Dynamics Analysis of a Hand-Foot-Mouth Disease (HFMD) Model Infected by Three Kinds of Viruses

Bo LI; Wen-di WANG; Xuan TIAN

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2020.03.014

In a study reported in this paper, we established a hand-foot-mouth disease (HFMD) model with periodic onset of CA16 virus, EV71 virus and other viral strains. We obtained the basic reproduction number of the model and used it to prove the global asymptotic stability of the disease-free equilibrium point of the model. In addition, we also analyzed the stability of the periodic solution of a single virus strain. Finally, we found that the virus strain with the largest number of basic regeneration survived, and the other two strains died out by competition.

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近几年来，每次手足口病爆发，都会对国家和社会造成比较严重的影响，文献[1]对于非自治双菌株的传染病模型进行了研究和理论分析.近些年，许多学者对于各种类型的非线性感染率的传染病模型进行了广泛的研究^[2-7].本文考虑对手足口病影响较大的3种病毒株，通过研究CA16，EV71以及其他病毒株的感染率并建立数学模型，达到对于手足口病的传播规律的深入认识.首先，假设模型参数S(t)表示t时刻的易感人群，I_i(t)(i=1，2，3)分别表示t时刻CA16，EV71病毒以及其他病毒感染手足口病的人群数，建立如下模型

其中：β₁(t)是CA16病毒感染率，β₂(t)是EV71病毒感染率，β₃(t)是其他病毒感染率，ρ₁是人群中感染CA16病毒康复率，ρ₂是人群中感染EV71病毒康复率，ρ₃是人群中感染其他病毒康复率，α是人群未感染病的自然出生率或自然死亡率并假设它们相等.

1. 无病平衡点的稳定性

将在t时刻的人群总数记为

由(1)式可得

对(2)式积分后得

这里的P₀是时间为初始时刻的总人口数.由于

有

在本文接下来的部分，假设总人口数为一个常数，并且将此常数设为1.

在初始条件S(0)=S⁰，I₁(0)=I₁⁰，I₂(0)=I₂⁰，I₃(0)=I₃⁰的假设下，系统(1)满足

对于任意的时刻都有P(t)=1.因此，易感人群可以表示为

将(3)式带入系统(1)得

考虑集合

很明显，集合Ω是系统(2)一个正向不变集.令

为了定义手足口病3种病毒株不同的基本再生数，考虑周期函数的平均函数.假设f(t)是以ω为周期的函数，那么

其中〈·〉表示周期函数的平均值.由文献[8]的3.1.2节可得

现在，定义CA16，EV71以及其他病毒株的基本再生数分别为

因此，有下面结论.

命题1 如果R₁＜1，R₂＜1且R₃＜1，那么系统(1)的无病平衡点E₀=(1，0，0，0)是全局渐近稳定的.

证注意到S(t)≤1，有

对(5)式求解，得到

因此，在R₁，R₂，R₃同时小于1的条件下，当t→∞时，I₁(t)→0，I₂(t)→0且I₃(t)→0.

2. 单个病毒株周期解

本节讨论单个病毒株存活下来的条件.首先，假设I₂(0)=0，I₃(0)=0，那么I₂(t)=0，I₃(t)=0，t∈(0，+∞).通过与文献[9]类似的讨论，得到下面的结果.

引理1 如果R₁＞1，R₂＜1且R₃＜1，系统(4)存在唯一周期解ζ₁(t)=(γ₁(t)，0，0).此外，如果ζ₁(t)是系统(4)满足初始条件I₁(0)＞0的一个解，有

若R₂＞1，R₁＜1且R₃＜1时存在唯一的周期解ζ₂(t)=(0，γ₂(t)，0)，若R₃＞1，R₁＜1且R₂＜1时存在唯一的周期解ζ₃(t)=(0，0，γ₃(t))，这两种情形与引理2是对称的.下面，探究单病毒株周期解的稳定性，在系统(4)单病毒株的周期解附近线性化.不失一般性，可以设病毒株(1)的周期解为ζ₁(t)=(γ₁(t)，0，0)，其他的情形也是对称的.

引入变换I₁(t)=y₁(t)+γ₁(t)，I_j(t)=y_j(t)，其中y_j(t)(j=1，2，3)是扰动项，那么，线性化后的形式为

线性系统(4)可以被写成y′(t)= B (t) y (t)，其中B (t)是系数时间依赖矩阵.为了探究线性周期系统零解的稳定性，需要构造一个基解矩阵.首先，必须找到系统的一个线性无关解，令y_k(t)=0，k=2，3，这样，可以解(1)式第1个方程

得到(8)式的一个解为

其中b₁₁(t)是y₁左项系数.由此，(y₁(t)，0，0)是基解矩阵的第1列.为了获得剩余的解，令y_j(t)=0，j=2，3且j≠k，k≠1，然后，可以解(7)式第2，3方程

其中：b₂₂(t)是系统(4)的第2个方程右边的y₂前的系数，b₃₃(t)是系统(4)的第3个方程右边的y₃前的系数.在(7)式第一个方程中，y_k(t)被替换后，方程能被解出来，且解是一个复杂的表达式，定义为y_1k(t).

