Automorphisms and Opposite Automorphisms of Formal Triangular Matrix Semi-rings

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半环理论是代数理论研究的一个重要内容，应用很广泛^[1-4]. 半环上的自同构和反自同构是半环理论中的最基本的研究内容之一. 对于自同构，文献[5]证明了交换环上严格上三角矩阵代数的自同构可以表示成一个对角自同构、一个中心自同构和一个内自同构的乘积；文献[6-11]研究了矩阵环和矩阵代数的导子和自同构. 文献[12]探讨了形式三角矩阵环的导子和自同构. 文献[13]研究了形式三角矩阵环的反自同构.

本文在上述基础上进一步研究形式三角矩阵半环的自同构和反自同构，所得结果拓广了文献[12-13]的重要结论.

定义1^[1]  一个半环是一个代数系统(R，+，·)，其中(R，+)是一个带有恒等元0的交换幺半群，(R，·)是一个带有恒等元1_R的幺半群，乘法对加法满足左右分配律. 同时，对于任意a∈R，0a=a0=0. 0≠1_R，元素0，1_R分别称为半环R的零元和单位元.

设R是一个半环，如果对于任意a，b∈R，由a+b=0可推出a=b=0，则称R为零和自由半环^[1]或反环^[14-15]. 设a∈R，如果果a²=a，则称a为一个幂等元. 显然0，1都是幂等元，称为平凡幂等元.

设(R，+，0)是一个交换幺半群，a∈R，如果存在b∈R，使得a+b=0，则称a为一个可反元，此时b称为a的一个反元. 不难验证，如果元素a有一个反元，那么这个反元是唯一的，a的反元记为-a. 设a，b∈R，且b是可反元，我们定义a-b=a+(-b). 不难验证，对于半环R中的任意元a，b，如果b是可反元，那么a(-b)=-ab，(-b)a=-ba. 显然，一个半环R是一个环当且仅当R的每一个元都是可反元；R是零和自由半环当且仅当R中只有零元是可反元.

半环是相当丰富的. 例如，每一个带有单位元的环是一个半环；每一个布尔代数、每一个有界分配格都是半环，并且是零和自由的；整数环$ {\mathbb{Z}}$(有理数域$ {\mathbb{Q}}$，实数域$ {\mathbb{R}}$)的正锥$ {\mathbb{Z}}^0$($ {\mathbb{Q}}^0, {\mathbb{R}}^0$)是一个零和自由半环；Max-Plus代数($ {\mathbb{R}}$∪{-∞}，max，+)是一个零和自由半环.

定义2^[1]  半环R上的一个左半模(简称左R-半模)是一个交换幺半群(M，+，0)，并且存在一个映射R×M→M，(r，m) |→ rm，满足：对于任意r，r′∈R，m，m′∈M，均有

(a) r(m+m′)=rm+rm′；

(b) (r+r′)m=rm+r′m；

(c) (rr′)m=r(r′m)；

(d) 1_Rm=m；

(e) r0=0=0m.

类似地，可定义半环S的右S-半模. 一个交换幺半群(M，+)如果既是左R-半模又是右S-半模，并且∀a∈R，m∈M，b∈S，均有(am)b=a(mb)，则称M为(R，S)-双半模.

定义3  设R，S是两个半环，φ：R→S是一个映射. 如果φ是一个双射，并且对于任意x，y∈R，均有φ(x+y)=φ(x)+φ(y)，φ(xy)=φ(x)φ(y)，则称φ为R到S的一个同构映射；如果φ是一个双射，并且对于任意x，y∈R，均有φ(x+y)=φ(x)+φ(y)，φ(xy)=φ(y)φ(x)，则称φ为R到S的一个反同构映射. 半环R到自身的一个同构映射称为R的一个自同构；半环R到自身的一个反同构映射称为R的一个反自同构.

注1  如果φ是半环R到S的一个同构映射(或反同构映射)，那么φ(0)=0，φ(1_R)=1_S.

定义4  设R，S是两个半环，M是(R，S)-双半模，φ_R，φ_S分别是R，S的自同构，f：M→M是一个映射. 如果f是双射，并且对于任意r∈R，m，m′∈M，s∈S，均有f(m+m′)=f(m)+f(m′)，f(rms)=φ_R(r)f(m)φ_S(s)，则称f为双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性自同构.

定义5  设R，S是两个半环，M是(R，S)-双半模，φ_R，φ_S分别是R到S，S到R的同构，f：M→M是一个映射. 如果f是双射，并且对于任意r∈R，m，m′∈M，s∈S，均有f(m+m′)=f(m)+f(m′)，f(rms)=φ_S(s)f(m)φ_R(r)，则称f为双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性反自同构.

定义6  设R，S是两个半环，M是(R，S)-双半模，则集合

在通常的矩阵加法和乘法下构成一个半环，称之为形式三角矩阵半环.

注2  在定义6中，当R，S是环时，半环Tri(R，M，S)就是形式三角矩阵环^[16].

定理1  设R，S是两个半环，并且所有幂等元是平凡的，M为非零的(R，S)-双半模，φ是形式三角矩阵半环Tri(R，M，S)到自身的一个映射. 那么φ是Tri(R，M，S)的一个自同构当且仅当存在R的一个自同构φ_R、S的一个自同构φ_S、(R，S)-双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性自同构f以及M中的一个可反元m₀，使得对于任意$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，均有

证  充分性  通过直接验证可得φ是半环Tri(R，M，S)的一个自同构.

