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设{Xn，n≥1}为NSD随机变量序列，ani为双下标下三角常数列，即当i≥n时，ani=0.考虑加权和：
完全收敛性[1]是极限理论中的重要研究内容.在实际的应用中，更多的是随机变量序列加权和的情况，所以对相依序列加权和的完全收敛性问题的研究成为人们所关注的焦点.
定义1 [1]设{Xn，n≥1}是定义在概率空间(Ω，A，P)上的随机变量序列.若存在常数θ，对∀ε＞0，有
则称{Xn，n≥1}完全收敛于θ.
很多学者对完全收敛性展开了广泛的研究[2-8].本文研究NSD[5]随机变量序列加权和的完全收敛性，并将其结果应用于含参数β的最小二乘估计[9-10]的线性回归模型中及关于g的权函数非参数回归模型估计中，得到了强相合性定理[11-15].本文结论改进了文献[5]中的相应结果，下面给出NSD随机变量的概念.
定义2 [5]函数Φ：
${{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R} $ 称为超可加的，如果对任意的x，y∈${{\mathbb{R}}^{n}} $ 有其中：记号“∨”表示两者之间的最大值，“∧”表示两者之间的最小值.
定义3[5] 随机向量X=(X1，X2，…，Xn)为负超可加相依(NSD)，如果满足
其中ϕ(·)是超可加函数，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且对任意的i，Xi和Yi同分布.
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定理1 设{Xi，i≥1}为NSD随机变量序列，
$ \mathit{\boldsymbol{E}}{X_i} = 0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$ .对于1＜P≤2，存在$ S\in \left( \frac{1}{P}, 1 \right]$ ，有对于P＞2，存在
$ S\in \left( \frac{1}{2}, 1 \right]$ ，使得则对∀ε＞0，
证 分以下两种情况讨论.
(1) 对于1＜P≤2与S必存在
$ {{S}_{0}}\in \left( \frac{1}{P}, S \right]$ ，使得其中
$ X_{i}^{\left( n \right)}\triangleq {{X}_{i}}{{I}_{\left( \left| {{x}_{i}} \right|\le {{n}^{{{s}_{0}}}} \right)}}$ ，则对∀ε＞0，由EXi=0，(1)及(2)式可得
因此当n充分大时，由(4)及(5)式知
即证以下(6)，(7)式成立.
由(1)式得
由引理2知
当i→∞时，ρ(2i)→0，故存在n0＞1，i＞n0时，有
则对∀n≥1，
令q=2，则
将(11)式代入(9)式得II＜∞，故(3)式完全成立.
$\left( \text{ii} \right) $ 对于P＞2，对于情况$\left( \text{ii} \right) $ 中的s，存在${{S}_{0}}\in \left( \frac{1}{2}, s \right] $ ，可得ps0＞1.由$ \left( \text{i} \right)$ 的证明可得(3)式成立.结合$\left( \text{i} \right) $ 和$\left( \text{ii} \right) $ 两种情况，可得定理1成立.证毕.由(3)式可推得
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\, {{S}_{n}}=0\ \text{a}\text{.}\ \text{s}\text{.} $ ，故由定理1可推出文献[5]中的定理1.推论1 设{Xi，i≥1}为NSD随机变量序列，
$ \mathrm{E}{{X}_{i}}=0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$ ，且$ \underset{i\ge 1}{\mathop{\text{sup}}}\, \mathrm{E}{{\left| {{X}_{i}} \right|}^{p}}<\infty $ 对于P＞2.若$ S\in \left( \frac{1}{2}, 1 \right]$ ，使得$ \underset{1\le i\le n}{\mathop{\max }}\, \left| {{a}_{ni}} \right|=O\left( {{n}^{-s}} \right)$ ，则证 由(3)式，可得
$ \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\, {{S}_{n}}=0\ \text{a}\text{.}\ \text{s}\text{.}$ ，故从定理1可得推论1成立.注1 由推论1可得文献[5]中的推论，即推论1对比文献[5]放宽了对加权系数ani的限制.
