Wong-Zakai Approximations of Nonlinear Stochastic Ginzburg-Landau Equations

本节参考文献[3]，将引入具有参数的随机动力过程及其拉回吸引子的相关概念.设(Ω，$\mathscr{F}$，P)是一个随机空间，θ_t：$\mathbb{R}$×Ω→Ω是一个($\mathscr{B}$($\mathbb{R}$)×$\mathscr{F}$，$\mathscr{F}$)可测映射，使得θ_t(0，·)是Ω上的恒等映射，且对任意的t，s∈$\mathbb{R}$，满足θ_t(s+t，·)=θ_t(t，·)∘θ_t(s，·).

定义1  令(Ω，$\mathscr{F}$，P，{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$})是参数动力系统，如果映射Φ：$\mathbb{R}$⁺×$\mathbb{R}$×Ω×X→X，对任意ω∈Ω，τ∈$\mathbb{R}$及t，s∈$\mathbb{R}$⁺，满足条件：

(ⅰ) Φ(·，τ，·，·)：$\mathbb{R}$⁺×Ω×X→X是($\mathscr{B}$($\mathbb{R}$⁺)×$\mathscr{F}$×$\mathscr{B}$(X)，$\mathscr{B}$(X))可测；

(ⅱ) Φ(0，τ，ω，·)是X上的恒等映射；

(ⅲ) Φ(t+s，τ，ω，·)=Φ(t，τ+s，θ_sω，·)∘Φ(s，τ，ω，·)；

(ⅳ) Φ(t，τ，ω，·)：X→X是连续的，

则称映射Φ是关于(Ω，$\mathscr{F}$，P，{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$})的连续动力过程.

定义2  令$\mathscr{T}$为X的所有有界非空子集族的集合，假设K={K(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{T}$.如果存在T=T(D，τ，ω)＞0，当t≥T时，对任意τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω及D∈$\mathscr{T}$，满足：

则称K为关于Φ的$\mathscr{T}$-拉回吸收集.

另外，如果∀τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，K(τ，ω)是X的非空闭子集，K在Ω中关于$\mathscr{F}$可测，则称K为Φ的闭可测$\mathscr{T}$-拉回吸收集.

定义3  如果$\mathscr{A}$={$\mathscr{A}$(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{T}$，满足：

(ⅰ) $\mathscr{A}$在Ω中关于$\mathscr{F}$是可测的，并且对任意的ω∈Ω，$\mathscr{A}$在X中是紧的.

(ⅱ) $\mathscr{A}$关于Φ是不变的.即对任意的t≥0，Φ(t，τ，ω，$\mathscr{A}$(τ，ω))=$\mathscr{A}$(τ+t，θ_tω).

(ⅲ) $\mathscr{A}$吸引$\mathscr{T}$中的每个元素：对于每个D∈$\mathscr{T}$，

则称$\mathscr{A}$是Φ的$\mathscr{T}$-拉回吸引子.其中，$ {{d}_{X}}\left(A, B \right)=\underset{a\in A}{\mathop{\text{sup}}}\, \ \underset{b\in B}{\mathop{\text{inf}}}\, \|a-b{{\|}_{X}}$是Hausdorff-半距离.

设$\mathscr{O}$是$\mathbb{R}$ⁿ中的有界光滑区域，其中n=1，2.令τ，δ∈$\mathbb{R}$且δ≠0.下面考虑如下的非线性Ginzburg-Landau方程：

其中未知量u是一个复值函数，λ，γ，κ＞0，μ(·)∈$\mathscr{C}$($\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)，β(·)∈$\mathscr{C}$_b($\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)，g∈L_loc²($\mathbb{R}$，L²($\mathscr{O}$)).

当δ≠0时，随机变量$\mathscr{G}$_δ定义为：

存在一个θ_t不变量集Ω⊆$\mathit{\widetilde{\Omega }}$，对于每个ω∈$\mathit{\widetilde{\Omega }}$，有

因此由(2)式可得

由参考文献[3]、方程(4)以及ω的连续性可知，对于任意t∈$\mathbb{R}$，满足：

方程(1)是含有参数ω∈Ω的确定性方程.由文献[5]可知，如果(2)-(4)式满足，则对∀ω∈Ω，τ∈$\mathbb{R}$和u_τ∈L²($\mathscr{O}$)，方程(1)存在唯一的解u(·，τ，ω，u_τ)∈C([τ，∞)，L²($\mathscr{O}$))∩L_loc²([τ，∞)，H₀¹($\mathscr{O}$)).由此可以定义一个协循环Φ：$\mathbb{R}$⁺×$\mathbb{R}$×Ω×L²($\mathscr{O}$)→L²($\mathscr{O}$)，使得∀t∈$\mathbb{R}$⁺，τ∈$\mathbb{R}$和ω∈Ω，u_τ∈L²($\mathscr{O}$)满足

由定义1可知Φ是L²($\mathscr{O}$)上关于(Ω，$\mathscr{F}$，P，{θ_t}_{t∈$\mathbb{R}$})的连续协循环.

