Effective Approximation for a Class of SPDEs

假设 1  假设方程(1)中的$\mathscr{A} $是一个定义在Hilbert空间$\mathscr{H}$上的自伴随非正线性算子，其特征值-λ_i(i=1，2，3，…)满足0≤λ₁≤λ₂≤…≤λ_k≤…且对所有较大的k，有λ_k≥Ck^m. 相应的的特征向量为{ g_k}_k=1^∞，且有$\mathscr{A} $g_k=-λ_kg_k.

用$\mathscr{N}$：=ker$\mathscr{A} $表示$\mathscr{A} $的核空间，$\mathscr{T}$：=$\mathscr{N}$^⊥表示$\mathscr{N}$在$\mathscr{H}$中的正交补空间. P_c为从$\mathscr{H}$到$\mathscr{N}$的投影，P_s为从$\mathscr{H}$到$\mathscr{T}$的投影. 假设P_c，P_s与$\mathscr{A} $可交换，$\mathscr{A} $^-1dW存在，假设$\mathscr{N}$为n维，其标准正交基为{ g₁，g₂，…，g_n}.

分数阶Sobolev空间$\mathscr{H}$^α定义如下

其中α∈$\mathbb{R} $，{ g_k}_k=1^∞是$\mathscr{H}$空间的完备标准正交基，范数定义为

定义算子D^α：D^αg_k=k^αg_k，因此有‖u‖_α=‖D^αu‖.

线性算子$\mathscr{A} $生成解半群e^{$\mathscr{A} $t}满足

引理 1  在假设1下，存在常数M＞0，K＞0，使得对所有的t＞0，β≤α，u∈$\mathscr{H}$^β有

假设 2  给定α∈$\mathbb{R} $，对某些β∈[0，m)，$\mathscr{L} $：$\mathscr{H}$^α→$\mathscr{H}$^α-β是一个连续线性映射，且一般情况下与P_c，P_s不可交换.

假设 3  B是一个从$\mathscr{H}$^α×$\mathscr{H}$^α到$\mathscr{H}$^α-β的有界双线性算子，其中α，β由假设2给出. 不失一般性，可假设B是对称的，即B(u，v)=B(v，u)，且满足P_cB(u，u)=0，u∈$\mathscr{N}$. 本文中，取B(u，v)=uv.

假设 4  W是定义在一个抽象概率空间(Ω，$\mathscr{F} $，$\mathscr{P} $)上的一个柱状维纳过程，同时满足P_cW=0，其有界协方差算子Q：$\mathscr{H}$→$\mathscr{H}$定义为Qf_k=α_k²f_k，其中{α_k}_k=1^∞是一个有界实序列，{ f_k}_k=1^∞是$\mathscr{H}$中的另一组正交基. 假设对某些γ∈(0，$\frac{1}{2}$)，有如下不等式

其中{ g_l}_l=1^∞是假设1中的正交基.

进一步，对t≥0，W(t)分别以{ g_l}_l=1^∞，{ f_k}_k=1^∞为基时，有如下两种不同表达形式：

其中：$\mathscr{B} $_l：=$\sum\limits_{k = 1}^\infty {{\alpha _k}} $〈 f_k，g_l〉β_k，{β_k}_k=1^∞是独立的实值标准布朗运动.

定义 1  定义随机卷积

定义 2  给定$\mathscr{N}$×$\mathscr{T}$-值的随机过程(a，ψ)，对于0＜k＜$\frac{1}{{12}}$和某个时间T₀＞0，定义停时

定义 3  对于一个实值的随机过程族{X_ε(t)}_t≥0. 如果对每个p≥1都存在一个常数C_p满足

则我们称X_ε=$\mathscr{O} $(f_ε).

最后指出，用字母C表示所有正常数，它依赖于T₀，k，α，B，Q，$\mathscr{L} $，$\mathscr{A} $及其给出的数据. 同时规定如下简记符号：B_s：=P_sB，B_c：=P_cB. $\mathscr{L} $_c，$\mathscr{L} $_s，$\mathscr{A} $_c，$\mathscr{A} $_s，W_c，W_s同理.

对于方程(1)，将其解u(t)分解为两部分

其中a∈$\mathscr{N}$，ψ∈$\mathscr{T}$. 选取时间尺度变换为T=εt，将(2)式代入(1)式，并分别做P_c，P_s投射可得到

和

其中$\tilde W$ (T)：=${\varepsilon ^{\frac{1}{2}}}$W(ε^-1 T)与W(t)同分布.

对B_c(a，$\mathscr{A} $^-1ψ)用${\rm{It\hat o}}$公式有

其中r(T)是ε的高阶项. 忽略(5)式中的小项，可以得到

因此

令b(T)满足方程

则方程(6)就是逼近随机偏微分方程(1)的有效近似系统(也被称为振幅方程^[10]).

