Existence of a Positive Ground State Solution for a Class of Asymptotically 3-Linear Kirchhoff-TypeEquations

本文主要考虑如下Kirchhoff方程：

其中Ω为$ \mathbb{R}^{3}$中的有界区域，a，b，λ，μ>0，2 < q < 4.在一定条件下，我们利用极小作用原理得到了一个正的基态解.

我们知道，Kirchhoff型方程最早由文献[1]提出.该方程是D’Alembert波方程的拓展与延伸.最近几年来，下面临界的Kirchhoff型方程解的存在性以及多重性引起了人们的广泛关注：

当N=3，μ=1，f(x，u)=|u|^q-2u时，文献[2-3]研究了Kirchhoff方程正解的存在性和多重性.文献[2]研究了1 < q < 2的情况，并利用Nehari流形和Ekeland变分原理，证明了存在一个仅依赖于a的T₄(a)>0，当a>0，0 < λ < T₄(a)时，方程至少有1个正解.文献[3]研究了b足够小，1 < q < 2的情况，利用集中紧性原理得到2个正解，其中一个为基态解.

当N=4，f(x，u)=|u|^q-2u时，文献[4]研究了2≤q＜4的情况，在相应的条件下，利用变分方法和集中紧性原理得出了一个解.

文献[5]研究了方程(1)当1 < q < 2时解的情况，并得出相应的结论.

受到以上结论的启发，我们考虑当2 < q < 4时方程(1)解的情况.我们用λ₁表示方程

的第一特征值，由文献[6]我们知道λ₁>0，并得出如下的定理：

定理1   如果a≥0，b>0，2 < q < 4，则存在μ₀，使得当0 < λ < bλ₁时，对任意的μ>μ₀，方程(1)有一个正的基态解，其中$\mu_{0}=\frac{q S^{\frac{q}{2}}\left(\frac{\lambda}{a \lambda_{1}}\right)^{\frac{q}{2}}}{|\Omega|^{\frac{6-q}{6}} g(R)} $.

注1   众所周知，当a=0，b>0时，方程(1)被称为退化的Kirchhoff型方程.根据后文定理1的证明，可以知道存在一个μ₀，使得当0 < λ < bλ₁时，对任意的μ>μ₀，方程(1)有一个正的基态解.本文是对文献[5]的补充.

一般地，我们记Sobolev空间H₀¹(Ω)中的范数为

测度空间L^p(Ω)中的范数为

我们知道$H_0^1(\Omega )↺{L^p}(\Omega )(1 \le p \le 6) $是连续的，当1≤p < 6时嵌入是紧的.令S为最佳Sobolev常数，即

对任意的u∈H₀¹(Ω)，定义

如果u∈H₀¹(Ω)，且对任意的ϕ∈H₀¹(Ω)，都有

则我们称u为方程(1)的弱解.我们将用极小作用原理得出方程(1)的一个正基态解.其它符号和术语参见文献[7-11].

引理1   能量泛函I在H₀¹(Ω)中强制且下方有界.我们定义$ m=\inf\limits _{u \in H_{0}^{1}(\Omega)} I(u)$，则m < 0.

证   由已知条件我们知道0 < λ < bλ₁，根据Poincaré不等式可以得到

对于每一个0 < λ < bλ₁，根据Hölder不等式以及Sobolev不等式，有

因为2 < q < 4，0 < λ < bλ₁，所以对任意的μ>μ₀，能量泛函I在H₀¹(Ω)中强制且下方有界.因此

是定义良好的.另一方面

令$g(t)=\frac{a}{2} t^{2}-\frac{\lambda}{4 \lambda_{1}} t^{4} $，则存在常数$R=\left(\frac{a \lambda_{1}}{\lambda}\right)^{\frac{1}{2}} $，使得

令$\mu_{0}=\frac{q S^{\frac{q}{2}}\left(\frac{\lambda}{a \lambda_{1}}\right)^{\frac{q}{2}}}{|\Omega|^{\frac{6-q}{6}}} g(R) $，当μ>μ₀时，经过计算可得m < 0.

定理1的证明   根据m的定义，存在一个极小化序列$ \left\{u_{n}\right\} \subset H_{0}^{1}(\Omega)$，使得$ \lim\limits _{n \rightarrow \infty} I\left(u_{n}\right)=m<0$.因为I(|u_n|)=I(u_n)，所以可以直接假设u_n≥0对于Ω中的几乎每一个x都成立.这个时候可以取一个子列，仍然用{u_n}来表示，则当n→∞时，存在一个u_*≥0，满足

首先，可以断言u_n→u_*在H₀¹(Ω)中成立.一般地，我们令ω_n=u_n-u_*，只需要证明当n→∞时，‖ω_n‖0.令$l=\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left\|\omega_{n}\right\| $.从(3)式可以得到：

因此，从(4)-(7)式，我们可以得到

当n→∞时，如果l≡0，则在H₀¹(Ω)中u_n→u_*.如果l>0，我们可以推断出I(u_*) < m，这就和m的定义相矛盾.因此l≡0.也就是说我们的论断成立，并且I(u_*)=m.

接下来要证明u_*是方程(1)的解.

明显地，因为I(u_*)=m < 0，我们可以得到在Ω中u_*(x)≢0.又因$I\left(u_{*}\right)=\inf\limits _{u \in H_{0}^{1}(\Omega)} I(u) $，因此对于所有的ϕ∈H₀¹(Ω)以及$t \in \mathbb{R} $，我们有

同样地，该不等式对任意的-ϕ也成立，因此

对所有的ϕ∈H₀¹(Ω)都成立，所以u_*的确是方程(1)的一个解.

最后，我们可以断言u_*是正基态解.事实上，取ϕ=u_*，从(8)式可以得到

因为u_*≥0且u_*≢0，由强极大值原理，我们可以得到

整理后可以得到$ I\left(u_{*}\right)=m=\inf\limits _{u \in H_{0}^{1}(\Omega)} I(u)$，因此u_*是方程(1)的正基态解.