Approximationfor Inertial Manifold of a Stochastic Wave Equation with Additive Noise

令L²(D)为(0，π)上的平方可积函数的集合，其范数为${\left\| \cdot \right\|_{{L^2}(D)}} $，内积为〈·，·〉；H₀¹(D)表示通常的Sobolev空间W₀^1，2(D)^[7]，其范数为${\left\| \cdot \right\|_{H_0^1}} $；设E：=H₀¹(0，π)×L²(0，π)，其范数为${\left\| \cdot \right\|_E} $.考虑(0，π)上是齐次Dirichlet边界条件的算子Δ，那么算子Δ在L²(D)上生成一个强连续半群e^Δt(t≥0). Δ的特征值为λ_k=-k²(k=1，2，…)，相应地特征向量e_k在L²(D)上是标准正交基.非线性项f：$\mathbb{R} \to \mathbb{R} $是Lipschitz连续的，即

其中L_f为Lipschitz常数.

令

其中I为恒等算子.

方程(1)等价于下面的方程组

其中(u，v)^Τ∈E.

方程(2)等价于下面的方程组

算子A的特征值是$\lambda _k^ \pm = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4\nu {k^2}} }}{{2\nu }}, k = 1, 2, \cdots , $相应的特征向量是

设

由e_k的正交性，容易验证E₁⊥E₂₂，E_-1⊥E₂₂.再由文献[8]可知，在E₁₁和E₂₂上定义新内积

有E₁⊥E_-1，那么E₁⊥E₂.显然，E₁⊕E₂=E.那么算子A满足下面条件(指数二分性)：

其中β＜α＜0，K＞0，I=P₁+P₂.记E₁=P₁E和E₂=P₂E.

定义1  设(Ω，$\mathscr{F} $，P)是一个完备概率空间，$ \theta = {\left\{ {{\theta _t}} \right\}_{t \in \mathbb{R}}}$是Ω上的变换族，定义映射

如果映射θ_t满足如下条件

(i) θ₀=id_Ω，

(ii) 对t，τ∈$ \mathbb{R}$，有${\theta _t} \circ {\theta _{\rm{r}}}: = {\theta _t}{\theta _\tau } = {\theta _{t + \tau }} $，

(iii) 映射(t，ω)→θ_tω是$\mathscr{B}(\mathbb{R} \times \mathscr{F}, \mathscr{F}) $-可测，且对任意t∈$ \mathbb{R}$，有θ_tP=P，则称(Ω，$\mathscr{F} $，P，θ)为驱动动力系统.

定义2  设(H，d_H)是一个完备度量空间，如果映射

满足下面性质

则称θ和ϕ构成的二元组(θ，ϕ)为一个随机动力系统.

定义3  对于随机动力系统ϕ(t，ω，x)，如果对任意的t≥0，ω∈Ω，有

那么随机集M(ω)称为正不变集.

定义4  如果不变集M(ω)能被一个Lipschitz映射h(·，ω)：E₁→E₂表示，其中E=E₁⊕E₂，并满足M(ω)={(ξ，h(ξ，ω))|ξ∈E₁}，那么M(ω)是一个Lipschitz不变流形.进一步，如果E₁是一个有限维并且M(ω)对轨道φ是指数吸引的，那么称M(ω)是一个随机惯性流形.

考虑一个Langevin方程

取定$\varepsilon = \frac{1}{n}, n = 1, 2, \cdots $.因此，当n→∞时，ε→0.由文献[4]，方程(6)存在解

它具有轨道不变性和测度不变性^[9].定义

引理1^[4]  设W(t)是$ \mathbb{R}$上的一个布朗运动，那么对每一个固定的T＞0，当ε→0时，Φ^ε(t)在[0，T]上几乎处处一致收敛到W(t).

由文献[10]知，(u^*(ω)，v^*(ω))^Τ和(X^*(ω)，Y^*(ω))^Τ分别是下面线性方程组的唯一稳态解

实际上

存在且分别生成下面的稳态解

定义如下非线性函数

那么g_i(i=1，2)与f有相同的Lipschitz常数.

考虑下面的方程组

引入变换

引理2^[10]  假设$ {(\bar u, \bar v)^{\rm{T}}}$和$ {\left( {{{\bar X}^\varepsilon }, {{\bar Y}^\varepsilon }} \right)^{\rm{T}}}$分别为方程组(13)和(14)生成的随机动力系统，那么

和

是随机动力系统，对任意(u，v)^Τ∈E和(X^ε，Y^ε)^Τ∈E，过程

和

分别是(3)式和(4)式的解.