进一步，由(3)和(5)式可得

其中

下面给出本文主要结论.

定理 1  在假设1，2，3，4下，设u是形如(2)式的方程(1)的解，且有初始条件u(0)=εa(0)+${\varepsilon ^{\frac{3}{2}}}$ψ(0)，其中a(0)，ψ(0)是一阶的. 假设b是有效近似系统(6)的解. 则对所有的p＞1，T₀＞0，都存在C＞0使得

为证明本文主要定理1，需要依次估计方程(2)中的ψ(T)，方程(8)中的R(T)以及方程(6)中的b(T).

引理 2  在假设1，2，3，4下，T＞0，z(T)是如下方程的解

则对ε∈(0，1)，T≤τ^*有

证  方程(4)的温和形式为

因此

下面依次估计I₁，I₂，I₃.

由引理1，0≤β＜m，对所有的T≤τ^*

令

则

类似的，对所有的T≤τ^*

进一步

结合(12)-(14)式，(11)式得证.

引理 3^[8]  在假设1，4下，取方程(10)的初值z(0)满足‖z(0)‖_α=$\mathscr{O} $(1). 则对每一个k₀＞0，p＞1和T＞0，存在常数C＞0使得

证  这是一个标准的OU-过程有界估计，其证明过程可参考文献[8]中引理20的证明，区别仅在于ε的指数不同.

引理 4  在假设1，2下，利用定义2中τ^*的定义，对所有的ε∈(0，1)，

证  利用引理1和假设2，与引理2中I₁的证明类似，可得对T＜τ^*

引理 5  在假设1和假设3下，利用定义2中τ^*的定义，对所有的ε∈(0，1)，

证  利用引理1和假设2，与引理2中I₂的证明类似，可得对T＜τ^*

引理 6  在引理2、引理3、引理4、引理5成立的条件下，对p＞1和所有的k₀＞0，存在常数C＞0，使得

证  根据(11)式，由三角不等式和引理2，有

再根据引理3、引理4、引理5，对于k₀≤2k，引理6得证.

引理 7  在假设1，2，3，4下，对所有的p＞1，存在一个常数C使得

证  欲证(19)式，需对R(T)中的每一项进行有界估计. 这些估计依赖于假设1，2，3以及对所有γ∈$\mathbb{R} $和δ＞0成立的不等式‖ψ‖_γ≤‖ψ‖_γ+δ. 进一步，还使用了$\mathscr{L} $_ca，B_c(a，$\mathscr{A} $_s^-1ψ)∈$\mathscr{N}$，$\mathscr{N}$是有限维，因此有不等式‖$\mathscr{L} $_ca‖_α≤C‖$\mathscr{L} $_ca‖_α-β，以及算子$\mathscr{A} $ _s^-1是$\mathscr{H}$^α空间中的有界线性算子.

与引理2中I₁，I₂，I₃估计类似，对(8) 式中定义的R(T)各项有

我们已经在τ^*的定义中给出了k＜$\frac{1}{{12}}$，因此结合(20)式至(26) 式，(19)式即可得证.

引理 8  在假设1，2，3，4下，设随机过程b(T)满足E ‖b(0)‖≤C与方程

则对于T₀＞0，存在一个常数C使得

证  对|b|^2p使用${\rm{It\hat o}}$公式有

将db=$\mathscr{L} $_cbdT-2b$\mathscr{A} $ _s^-1${\rm{d}}{\tilde W_s}$代入得

其中使用了〈dt，dt〉=〈dt，dW(t)〉=〈dW(t)，dt〉=0，〈dW(t)，dW(t)〉=dt.

在(28)式两边同时取期望有

由Gronwall不等式得

即

对(28)式先取上确界，再取期望有

再使用B-D-G不等式和Hölder不等式得

引理 9  在假设1，2，3，4下，b是方程(27)的解，a为(7)所定义且满足‖a(0)‖≤C. 若初始条件满足a(0)=b(0)，则对于k＜$\frac{1}{{12}}$有

证  令

则

对|$\tilde h$|^2p使用${\rm{It\hat o}}$公式有

对(30)式等式两边在[0，T]上积分后取上确界，再取期望得

又由h(T)=$\tilde h$(T)+R(T)，代入(31)式得

故

引理 10  设集合Ω^*⊂Ω且在Ω^*上成立

则有$\mathscr{P} $(Ω^*)≥1-Cε^p.

证  由Ω^*定义有

利用Chebychev不等式及引理6、引理7、引理8，对充分大的q(q为p的共轭指数)有

定理1的证明

结合定义2与引理10可知

结合三角不等式与(2)式、(29)式，在Ω^*上有

即

在Ω^*上成立，定理1得证.