Exploration of Link Prediction Via Hypergraph

SHE Meifu; WANG Yiwei; ZHANG Jianzhang; ZHAN Xiuxiu; LIU Chuang

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2023.08.006

As an extension of graphs, hypergraphs can represent relationships between multiple entities, making their expressive power much stronger than that of graphs, which has attracted attention and become a research hotspot. Link prediction, a common task in graph data mining, has also been extended as hyperlink prediction on hypergraphs. Hyperlink prediction estimates the likelihood of new hyperedges appearing based on known attributes of hyperedges or nodes, but due to the arbitrary number of nodes in hyperedges, the possible hyperedges can exponentially increase from(²) to(2), greatly increasing the complexity of the algorithm. In this paper, we use a down-sampling method to reduce the size of the candidate hyperedge set and extend the graph's random walk with restart algorithm to hypergraphs. In addition, we extend other metrics on the graph, such as CN, CE, and Jaccard index, to hypergraphs. The results show that the metric is significantly better than other metrics in precision and recall, and we observe that the internal connectivity of hyperedges in well-evolved hypergraphs increases with the number of nodes, indicating that the main difficulty in hyperlinks prediction lies in predicting small hyperedges.

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“关系”普遍存在于现实生活中的各实体之间，如人们之间的合作或社交、有机物之间的生化反应等. 数学上，人们习惯将上述各实体看作节点，实体间的关系看作节点对的连边，从而将其表达成统一而简洁的符号形式——图(亦称网络)，并辅之以严密的数学工具来分析和解决现有问题. 然而，相较于成对实体，现实中更多存在的是成群实体间的关系，如合作或社交小组、多个有机物共同参与的生化反应等. 边所连接节点的数量限制成为图表达能力的桎梏，使其只能展现成对实体之间的关系. 作为图的自然扩展，超图将边所连接的节点数量放松至任意，从而形成了不同于普通边的“超边”. 这种结构上的突破使得超图能呈现任意数量的实体间关系，进而获得大大强于普通图的表达能力. 超图在表达能力上的优势吸引人们的关注并日益成为研究热点.

在构建图的过程中，由于观测手段、数据丢失等问题，不能保证实体间所有存在的关系都已被描述. 随着图的演化，节点之间会产生新的关系，预测缺失或未来即将出现的超边被称之为超图的链路预测，为了与普通图的链路预测问题进行区分，将其简称为“超链路预测”. 由于关系的重要性，超链路预测日益成为人们的研究重点. 然而，超边大小的任意性导致人们在进行超链路预测时遇到了一些阻碍，首当其冲的便是候选超边数量的暴增. 具体来说，超边连接节点数量的放松导致候选超边数量的规模从O(n²)暴增至O(2ⁿ)，链路预测方法的输入节点数从固定值2变为任意值. 关于候选超边数量暴增的问题，对原始的候选超边集进行下采样是一个通用方法. Zhang等^[1]对原始的候选超边集按领域知识对各数据集进行采样，并定义了基于采样后的候选超边集的超链路预测问题. Patil等^[2]在完全随机采样和依超边大小分布采样的基础上，提出了基于motif和clique的抽样方法，并对这些方法所抽取的样本进行了可预测性研究. 另一种手段是根据启发式方法直接得到待预测超边的大小. Kumar等^[3]认为超边的产生应该遵循原始超图的结构规则，将原始超图的超边大小分布的采样值作为待预测超边的大小. Srinivasan等^[4]直接将大小的预测值嵌入生成对抗图中，利用对抗学习的机制来拟合最佳预测参数. 除候选超边数量暴增的问题外，超链路预测方法的输入节点数不固定也是一个棘手的问题，解决该问题的方式依赖于超链路预测方法本身的设计模式，偏重于机器学习、矩阵分解模型的方法通常会将待评分的候选超边编码成固定长度的特征向量，将其作为标准分类器的输入. 例如，Srinivasan等^[4]提出了一种新的特征聚合方法，该方法将节点与超边置于同等地位以进行对称式的卷积运算，证明了使用所提出方法进行特征学习，同一等价类的节点或超边之间有相同的特征表示，所学习到的特征在下游的链路预测任务上有着十分优异的表现. Yuan等^[5]提出一种基于张量的联合图嵌入方法，将成对链接和超链接同时编码到潜在空间上，该方法捕获并编码了高阶连接的依赖关系，并据此推断未观察到的超边. 而偏重于复杂图的方法则更加启发式地解决该问题，Benson等^[6]认为超边的相似性是所包含节点之间相似性的整体表现，提出了基于节点对计算候选超边相似性的一般方法. Kumar等^[3]则提出了一个迭代式算法，在每次迭代中进行寻找最优匹配节点并将所预测的超边大小作为迭代次数，最终输出符合预期的预测超边.

