Dynamics Analysis of a Vector-Borne Disease Model with Saturation Incidence Rate

文献[1]首先利用微分方程研究了疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为^[4].研究结果显示，如果将蚊子的数量减少在临界值以下，疟疾的流行可以得到控制.随后，虫媒传染病的传播和流行引起了许多数学工作者的兴趣，利用数学模型和方法研究疾病的传播规律已有一些研究成果^[5-12].

文献[11]在研究霍乱时，提出了饱和发生率$\frac{\beta I(t) S(t)}{1+\alpha I(t)}$.文献[8]建立了具有该种非线性发生率的虫媒传染病模型

证明了各类平衡点的全局稳定性，其中：S_H(t)，I_H(t)，R_H(t)为t时刻易感、染病和康复宿主种群的数量；S_v(t)，I_v(t)为t时刻易感和染病虫媒种群的数量，β₁，β₂分别为相应的传染率系数；μK，Λ分别表示宿主种群和虫媒种群的输入率；μ为宿主种群的自然死亡率；γ为宿主种群的移出率；m为虫媒的自然死亡率.

本文考虑疾病在宿主种群中具有潜伏期的特征，假设易感宿主在t-τ时刻被染病虫媒叮咬后染病且具有传染性，t时刻成为染病宿主，则易感宿主被染病虫媒叮咬并染病的概率可以表示为$\frac{\beta_{1} S_{H}(t-\tau) I_{v}(t-\tau)}{1+\alpha_{1} I_{v}(t-\tau)}$.假设虫媒种群具有常数输入量M，得到模型：

其中：μ，K，α₁，α₂，β₁，β₂，γ，M，m，τ均是正数.

根据模型的生物学意义，系统(1)的初始条件定义为

其中$\boldsymbol{W}=\left(\phi_{1}(\theta), \phi_{2}(\theta), \phi_{3}(\theta), \phi_{4}(\theta), \phi_{5}(\theta)\right) \in \mathbb{C}$，$\mathbb{C}$是Bnanch空间$\mathbb{C}=\mathbb{C}\left(\left[-\tau, 0 \right], \mathbb{R}_{+}^{5} \right)$从[-τ，0]到$\mathbb{R}_{+}^{5}$的连续映射，$\mathbb{R}_{+}^{5}$={(x₁，x₂，x₃，x₄，x₅)：x_i≥0，i=1，2，3，4，5}.

记

设

则沿系统(1)对时间t的导数

注意到，当V₁≥K时，$\dot{V}_{1}=\mu K-\mu V_{1} \leqslant 0. V_{2} \geqslant \frac{M}{m}$时，$\dot{V}_{2}=M-m V_{2} \leqslant 0$，即Ω是系统(1)的正向不变集.另一方面，由比较原理有$0 \leqslant\left(V_{1}, V_{2}\right) \leqslant\left(k+V_{1}(0) \mathrm{e}^{-\mu t}, \frac{M}{m}+V_{2}(0) \mathrm{e}^{-m t}\right)$.当t→∞时，0≤V(t)=$\left(V_{1}, V_{2}\right) \leqslant\left(K, \frac{M}{m}\right)$.

综上所述，系统(1)满足初始条件(2)的解都是正的，最终进入并停留在有界域Ω中.

由于宿主种群和虫媒种群的总量为常数，可以将系统(1)简化为三维系统

本文研究系统(3)在可行域Ω中的动力学性态.记

系统(3)总有无病平衡点E₁=(K，0，0).当R₀＞1时，系统(3)还存在地方病平衡点E₂=(S_H^*，I_H^*，I_v^*)，其中

定理1  如果R₀＜1，系统(3)的无病平衡点E₁是渐近稳定的.

证  系统(3)在平衡点E₁的线性化系统有一个特征根-μ，其余特征根满足方程

当τ=0时，如果R₀＜1，无病平衡点E₁是稳定的.设λ=iω(ω＞0)是方程(4)的解，则ω满足

如果R₀＜1，方程(5)没有正实根，即方程(4)的特征根均具有负实部.因此，当R₀＜1时，系统(3)的无病平衡点E₁是渐近稳定的.

定理2  如果R₀＜1，系统(3)的无病平衡点E₁全局渐近稳定.