首先考虑惯性流形的存在性.用$\phi \left( {t, \omega , {{\left( {{{\bar u}_0}, {{\bar v}_0}} \right)}^{\rm{T}}}} \right) $和${\phi ^\varepsilon }\left( {t, \omega , {{\left( {\bar X_0^\varepsilon , \bar Y_0^\varepsilon } \right)}^{\rm{T}}}} \right) $分别表示(13)和(14)式的解，它们的初值分别表示为

和

定义Banach空间

其范数为

引理3^[2]  如果L_f满足

那么方程组(13)有不变的Lipschitz流形

其中h(·，ω)：E₁→E₂为Lipschitz连续映射并且

进一步，如果

那么M_E(ω)是方程组(13)的随机惯性流形，其中L_h为h(ξ，ω)的Lipschitz常数.

用文献[2]中类似的方法可得到方程组(14)的惯性流形如下.

引理4^[2]  如果L_f满足(15)式，那么方程组(14)有不变的Lipschitz流形

其中h^ε(·，ω)：E₁→E₂为Lipschitz连续映射并且

进一步，如果(16)式成立，那么M_E^ε(ω)是方程组(14)的随机惯性流形.

注1  流形$ {\tilde M_E}(\omega ) = {T^{ - 1}}(\omega , M(\omega ))$和$ {\tilde M_E}^\varepsilon (\omega ) = {T^{ - 1, \varepsilon }}(\omega , {M_E}^\varepsilon (\omega ))$是方程组(3)和(4)的Lipschitz惯性流形.下面证明惯性流形的Wong-Zakai型逼近.假设(u，v)^Τ和(X^ε，Y^ε)^Τ分别是方程组(3)和(4)的解，对(u，v)^Τ作如下变换

其中(u^*(θ_tω)，v^*(θ_tω))^Τ是方程组(7)的稳态解.可以得到(u，v)^Τ满足方程组

惯性流形上的解$ {{{(\bar u, \bar v)}^{\rm{T}}}}$如下

对应的随机惯性流形的Lispchitz映射为

相应地，对(X^ε，Y^ε)^Τ作如下变换

其中(X^*(θ_tω)，Y^*(θ_tω))^Τ是方程组(8)的稳态解.可以得到(X^ε， Y^ε)^Τ满足方程组

惯性流形上的解${{{\left( {{{\bar X}^\varepsilon }, {{\bar Y}^\varepsilon }} \right)}^{\rm{T}}}} $如下

对应的随机惯性流形的Lispchitz映射为

引理5  假设η＜α＜0，(X^*(θ_.ω)，Y^*(θ_.ω))^Τ，(u^*(θ_.ω)，v^*(θ_.ω))^Τ分别为方程组(8)和(7)的稳态解，那么当ε→0时，有

证  由方程组(11)和(12)有

记不等式(25)的最后一个不等号后的两个加式分别为I₁，I₂.对I₁，由分部积分得

记不等式(26)的最后一个不等号后的两个加式分别为I₁₁，I₁₂，易知，当ε→0时有I₁₁→0.对I₁₂，通过引理1，对$\tilde \varepsilon > 0, \delta > 0 $，存在T使得${{\rm{e}}^{ - \delta s}}\left\| {W(s) - {\varPhi ^\varepsilon }(s)} \right\| \le \tilde \varepsilon $，

因此，$ {I_{12}} < \frac{{\tilde \varepsilon \left| {{P_1}\mathit{\boldsymbol{A}}\sigma } \right|}}{{\alpha - \delta }}$.从而表明，当ε→0，I₁₂→0.相似地，当ε→0时，I₂→0.所以，当ε→0时，$ \mid\left(X^{*}(\theta, \omega), Y^{*}(\theta, \omega)\right)^{\mathrm{T}}-\left(u^{*}(\theta, \omega), v^{*}(\theta, \omega)\right)^{\mathrm{T}} \|_{C_{\eta}^{-}} \rightarrow 0$.

定理1  假设指数二分性条件(5)与条件(15)和(16)成立，并且α＜η＜0，那么对几乎所有的样本ω，当ω→0时，在C_η^-中方程组(3)的解逼近方程组(4)的解.

证  由(19)和(23)式，有

在(27)式不符项中同乘e^-ηt，有

那么

而

所以

由引理4，可得

因此

由变换(21)和(17)，可以得到当ω→0时

定理2假设指数二分性条件(5)与条件(15)和(16)成立，并且α＜η＜0，那么对几乎所有的样本ω，当ω→0时，方程组(3)的惯性流形被方程组(4)的惯性流形逼近.

证  首先当ω→0时由惯性流形映射(24)和(20)式，有

即${h^\varepsilon }(\xi , \omega ) \to h(\xi , \omega ) $，所以$\tilde M(\omega ) $可被${{\tilde M}^\varepsilon }(\omega ) $逼近.再由注1，最终可得方程组(4)的惯性流形逼近方程组(3)的惯性流形.