作为链路预测的延伸，人们会很自然地关注经典链路预测方法应用到超图上的可行性. 传统链路预测的理论已日趋成熟，诸如Lorrain^[7]、Ou^[8]、Katz^[9]、Liu^[10]等的方法足以覆盖大部分场景. 在长时间的探索后，人们普遍认为一个优秀的链路预测方法应具有这样的特征：在可解释性强、计算复杂度相对较低的情况下依然拥有较好的预测效果^[11]. 依托成熟的链路预测理论，将链路预测方法应用到超图环境下是一个很自然的想法. 然而，图与超图之间巨大的拓扑结构差异使得将此方法移植至超图上时举步维艰. 近年来有极少数的研究基于经典链路预测方法的思想去开发对应的超链路预测版本. Pan等^[12]延伸了普通图的环思想，在超图上定义了节点环路与超边环路，对不同长度的环路进行加权求和作为逻辑回归的输入，从而对各候选超边进行概率预测. Srinivasan等^[4]受传统链路预测领域内RA算法的影响，提出了HRA算法以用于超链路预测.

基于上述研究，在探索的起点上，本文讨论了一个经典链路预测方法——带重启的随机游走(random walk with restart，简称RWR)指标，如何扩展并应用于输入节点数可变的超链路预测场景中，以该方式为蓝本，扩展了其他传统链路预测指标，并以此作为基础方法. 引入了9个不同领域、不同规模的真实超图，并对这些超图的节点组进行抽样以生成部分基础方法的分数抽样分布，通过生成的抽样分布验证了所引入方法在解决超链路预测问题上的有效性，发现并解释了不同方法的分数分布在不同大小节点组上的差异. 然后，使用上述方法在所有真实超图上进行了标准的超链路预测实验，按照Zhang等^[1]所提及的方式进行下采样以减少候选超边数量. 结果表明，带重启的随机游走指标在精确率和召回率上要明显优于其他指标，虽然没有一个方法在接收者操作特征曲线下面积(AUC)性能上对所有数据集表现一致优越，但各方法分组AUC的性能变化曲线却与对应的分数分布变化类似，且均呈现出随节点组大小递增的惊人一致性. 上述所有结果都暗示着大超边内部节点的连接强度要远远大于小超边.

1. 问题定义

1.1. 超图

给定超图H=〈V，E〉，其中V={v₁，…，v_n}，是n个节点组成的节点集，E={e₁，…，e_m}，是由m个超边组成的超边集. 每一条超边e_j由若干个节点组成，表示节点之间的相互作用，用|e_j|表示超边e_j的大小，即其所包含的节点数. V的所有节点组合构成了该节点集的幂集2^V，取节点组e∈2^V，则e的大小可取值1，2，3，…，n. 因此有超图的超边集E⊂2^V. 数学上，使用关联矩阵B=(b_ij)_n×m表示超图，其行表示节点，列表示超边，当且仅当节点v_i属于(亦称关联)超边e_j时，对应元素b_ij=1，否则b_ij=0.

1.2. 超链路预测

对于上述超图，想象因“某种原因”使得部分超边丢失，导致其仅有部分超边能够被观察到. 则E被分为已观察超边集E^o(亦称正边集)和遗失超边集E^uo，且有E^uo=E\E^o，这些遗失超边与不能够形成超边的节点组(亦称负边集)混杂在一起组成了候选集D，记负边集合为Eⁿ，且有D=E^uo∪Eⁿ，Φ=E^uo∩Eⁿ. 基于此定义超图上的链路预测任务：利用正边集E^o，从候选集D中尽可能多地寻找到属于E^uo的边. 该任务等价于一个二分类问题，在实施过程中，首先利用链路预测方法对D中所有样本进行评分，根据评分结果设立一个阈值，将评分高于阈值的样本判定为正样本，否则为负样本.