证  定义Lyapunov泛函，

则

如果R₀＜1，当且仅当I_H(t)=0，有$\dot{V}(t)=0$.因此，系统(3)在{(S_H，I_H，I_v)∈Ω：$\dot{V}$=0}中的最大不变集为单点集{E₁}.根据Lyapunov-Lasalle不变集原理^[13]，当t→∞时，(S_H，I_H，I_v)→(K，0，0).结合定理1可知，当R₀＜1时，系统(3)的无病平衡点E₁是全局渐近稳定的.

系统(3)在平衡点E₂处的特征多项式为

其中，

τ=0时，由文献[8]可知，平衡点E₂是全局渐近稳定的.以下讨论τ＞0时，系统(3)的动力学性态.

设λ=iω(ω＞0)是(6)式的解，则ω满足

其中：p=p₂²-q₂²-2p₁，q=p₁²-q₁²-2p₀p₂+2q₀q₂，r=p₀²-q₀².

令z=ω²，则(8)式可以表示为

记

则3z²+2pz+q=0有两个实根$z_{1}^{*}=\frac{-p+\sqrt{\Delta}}{3}$和$z_{2}^{*}=\frac{-p-\sqrt{\Delta}}{3}$，其中Δ=p²-3q.

引理1  对方程(9)，

(ⅰ)当r＜0时，方程(9)至少有一个正根；

(ⅱ)当r≥0且Δ=p²-3q≤0时，方程(9)没有正根；

(ⅲ)当r≥0且Δ=p²-3q≥0时，如果$z_{1}^{*}=\frac{-p+\sqrt{\Delta}}{3}$＞0，使得h(z₁^*)≤0，则方程(9)存在正根.

定理3 当R₀＞1时，在(8)式中，如果p≥0，q＞0，r＞0，则系统(3)的地方病平衡点E₂是绝对稳定的.即对所有τ≥0，平衡点E₂都是渐近稳定的.

证 当R₀＞1时，若r≥0，p≥0，q＞0，则h(0)=r≥0，并且h′(z)=3z²+2pz+q＞0.于是，对所有z≥0，都有h(z)＞0，即方程(9)无正根.说明方程(6)的特征根都具有负实部.

定理4 当R₀＞1时，在(8)式中如果以下两个条件任意一个满足

1) r＜0，

2) r≥0，q＜0且存在z_*= $\frac{-p+\sqrt{p^{2}-3 q}}{3}$，使得h(z_*)≤0，

则系统(3)的地方病平衡点E₂是条件稳定的.即存在临界时滞τ₀＞0，当τ＜τ₀时，平衡点E₂是渐近稳定的；当τ＞τ₀时，平衡点E₂是不稳定的；当τ=τ₀时，系统(3)在E₂附近产生Hopf分支，其中

证  1)当r＜0时，注意到h(0)＜0且$\lim\limits _{t \rightarrow \infty} h(z)=+\infty$，方程(9)至少有一个正根，即方程(8)至少有一个正根.

2) 当r≥0，q＜0，如果存在z_*=$\frac{-p+\sqrt{p^{2}-3 q}}{3}$，使得h(z_*)≤0，由文献[12]可知，方程(9)有正根，即方程(8)至少有一个正根.

如果方程(9)存在正根z₀，则方程(8)至少存在正根$\omega_{0}=\sqrt{z_{0}}$，即特征方程(6)存在纯虚根±iω₀，由(7)式计算得到

并且可以证明穿越条件$\left.\frac{\mathrm{d} \mathrm{Re}(\lambda(\tau))}{\mathrm{d} \tau}\right|_{\lambda=\mathrm{i} \omega_{0}}>0$成立.

综上所述，当R₀＞1时，如果条件1)或条件2)成立，则系统(3)的地方病平衡点E₂是条件稳定的，即存在临界时滞τ₀，当τ＞τ₀时，系统(3)在平衡点E₂附近产生Hopf分支.

研究结果显示，系统(3)的动力学性态由阈值R₀和潜伏期时滞τ决定，时滞的引入使系统(3)的动力学性态与文献[8]中不考虑时滞(即τ=0)的情形有本质的差异.