必要性  设φ是半环Tri(R，M，S)的任一自同构. 对于任意X，Y ∈Tri(R，M，S)，设

则有

再设

那么，由

得

下面分3步来完成必要性的证明.

步骤1  证明φ₁₁(1_R，0，0)=1_R，φ₁₁(0，0，1_S)=0，φ₂₂(1_R，0，0)=0，φ₂₂(0，0，1_S)=1_S，f₁₂(1_R，0，0)是M中的可反元.

用φ作用于

可得

所以

由于半环R，S的幂等元都是平凡的，所以φ₁₁(1_R，0，0)=0或φ₁₁(1_R，0，0)=1_R，φ₂₂(1_R，0，0)=0或φ₂₂(1_R，0，0)=1_S.

如果φ₁₁(1_R，0，0)=0，φ₂₂(1_R，0，0)=0，那么由(4)式，得$ \varphi \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$，这与φ是半环Tri(R，M，S)的自同构相矛盾.

如果φ₁₁(1_R，0，0)=0，φ₂₂(1_R，0，0)=1_S，那么由(4)式，得

用φ作用于$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&m\\ 0&s \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$，得

比较(5)式与(6)式，得

再用φ作用于$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&m\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&m\\ 0&s \end{array}} \right)$，得

比较(5)式与(7)式，得

这与φ是半环Tri(R，M，S)的自同构相矛盾.

因此φ₁₁(1_R，0，0)=1_R. 于是

类似可证φ₂₂(0，0，1_S)=1_S，于是

用φ作用于$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&{{1_R}} \end{array}} \right)$，得

于是

设f₁₂(1_R，0，0)=m₀，则m₀是M中的可反元，并且f₁₂(0，0，1_S)=-m₀.

步骤2  证明分别存在半环R，S的自同构φ_R，φ_S，使得对于任意r∈R，m∈M，s∈S，均有

用φ作用于$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{1_R}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$，并利用

可得

所以

类似可证

从φ₁₁(r，0，0)=φ₁₁(r，m，s)，φ₂₂(0，0，s)=φ₂₂(r，m，s)看出，φ₁₁(r，m，s)与m，s无关，φ₂₂(r，m，s)与r，m无关.

现将φ₁₁(r，m，s)和φ₂₂(r，m，s)分别记为φ_R(r)和φ_S(s)，则可得两个映射φ_R：R→R和φ_S：S→S，同时

下证映射φ_R：R→R和φ_S：S→S分别是半环R与S的自同构.

由(2)式与(3)式，得

对于任意r，r′∈R，当r≠r′时，有

即

那么φ_R(r)≠φ_R(r′)，所以φ_R是单射.

因为φ是形式三角矩阵半环Tri(R，M，S)的一个自同构，所以对于任意$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {r'}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，总有$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，使得φ(X)= Y. 因此∀r′∈R，总有r∈R，使得φ_R(r)=r′，所以φ_R是满射，从而φ_R是双射.

类似可证φ_S是双射. 因此映射φ_R：R→R和φ_S：S→S分别是半环R与S的自同构.

步骤3  证明存在(R，S)-双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性自同构f，使得对于任意r∈R，m∈M，s∈S，均有

由(2)式和(8)式，得

记f₁₂(0，m，0)=f(m)，则可得映射f：M→M，此时

下证f是M的一个(φ_R，φ_S)-半线性自同构.

用φ作用于等式

得

再用φ作用于等式

得

对于任意m，m′∈M，当m≠m′时，有

则f(m)≠f(m′)，所以f是单射. 对任意m′∈M，存在$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，使得

即

由此可得

所以f是满射，从而f为(R，S)-双半模M的一个(φ_R，φ_R)-半线性自同构.

综上所述，必要性得证.

注3  在定理1中，当R，S是两个环，M为(R，S)-双模时，可得文献[12]的定理2.

定理2  设R，S是两个半环，并且所有幂等元是平凡的，M为非零的(R，S)-双半模，φ是形式三角矩阵半环Tri(R，M，S)到自身的一个映射. 那么φ是Tri(R，M，S)的一个反自同构当且仅当存在R到S的一个反同构φ_R、S到R的一个反同构φ_S、(R，S)-双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性反自同构f以及M中的一个可反元m₀，使得对于任意$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，均有

证  类似于定理1，从略.

注4  在定理2中，当R=S是环，M为(R，S)-双模时，可得文献[13]的定理.

定义7  设M是一个半模. 如果∀m，m′∈M，由m+m′=0可推出m=m′=0，则称M为零和自由半模.

由定义7知，一个半模M是零和自由的当且仅当M只有零元是可反元.

由定理1和定理2得：

定理3  设R，S是两个半环，并且所有幂等元是平凡的，M为非零的(R，S)-双半模，且是零和自由的，φ是形式三角矩阵半环Tri(R，M，S)到自身的一个映射. 那么

(ⅰ) φ是Tri(R，M，S)的一个自同构当且仅当存在R的一个自同构φ_R、S的一个自同构φ_S、(R，S)-双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性自同构f，使得对于任意$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，均有

(ⅱ) φ是Tri(R，M，S)的一个反自同构当且仅当存在R到S的一个反同构φ_R、S到R的一个反同构φ_S、(R，S)-双半模M的一个(φ_R，φ_S)-半线性反自同构f，使得对于任意$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r&m\\ 0&s \end{array}} \right)$∈Tri(R，M，S)，均有