令基解矩阵

其中Ψ (ω)的Floquet乘子为

由文献[10]可知，当R₁＞1时，方程

有唯一的正周期解.假设γ₁(t)是系统(4)第一个方程的周期解，且满足方程(9).由于

那么，对方程(6)在[0，ω]上积分有

因此，第一个Floquet指数为

其它两个Floquet指数分别为

由Floquent定理知道，如果λ₁₁＜0，λ₁₂＜0且λ₁₃＜0，那么单病毒株的振荡解ζ₁(t)是局部渐近稳定的.如果存在λ_1k＞0，k=2，3，那么，单病毒株的振荡解ζ₁(t)是不稳定的.

定理1 如果R₁＞1，R₂＜1且R₃＜1，那么单病毒株的周期解ζ₁(t)=(γ₁(t)，0，0)是全局稳定的.

证任意取ε＞0，使得(1-nε)R₁＞1，由命题1，当t→∞时，I₂(t)→0和I₃(t)→0，即存在T＞0，当t≥T时，I₂(t)≤ε，I₃(t)≤ε.通过变换系统(4)，假设对于所有的t，都有I_i(t)≤ε，i=2，3，因而系统(4)的第一个方程的解满足以下不等式

接下来考虑

系统(2)的第一个方程的解I₁(t)满足

其中Y₁(t)和Z₁^ε(t)是(7)式两个方程相同初始条件下的解.不难发现当ε→0时，

根据引理1，(10)式第一个方程有唯一的周期解γ₁(t)，由于(1-nε)R₁＞1，定义γ₁^ε(t)是方程(10)的第二个方程的唯一的周期解.当t→∞时，能够得到

由于(12)式不等式中ε可以取任意小，因此，当(t→∞)时I₁(t)→γ₁(t).

3. 3种病毒株的非一致持续生存

据文献[9-10]，如果病毒株的感染率是常数，则它与人群的密集程度κ和每一种病毒株传播的概率成正比，即

因此，假设模型(1)的3种病毒株周期感染率β₁(t)，β₂(t)，β₃(t)为

其中：κ(t)是以ω为周期的非负周期函数；常数p₁，p₂，p₃分别为CA16，EV71以及其他病毒的染病概率.据此，3种病毒株的基本再生数分别为

不失一般性，假设EV71病毒株I₂有最大的基本再生数.

定理2 如果R₂＞R₁＞1且R₂＞R₃＞1，那么，当t→∞时，I₁(t)→0，I₃(t)→0，|I₂(t)-γ₂(t)|→0即CA16病毒株和其他病毒株被竞争排斥掉，只有EV71病毒株持续生存.

证对于病毒株I₁和I₃而言，考虑

对ν₁(t)，ν₃(t)求导，可以得到

化简(13)，(14)式得

对(15)，(16)式从0到t积分，可得

对(17)，(18)式同时取极限(t→∞)，(17)，(18)式右边收敛于正数

由于ν₁(0)＞0且ν₃(0)＞0，得到

因此，当t→∞时，ν₁(t)→∞，ν₃(t)→∞，又因为I₂(t)是有界的，所以当t→∞时，ν₁(t)→∞，ν₃(t)→∞.据定理1知EV71病毒株能够持续生存，而且系统(4)的解收敛于ζ₂(t).

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[1]	THIEME H R. Uniform Persistence and Permanence for Non-Autonomous Semiflows in Population Biology[J]. Math Biosci, 2000, 166(2):173-201. Google Scholar
[2]	姚苗然, 王稳地, 张金金, 等.结核分枝杆菌动力学模型的稳定性分析[J].西南大学学报(自然科学版), 2017, 39(5):113-119. Google Scholar
[3]	闫超, 王稳地, 曾豪, 等.具有脉冲加药的双菌株模型的动力学分析[J].西南大学学报(自然科学版), 2016, 38(5):86-93. Google Scholar
[4]	李艳, 王稳地, 周爱蓉, 等.具有隐性感染的登革热模型稳定性分析[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2018, 43(5):1-5. Google Scholar
[5]	LISENA B. Global Stability in Periodic Competitive Systems[J]. Nonlinear Anal-Real, 2004, 5(4):613-627. Google Scholar
[6]	马知恩, 周义仓, 王稳地, 等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社, 2004. Google Scholar
[7]	王稳地.一个竞争模型的一致持续生存[J].生物数学学报, 1991, 6(2):164-169. Google Scholar
[8]	WANG W D, ZHAO X Q. Threshold Dynamics for Compartmental Epidemic Models in Periodic Environments[J]. J Dyn Differ Equ, 2008, 20(3):699-717. Google Scholar
[9]	MARTCHEVA M. A Non-Autonomous Multi-Strain SIS Epidemic Model[J]. J Biol Dynam, 2009, 3(2-3):235-251. Google Scholar
[10]	SMITH H L, WALTMAN P. The Theory of the Chemostat:Dynamics of Microbial Competition[M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1995. Google Scholar
[11]	LIU W M, LEVIN S A, IWASA Y. Influence of Nonlinear Incidence Rates upon the Behavior of SIRS Epidemiological Models[J]. J Math Biol, 1986, 23(2):187-204. Google Scholar
[12]	BRIGGS C J, GODFRAY H C J. The Dynamics of Insect-Pathogen Interactions in Stage-Structured Population[J]. Am Nat, 1995, 145(6):855-887. Google Scholar

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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