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近年来，含权Hardy不等式的研究吸引了大量学者的关注[1-2]，在齐次群上获得了一些改进后的Hardy不等式[3-4]. 针对于广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子，文献[5]利用Picone恒等式得到一类如下Hardy型不等式：若u∈C0∞(
$\mathbb{R}^{2 n+1}$ \{(0，0)})，1＜p＜Q，则其中：▽Lu，d分别为Heisenberg-Greiner向量场关于u的梯度和拟距离；Q=2n+2k是齐次维数(下文详细介绍). 特别地，当p=2，k=1时，(1)式即为文献[6]中结果. 文献[7]在有界集Ω⊂
$\mathbb{R}^{2 n+1}$ 且0∉Ω上得到了下列Hardy不等式：若1＜p＜+∞，则对任意u∈D1，p(Ω)，有其中ξ=(x，y，t)∈
$\mathbb{R}^{2 n+1}$ . 进一步，如果0∈Ω，则(2)式中常数$\left(\frac{|Q-p|}{p}\right)^{p}$ 最佳. 对于Kohn Laplacian算子，文献[8]建立了带有余项的Hardy不等式：若Ω⊂$\mathbb{H}^{n}$ ，0∈Ω，p≠Q，则对于u∈D01，p(Ω\{0})，R≥R0存在M0＞0，使得$\sup\limits_{x \in \mathit{\Omega }} d(x) \mathrm{e}^{\frac{1}{M_{0}}}=R_{0} < \infty$ ，有而且当2≤p＜Q时，可以得到
本文使用类似于文献[9]中的方法，利用散度定理，引入一类性质恰当的向量场，结合逼近的思想，推广了(1)，(2)和(3)式，得到了广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子的两类含权Hardy不等式，进一步给出了最佳常数的证明.
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广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子为一类具有高奇性的平方和退化椭圆算子[10]，被更多的学者所关注，并得到了许多重要的成果[11-12]. 其构成向量场(见下文)Xj，Yj(j=1，2，…，n)在k＞1时不满足Hörmander有限秩条件，从而它的亚椭圆性无法由此导出，增加了研究的难度[13-14]. 以下给出广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子的基本知识.
广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子形为
其中：▽L=(X1，…，Xn，Y1，…，Yn)，divL(u1，…，u2n)=
$\sum\limits_{j=1}^{n}$ (Xjuj+Yjun+j)，p＞1，这里Xj=$\frac{\partial}{\partial x_{j}}$ +2kyj|z|2k-2$\frac{\partial}{\partial t}$ ，Yj=$\frac{\partial}{\partial y_{j}}$ -2kxj|z|2k-2$\frac{\partial}{\partial t}$ ，zj=xj+$\sqrt{-1}$ yj∈$\mathbb{C}$ ，j=1，2，…，n，t∈$\mathbb{R}$ ，k≥1. 注意到，当p=2，k=1时，$\mathscr{L}_p$ 就成为Heisenberg群$\mathbb{H}^{n}$ 上的Kohn Laplacian算子Δ$\mathbb{H}^{n}$ [15]. 当p=2，k=2，3，…时，$\mathscr{L}_p$ 就成为Greiner算子[16]设ξ=(z，t)=(x，y，t)∈
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，相应于(4)式中$\mathscr{L}_p$ 的一个自然伸缩为与伸缩(5)式相应的齐次维数是Q=2n+2k. 由(5)式诱导的一个拟距离为
通过(6)式直接计算知道
另外，定义中心在{0}∈
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，半径为R的拟开球为BR(ξ)={ξ∈$\mathbb{R}^{2n+1}$ |d(ξ)＜R}.令C0k(
$\mathbb{R}^{2n+1}$ )表示Ck($\mathbb{R}^{2n+1}$ )中具有紧支集的函数构成的集合，D1，p(Ω)={u：Ω→$\mathbb{R}$ |u，|▽Lu|∈Lp(Ω)}，D01，p(Ω)是C0∞(Ω)在范数下的完备化，其中：Ω⊂
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，1＜p＜∞.
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定理1 设a，b∈
$\mathbb{R}$ 且a≠Q，b＞2-Q. 若1＜p＜∞，Ω⊂$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，d(ξ)在Ω上有界，则对于u∈C0∞(Ω\{0})，有当p≠Q，有
当0∈Ω，(8)，(9)，(10)和(11)式中的常数是最佳的.
证 由(7)式直接计算得到
在Ω上，引入C1类向量场
其中
$C=\frac{Q-a}{p}$ .结合(12)式有这样就得到
而对于u∈C0∞(Ω\{0})，有
也即
将(13)式代入(14)式的右边，利用(7)式得到(8)式.
在(8)式中，取a=2p，b=p得到(9)式；在(8)式中，取a=p，b=0得到(10)式；在(8)式中，取a=0，b=-p得到(11)式.
以下分两种情况证明(8)式中的常数是最佳的.
1) 若Ω=
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，对于任意ε＞0，取Cε：=(C+ε-1)，令计算可以得到
从而有
进一步取ε→0，得到(8)式中的常数是最佳的，从而(9)，(10)式及(11)式中的常数也是最佳的.
2) 若Ω⊂
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，已知(8)式中的常数可表示为由于(8)式在(5)式的伸缩δR下不变，所以对于R＞0，有
因此，当BR(ξ)⊂Ω⊂
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，有如果取ϕ∈C0∞(
$\mathbb{R}^{2n+1}$ )，Ω=BR(ξ)，由ϕ的紧性知道(8)式仍然成立. 考虑到当R足够大时，以及可得
结合(15)式，得到(8)式中的常数是最佳的，从而(9)，(10)及(11)式中的常数也是最佳的.
注1 在(8)式中取Ω=
$\mathbb{R}^{2n+1}$ ，a=p，b=p时，得到(1)式，且p的取值范围较文献[5]中结果宽泛.注2 在(8)式中取a=p，b=p时，得到(2)式.
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定理1 若1＜p＜∞，α≠Q，β＞2-Q，a，b∈
$\mathbb{R}$ ，则对于u∈C0∞(Ω\{0})，R≥R0，有特别地，在(16)式中取a=b=0，有下列带有余项的含权Hardy不等式
证 为方便证明(16)式成立，首先令
其中η(s)=
$-\frac{1}{\ln s}$ ，s∈(0，1)，A=$\frac{Q-\alpha}{p}$ . 这样，当$\sup\limits_{\xi \in \Omega} d(\xi) < R$ ，ξ∈Ω时，就会存在常数M＞0，使得从而当R足够大时，在Ω上有Λ0＞0，Λ1＞0.
若T1(s)=pAΛ1(s)+Λ2(s)=pA
$\left(1+\left(a+\frac{p-1}{p A}\right) s+b s^{2}\right)$ +$\left(a+\frac{p-1}{p A}\right)$ s2+2bs3，则若T2(s)=(1+as+bs2)
$-\frac{1}{p-1}$ ，则T2(s)在s=0处的Taylor展开式为若T3(s)=
$\left(1+\left(a+\frac{p-1}{p A}\right) s+b s^{2}\right)^{\frac{p}{p-1}}$ ，则T3(s)在s=0处的Taylor展开式为利用(18)，(19)及(20)式，得到
取H=
$A|A|^{p-2} \frac{\left|\nabla_{L} d\right|^{\beta-2} \nabla_{L} d}{d^{\alpha-1}} \mathit{\Lambda }_{1}$ ，有通过(21)，(22)式，得到
又由于
也即
将(23)式代入(24)式，利用(7)式，得到(16)式.
注1 在(17)式中取k=1，α=p，β=p时，得到(3)式.
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