1.3. 下采样

这里，候选样本集E^s的选取也值得讨论. 在超图链路预测的环境下，超边大小的任意性导致了候选集(所有未形成边的节点组)2^V\E^o的大小呈O(2^|V|)上升，即所谓的“极端类不平稳问题”(extreme class imbalance，简称ECI)^[2]. 从大量的候选边中寻找各个遗失超边无异于大海捞针. 为此，需要对候选集进行下采样以减小推断空间的大小. 而下采样所采样出的候选样本需要符合“实际情况”，这里将“实际情况”理解为候选样本的大小分布应该与已观察超边集合的大小分布一致^[2]. 为此，根据已观察超边集E^o的超边大小分布，对候选样本空间2^V\E^o进行下采样以生成候选样本集E^s，从而保证候选样本集E^s的大小分布与E^o一致.

2. 方法

超链路预测问题考虑的是超图中一组节点是否能形成超边，因此首先研究节点对之间的相似性. 本文提出用超图上带重启的随机游走来定义节点对之间的相似性，还拓展了基于普通图的一些节点对相似性方法来定义超图中节点对的相似性. 基于节点对的相似性再刻画节点组的相似性，以此作为超链路的预测方法.

2.1. 节点对的相似性

2.1.1. 带重启的随机游走指标

带重启的随机游走是链路预测里的一个经典方法，该方法基于图上的带重启随机游走，并将节点对之间的平稳互达概率作为链路预测分数^[11]. 为将上述指标扩展到超图，需要先定义超图上的随机游走. 假设游走者在时刻t(t=0，1，…)位于节点v_i，考虑一种无偏的情况，游走者首先随机游走到包含该节点的任意一条超边上，并在t+1时刻随机游走到关联该超边的节点v_j. 这里定义的超图随机游走可简单表述为上述过程的迭代. 该游走者在t到t+1期间，从节点v_i转移到节点v_j的概率为：

式(1)计算了从v_i到v_j的单步转移概率，其前一项和后一项分别描述了“游走到超边”和“游走到节点”的过程. 由于超图中有n个节点，相应地有n²个单步转移概率，将这些概率值组织成概率转移矩阵P=(p_ij)_n×n. 依式(1)可将该矩阵进行分解：

$\boldsymbol{D}_{v E} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{D}_{e V} \in \mathbb{R}^{m \times m}$，均为对角阵，对角线元素分别为各节点所关联的超边数和各超边所包含的节点数.

定义状态向量$\boldsymbol{\pi}_t^i \in \mathbb{R}^{n \times 1}$，其第j个元素π_tⁱ[j]表示初始时游走者在节点v_i，经过t步随机游走后位于节点v_j的概率. 显然，该向量表示了一个随机分布，满足$\sum\limits_{k = 1}^n {\boldsymbol{\pi} _t^i} [k] = 1$. 由于初始时游走者具有确定的位置状态v_i，初始状态向量π₀ⁱ的第i个元素为1，其余元素均为0. 由式(3)所述的状态转移方程描述了相邻时刻状态向量之间的关系：

需要注意的是，并未限制在每一步随机游走的过程中游走者不能跳回上一步节点，这是为了使状态转移矩阵P能分解为式(2)所示的矩阵运算. 在此基础上添加重启机制，即在每步游走时，有一定可能跳回到初始节点v_i，跳回概率为c(0＜c＜1). 则状态转移方程可调整为：

当随机游走过程进入稳态时，其状态向量保持不变，记π_∞ⁱ为平稳状态向量，此时π_t+1ⁱ=π_tⁱ=π_∞ⁱ，代入式(4)可解得：

因此，可以定义节点对v_i，v_j的平稳解RWR分数：

式(6)将随机游走者从初始节点v_i出发并到达v_j的平稳概率作为节点对的相似性分数，其大小表征了从v_i到v_j的可达性，内在编码了超图的拓扑结构. 很明显，该分数并不具有对称性，即RWR(v_i，v_j)≠RWR(v_j，v_i).

2.1.2. 基础方法扩展

受普通图链路预测方法和已有超图研究的启发，本文设计了一些超图上刻画节点对相似性的方法，以下列举这些基础方法基于节点对输入的定义.

1) 共同邻居指标(Common Neighbors，简称CN). 共同邻居指标是传统链路预测中最简单也是最经典的指标. 该指标基于“共同邻居越多的节点对越相似”这一思想，计算公式为^[13]：

式中N_{v_i}是节点v_i的邻居集合，在超图中，它是指与节点v_i共存于同一超边内的其他所有节点.

