On Estimation of Heavy Tail Parameters at Different Observation Points

设X₁(s_j)，X₂(s_j)，…，X_n(s_j)是来自离散时间点0=s₀ < s₁ < … < s_m的样本观测值，并且X₁(s_j)，X₂(s_j)，…，X_n(s_j)为独立同分布随机变量序列，公共分布函数为F_sj(x). X_1，n(s_j)≤X_2，n(s_j)≤…≤X_n，n(s_j)为X₁(s_j)，X₂(s_j)，…，X_n(s_j)的顺序统计量.假设1-F₀∈RV_{-$\frac{1}{\gamma }$}，γ>0，

对极值指数γ和参数c的估计有其理论及应用价值.对γ的估计有Hill型估计及文献[1]提出的位置不变的Hill型估计：

对参数c，文献[2]得到了如下的最小二乘估计量：

并应用于极端降雨模型，其中$\mathop \gamma \limits^ \wedge $_n，k为γ的Hill型估计量.

基于文献[1]和文献[2]的工作，本文提出参数(γ，c)的位置不变估计量(γ_n^H(k₀，k)，$\mathop c\limits^ \wedge $_n(k₀，k))并研究其渐近性质.其中γ_n^H(k₀，k)由(2)式给出，$\mathop c\limits^ \wedge $_n(k₀，k)定义如下：

当n→∞时，k，k₀满足

定理1 假设1-F∈RV_{-$\frac{1}{\gamma }$}，γ>0及(1)式成立.则在(5)式的条件下，$\mathop c\limits^ \wedge $_n(k₀，k)$\xrightarrow{P}$c.

证 设Y₁，…，Y_n为服从标准帕累托分布F_Y(y)=1-$\frac{1}{\gamma }$(y≥1)的独立同分布的随机变量，Y_1，n≤Y_2，n≤…≤Y_n，n为其顺序统计量，U_sj(t)：=${\left( {\frac{1}{{1-{F_{{s_j}}}}}} \right)^ \leftarrow }$，则

(证明参见文献[5]推论2.2.2).

由(3)式可得

由文献[1]引理2.1知

从而$\mathop C\limits^ \wedge $_n(k₀，k)$\xrightarrow{P}$c.

讨论当x>0时(γ_n^H(k₀，k)，$\mathop c\limits^ \wedge $_n(k₀，k))$\xrightarrow{P}$(γ，c)的渐近分布，需要二阶条件：

及二阶强化条件

其中lim_t→∞β₀(t)=0，|β₀(t)|∈RV_ρ，ρ≤0.

引理1 如果(10)式和(11)式成立，则

其中β_sj(t)：=e^cρs_jβ₀(t)，j=1，2，…，m.

证 由于|β_sj(t)|∈RV_ρ，因此$\underset{t\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, $$\frac{{{\beta _0}\left( {tx} \right)}}{{{\beta _0}\left( t \right)}}$=x^ρ.则由(11)式可得

定义β_sj(t)=β₀(t)e^cρs_j，则结论得证.

定理2 若k=k(n)，k₀=k₀(k)满足(5)式，U_sj=U_sj(t)：= ${\left( {\frac{1}{{1-{F_{{s_j}}}}}} \right)^ \leftarrow }$满足二阶正规变化条件(12)式及二阶强化条件(11)式，则

其中P_n服从渐近标准正态分布，且d₃=$\frac{c}{{1 + \gamma }}$，d₄=$\frac{c}{{\left( {1 + \rho } \right)\gamma }}\frac{1}{m}\sum\nolimits_{j = 1}^m {{{\rm{e}}^{c\rho {s_j}}}-\frac{1}{{\gamma \sum\nolimits_{j = 1}^m {s_j^2} }}\sum\nolimits_{j = 1}^m {{s_j}\frac{{{{\rm{e}}^{c\rho {s_j}-1}}}}{\rho }} } $.

证 由(5)式可得

为了便于计算我们单独考虑${\rm{log}}\frac{{{X_{n-{k_0}, n}}\left( {{s_j}} \right)-{X_{n-k, n}}\left( {{s_j}} \right)}}{{{X_{n - {k_0}, n}}\left( 0 \right) - {X_{n - k, n}}\left( 0 \right)}}$，由(7)式可得

注意到β_sj(t)=e^cρs_jβ_s0(t)，并且$\frac{k}{n}$Y_n-k，n$\xrightarrow{P}$1，$\frac{{{k}_{0}}}{n}$Y_n-k0，n$\xrightarrow{P}$1，则

故

由于γ与s_j无关，我们使用线性均值估计量

来代表$\mathop \gamma \limits^ \wedge $_n^H(k₀，k)，其中d₁=$\frac{\gamma }{1+\gamma }$，d₂= $\frac{1}{1-\rho }\frac{1}{m}\sum\nolimits_{j=1}^{m}{{{\text{e}}^{c\rho {{s}_{j}}}}}$(参见文献[1]定理2.1).因此

则结论得证.

定理3 若(13)式和(14)式成立，且k₀^{$\frac{1}{2}$+γ}k^-γ→λ₁，k₀^{$\frac{1}{2}$-ρ}k^ρβ₀$\left( \frac{n}{k} \right)$→λ₂，则

其中

证 在k₀^{$\frac{1}{2}$+γ}k^-γ$\xrightarrow{P}$λ₁，k₀^{$\frac{1}{2}$-ρ}k^ρβ₀$\left( {\frac{n}{k}} \right)$$\xrightarrow{P}$λ₂的条件下，由(13)式可得

同理可得

对于任意的非零实数l₁和l₂，

其中：μ=(l₁d₁-l₂d₃)λ₁+(l₁d₂+l2d₄)λ₂，σ²=(l₁γ-l₂c)².

由多元正态分布的性质可知$\sqrt {{k_0}} $($\mathop \gamma \limits^ \wedge $_n^H(k₀，k)-γ，$\mathop c\limits^ \wedge $_n(k₀，k)-c)服从二元正态分布$N\left( {\left( \begin{array}{l} {\mu _1}\\ {\mu _2} \end{array} \right), \sum {} } \right)$，其中

则结论得证.