定义$\mathscr{D}$为L²($\mathscr{O}$)的所有有界非空子集族的集合，即$\mathscr{D}$={D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}}，∀c＞0，τ∈$\mathbb{R}$和ω∈Ω，

其中

则D为缓增族.如果$\mathscr{D}$的所有元素为缓增的，则称$\mathscr{D}$为缓增的.

本文中我们假设外力项g满足如下条件：存在常数α＞0，使得

当证明缓增拉回吸收集存在时，需要假设：存在常数α＞0，对任意c＞0，

本节将对方程(1)的解在L²($\mathscr{O}$)空间上进行一致性估计.

引理1  对于τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω以及D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$，存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得对于∀t≥T，方程(1)中的u满足：

证  将方程(1)与u的共轭u在$\mathscr{O}$上作内积并且取实部，可得

对(12)式右边第二项估计，可得

对(12)式右边第三项和第四项估计，可得

由(13)，(14)式可知，

综上可得

在(16)式两边乘以e^αt，在(τ-t，τ)上积分，其中τ≥r，ω∈Ω，令θ_-τω替代ω可得

由(4)，(5)，(7)式可知，对于u_τ-t∈D(τ-t，θ_-tω)，D∈$\mathscr{D}$，当t→∞时有

故存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得对∀t≥T，

结合(17)，(18)式，可知(10)式成立.

另一方面，结合(17)，(18)式，对(16)式在(τ-t，τ)上运用Gronwall不等式，并令θ_-τω替代ω可得

则引理1得证.

推论1  假设(8)，(9)式成立，则连续协循环Φ具有一个闭的、可测的$\mathscr{D}$-拉回吸引集K={K(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$.对∀τ∈$\mathbb{R}$以及ω∈Ω，K定义为

其中

证  对给定的τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω及D∈$\mathscr{D}$，由定义2和引理1知，存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得对任意t≥T，

令P是任意正数，

对(22)式右边第一项估计，令N=min{P，α}，对任意的t≤0，可得

通过(3)，(4)式，可得

因此

结合(10)式，对(22)式右边第二项估计，可得

结合(24)，(25)式，对于任意的P＞0，可得

因此K(τ，ω)在空间L²($\mathscr{O}$)上是缓增的.另外，对∀τ∈$\mathbb{R}$，L(τ，·)：Ω→$\mathbb{R}$是可测的.

引理2  存在随机半径R₂(τ，ω)：假设(8)，(9)式成立，对∀τ∈$\mathbb{R}$和ω∈Ω，D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$，存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得对∀t≥T，满足

证  由引理1，存在T=T(τ，ω，D)≥1，对∀t≥T，

令

根据e^αs≥e^ατe^-α，对所有的s≥τ-1，引理2成立.

引理3  存在随机半径R₃(τ，ω)：对于τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω以及D={D(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$，存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得对于∀t≥T，$\exists $ε＞0，σ∈$\mathbb{R}$，满足

证  对于所有的t≥T，将方程(1)与-Δu在$\mathscr{O}$上作内积并且取实部，可得

根据Young不等式可知

再根据Sobolev嵌入定理和内插不等式可知，对任意的u∈H₁⁰($\mathscr{O}$)，

则对(30)式右边第二项估计，可得

综上可知

任给t≥0，τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，取s∈(τ-1，τ)，在区间(τ-1，τ)上运用Gronwall不等式，并将ω替换成θ_-τω，可得

其中，结合(3)，(4)式以及文献[4]可知，存在ε＞0，σ∈$\mathbb{R}$，h＜0，使得$|\int_{0}^{0}{{{\mathscr{G}}_{\delta }}({{\theta }_{\sigma }}\omega)\text{d}\sigma }|\le -\varepsilon h+{{C}_{\sigma }}(\omega)$成立.

由引理1、引理2和(9)式可得

成立.令

从而引理3成立.

定理1  假设(8)，(9)式成立，则协循环Φ在L²($\mathscr{O}$)上有唯一的$\mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A}$={$\mathscr{A}$(τ，ω)：τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$.

证  由引理1可知，Φ有一闭的、可测的$\mathscr{D}$-拉回吸收集K，由引理3可知，Φ在L²($\mathscr{O}$)上有一个紧的吸收集.因此，由文献[5]吸引子的存在性结论，可得协循环Φ存在$\mathscr{D}$-拉回吸引子.