2) 共存超边指标(Coexist Edge，简称CE). 不同于普通图，在超图环境中，由于边大小的任意性，两个节点往往会被多个超边同时包含. 统计包含节点对的超边个数便得到共存超边指标，其计算公式为：

式中E_{v_i}是包含节点v_i的超边集合.

3) Jaccard指标(简称JC). Jaccard指标^[14]最初用来计算两集合之间的相似性. 在超图中，用该指标计算节点对之间的相似性定义如下：

4) Adamic-Adar指标(简称AA). Adamic-Adar指标^[15]在CN的基础上考虑了共同邻居的权重，权重是共同邻居的邻居数对数的倒数. 在超图中，对于节点，可以将共存于同一超边的其他节点看作“点邻居”，将节点所关联的超边看作“边邻居”. 对于超边，可以将所包含的节点看作点邻居，将具有共同关联节点(即相交)的超边看作边邻居. 由于邻居可分为点邻居和边邻居，点邻居、边邻居的不同组合对应4种不同的AA指标，分别为VV_AA、VE_AA、EV_AA、EE_AA. 计算公式如下：

指标名称的第一个和第二个字母分别代表共同邻居和共同邻居的邻居的性质. 例如，VE_AA表示节点对的共同邻居为“点邻居”，而共同邻居的邻居为“边邻居”，也即计算与节点对均为邻居的节点权重，权重由该邻居所关联的超边数量计算所得. k_vV(z)、k_vE(z)统计了节点z的邻居节点个数和关联超边个数，而k_eV(z)、k_eE(z)则统计了超边z所包含的节点个数及超边z所相交的超边个数，一般将k_vE和k_eV看作节点和超边的度^[16].

5) α阶局部游走指标. α阶局部游走指标定义在游走的基础之上，将节点对之间α阶游走的数量作为分数. 在普通图中，形如v_i₀，v_i₁，…，v_iα-1这样，节点个数为α且相邻节点在图中互为邻居的节点序列被称之为一次α阶游走. 扩展到超图上^[17]，超图上的一次α阶游走可定义为一个节点、超边交替出现的序列：

其长度等于α，即超边出现的次数. 同样，序列中的相邻元素在对应超图中相互关联. 节点对之间的α阶游走数量，即α阶局部游走指标可表示为：

2.2. 节点组的相似性

上述所提及方法均只计算了超图内节点对的相似性，现在将其适用范围扩展至节点组. 给定超链路预测方法f及超图H=〈V，E〉，对于节点对v_i，v_j∈V，其输出分数为f_H(v_i，v_j)，记节点组ẽ∈2^V\V，则对应的超链路预测分数由式(13)给出：

该式首先计算了每个节点对的连接强度，并将所有节点对的连接强度的算术平均值作为边缘密度. 例如，ẽ的RWR分数可计算为：

在社交领域，式(14)所蕴含的思想直观且有效：若一组成员之间两两关系亲密，那么他们更有可能组成一个团体.

4. 总结与展望

本文给出了将链路预测方法扩展到超图环境的一般方式，并基于此方式扩展了11种方法. 对所扩展的方法在真实超图上进行分数抽样并生成了对应的分数抽样分布，验证了扩展方法的有效性，发现了不同数据集的超边演化规律，认为演化良好的超图其超边内部的联系强度随节点数增加而增加，由此推论超链接预测的主要难点在于对小尺寸超边的预测. 然后，将所扩展方法直接应用于真实超图的超链路预测，链路预测结果表明，不同方法适用于不同的超图环境，但在局部精确率和召回率上，RWR有着更好的性能. 还根据节点组大小对预测效果分别进行评估，结果表明在同一数据集内，扩展方法的性能随着节点组节点数的增加而增加.

在未来的研究中，希望引入除式(13)外更多的扩展方式以达到性能的进一步提升. 对于具体的链路预测方法，在普通链路预测指标的基础上，希望加入更多超图独有的高阶性质，如“宽度”^[17]、“高阶随机游走”^[27]等，另外，更希望所设计的方法能有效地应对当前方法在预测小尺寸超边上的无力. 最后，关于超边下采样算法的讨论正如火如荼^{[2, 28-29]}，期待在未来，使用最新的下采样算法所得到更加“仿真”的负样本能更好地评估方法的性能.

Figure (6) Table (3) Reference (29)

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