定理2 设{Xi，i≥1}为NSD随机变量序列，
$ \mathrm{E}{{X}_{i}}=0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}}$ ，若存在bi≥0，使若存在
$ {{S}_{1}}\in \left( \frac{1}{r}+\frac{1}{2}, 1 \right]$ ，s2＞2对于r＞2，有则对∀ε＞0，
证 ∀i≥1，令
$ X_{i}^{\left( n \right)}={{X}_{i}}I\left( \left| {{X}_{i}} \right|<{{b}_{i}} \right), S_{j}^{\left( n \right)}\sum\limits_{i=1}^{j}{\left( {{a}_{ni}}X_{i}^{\left( n \right)}-{{a}_{ni}}\mathrm{E}X_{i}^{\left( n \right)} \right)}$ .则类似于定理1的证明可得定理2的证明.推论2 设{Xi，i≥1}为NSD随机变量序列，
$\mathrm{E}{{X}_{i}}=0, {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ni}}{{X}_{i}}} $ ，且$\underset{i\ge 1}{\mathop{\text{sup}}}\, \mathrm{E}{{X}_{i}}<\infty $ ，r＞2，若存在${{S}_{1}}\in \left( \frac{1}{r}+\frac{1}{2}, 1 \right] $ ，使得则对∀ε＞0，有
证 在定理2中取bi=is，易得定理2的条件满足，结合定理2的证明即得推论2成立.
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其中{Xij}为已知的设计点列，Λ≥=(β1，…，βn)T为未知的回归系数向量，ei为随机误差，记β的最小二乘估计
$\overset{\Lambda }{\mathop{{{\mathrm{ }\!\!\Lambda\!\!\text{ }}_{n}}}}\, =\left( \overset{\Lambda }{\mathop{{{\beta }_{n1}}}}\, , \cdots , \overset{\Lambda }{\mathop{\beta _{np}^{\text{T}}}}\, \right) $ .则由文献[8]知其中
$\mathrm{A}_{n}^{\left( j \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( a_{ni}^{\left( i \right)} \right)}^{2}}=\frac{1}{V_{ij}^{\left( n \right)}}}, {{\left( V_{ij}^{\left( n \right)} \right)}_{p\times p}}={{\left( \mathrm{X}_{n}^{\text{T}}{{\mathrm{X}}_{n}} \right)}^{-1}}, {{\mathrm{X}}_{n}}={{\left( {{x}_{ij}} \right)}_{n\times p}}$ .于是，对固定的j∈{1，2，…，p}，令
$ {{a}_{nk}}=\frac{a_{nk}^{\left( j \right)}}{A_{n}^{\left( j \right)}}$ ，k=1，2，…，n.则由定理2及(13)式得以下定理3.定理3 设(12)式中随机误差{ei，i≥1}为NSD随机变量序列，满足Eei=0.若存在bi≥0，使
对于r≥2，若存在
$ {{s}_{1}}\left( {{s}_{1}}>\frac{r}{2}+1 \right)$ ，s2(s2＞2)，使得则对于有j=1，2，…，p有
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\, \overset{\Lambda }{\mathop{{{\beta }_{nj}}}}\, ={{\beta }_{j}}, \ \text{a}\text{.}\ \text{s}\text{.} $ .2) 非参数回归模型中的应用
设p是一个正整数，A是
$ {{\mathbb{R}}^{p}}$ 中一个紧集，考虑以下回归模型其中X1(n)，…，X(n)n∈A为已知的非随机设计点列，g为未知的实函数，ε1(n)，…，εn(n)为均值为0的随机向量.取g(x)的权函数估计为
下面给出gn(x)在NSD序列下的强相合性，现作如下基本假设
$ \left( {\rm{i}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{W_{ni}}} (x) = 1;$ $\left( {{\rm{ii}}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^n | {W_{ni}}(x)| \le C < \infty ; $ $ \left( {{\rm{iii}}} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } |\sum\limits_{i = 1}^n {{W_{ni}}} (x)(g({x_i}) - g(x))I(|x_i^{(n)} - x| > a)| = 0,\forall a > 0{\kern 1pt} .$ 定理4 设模型(14)基本条件
$\left( \text{i} \right) $ ，$ \left( \text{ii} \right)$ 和$ \left( \text{iii} \right)$ 成立，{εi(n)，i≥1}为NSD随机变量序列，且当r＞2时，若存在某个正数
$S\in \left( \frac{1}{2}, 1 \right] $ ，使则∀x∈c(g)，其中c(g)为g的连续点集，有
证 由于
由文献[13]引理3知
由于
再由推论2知
因此(18)式得证.
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