下结论：

引理8  假设条件(A₁)和(A₂)成立，那么对于u∈əΩ_r，有

引理9  假设条件(A₁)和(A₂)成立，那么对于u∈əΩ_r，有

定理1  假设条件(A₁)和(A₂)成立，且$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $(i=1，2，…，n)，则：

(ⅰ)若$\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = 0$(i=1，2，…，n)，那么对于任意λ＞0，系统(1)有一个正解；

(ⅱ)若$\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = \infty $(i=1，2，…，n)，那么对于充分小的λ＞0，系统(1)有两个正解；

(ⅲ)若存在λ₀＞0，使得0＜λ＜λ₀，那么系统(1)有一个正解.

证  (ⅰ)  由$\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = 0$，可知$\mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } \frac{{{{\tilde f}_i}\left( \omega \right)}}{\omega } = 0$(i=1，2，…，n).取

使得

其中ε＞0，且满足λKε＜$\frac{1}{2}$.根据引理7，可得

由$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $知，存在r₁＜r₂，使得

其中η＞0，且满足ληL＞1.于是有

根据引理6，可得

由引理4知，存在u∈Ω_r2\Ω_r1为系统(1)的一个解.

(ⅱ)取0＜r₂＜r₃，则存在λ₀＞0使得：

根据引理9可得，对于0＜λ＜λ₀，有‖Tu‖＜‖u‖(u∈əΩ_rp， p=2，3).另一方面，由$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $和$\;\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = \infty $知，存在0＜r₁＜r₂＜r₃＜r₄^′＜r₄，使得f_i(u)≥η|u|(i=1，2，…，n)，其中u=(u₁，u₂，…，u_n)∈E，0＜|u|≤r₁或|u|≥r₄^′，且η＞0满足ληL＞1.于是有

令${r_4} = \max \left\{ {2{r_3}, \frac{1}{\theta }{{r'}_4}} \right\}$，若u=(u₁，u₂，…，u_n)∈əΩ_r4，那么：

根据引理6，可得：

由引理4知，存在u₁∈Ω_r2\Ω_r1和u₂∈Ω_r4\Ω_r3为系统(1)的解，且r₁＜‖u₁‖＜r₂＜r₃＜‖u₂‖＜r₄.

(ⅲ)取r₂＞0，根据引理9可得，对于0＜λ＜λ₀，有

由$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty \;$知，存在0＜r₁＜r₂使得

其中η＞0，且满足ληL＞1.于是有

根据引理6可得

由引理4，存在u∈Ω_r2\Ω_r1为系统(1)的一个解.