Convergence Analysis of a Cascadic Multigrid Algorithm Combined with Quadratic Finite Element Method

考虑带Dirichlet边界条件的二维椭圆型偏微分方程：

其中α(x，y)，β(x，y)，f(x，y)为给定的函数且满足∀(x₀，y₀)∈Ω，α(x₀，y₀)>0，β(x₀，y₀)≥0.如果α(x，y)≡1，β(x，y)≡0，模型(1)为泊松方程；如果α(x，y)≡1，β(x，y)≡f(x，y)≡0，模型(1)为拉普拉斯方程.

使用一致网格剖分Ω，可得不同步长$ h_{j}=\frac{h_{M}}{2^{M-j}}(j=1, 2, \cdots, M)$下的一系列离散化网格Ω_j，易知Ω₁，Ω_M分别为最细、最粗网格层.使用二次有限元在网格Ω_j上离散模型问题(1)，可得对应的离散化方程组

其中：A_j为对称正定稀疏矩阵，F_j为右端列向量，u_j为未知解向量.

文献[6]提出，在线性有限元离散网格中，将相邻的几个单元组合成一个大单元，进而构造一个二次插值算子，用于给相邻细层提供一个好的初始值，能在一定程度上加快瀑布型多重网格法的收敛速度.借鉴文献[6]的思想，直接使用每个二次三角形单元的6个节点(3个顶点、3个中点)的信息，无需合并相邻单元，即可构造网格Ω_j上的基于每个单元的二次插值算子Ψ_j²，且满足

1) ‖v-Ψ_j²v‖≤Ch_j^r-l+1‖v‖_r+1，1≤r≤2，v∈H^r+1(Ω)，l=0，1.

2) ‖v-Ψ_j²v‖_l≤c‖v‖_l，v∈V_j，l=0，1，j=1，2，…，M.

类似于文献[6]的思路，使用二次插值算子Ψ_j²为相邻细层网格提供初始值，可构造求解方程组(2)的瀑布型多重网格法(SECMG).

算法1  瀑布型多重网格法(SECMG)

步骤1  精确求解最粗网格层方程A_Mu_M=F_M，得u_M^*；

步骤2  对j=M-1，…，2，1

(a) 插值得到第j层的初始值u_j⁰：=Ψ_j+1²u_j+1^*；

(b) 对u_j⁰使用CG(共轭迭代法)磨光m_j次，u_j^m_j：=CG(u_j⁰，m_j)；

(c) 令u_j^*：=u_j^m_j.

其中m_j表示第j层网格上的磨光步数^[2].

在讨论算法1的收敛性之前，先引入如下引理.

引理1^[10]  对任意v∈V_j，有

引理2^[6]  令C_j：V_j→V_j表示在第j层上的迭代算子，并定义线性算子K_j：V_j→V_j，使得

算子K_j具有如下性质：

其中：m_j表示第j层的迭代次数，r是与所采用的迭代方法有关的常数.本文采用共轭梯度法(CG)迭代，对应于r=1.

引理3^[11-13]  设u为问题(1)的解，u_j和I_j分别为u在第j层上的有限元解和有限元插值，有以下超收敛性：

引理4^[14]  设V_h，2是二次三角形单纯形元所对应的有限元空间，则对任意f∈L²(Ω)，问题(1)有唯一解u_h，并且$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {\left\| {\mathit{\boldsymbol{u}} - {\mathit{\boldsymbol{u}}_h}} \right\|_{1, \mathit{\Omega }}} = 0$.当u∈H₀¹(Ω)∩H³(Ω)时，有

引理5  在引理4的条件上，有

证  由‖u-u_h‖₀≤‖u-u_h‖₁，|u|₃≤‖u‖₃，结合引理4即可证得‖u-u_h‖_0，Ω≤h²‖u‖_3，Ω.证毕.

在上述引理的基础上，给出如下定理及证明过程.

定理1  若u∈H₀¹(Ω)∩H³(Ω)，对算法1有

证

下面对(3)式展开讨论.

由

和引理5可得

由引理2可得

综上可得

利用递归关系

可得

证毕.

为了验证本文算法的有效性，给出如下数值算例.

例1  考虑区域Ω：[0, 1]×[0, 1]上的泊松方程

其Dirichlet边界条件和右端源函数f(x，y)取决于真解

例2  考虑区域Ω：[0, 1]×[0, 1]上的带变系数椭圆型方程

其中α(x，y)=e^xy+2，β(x，y)=1，Dirichlet边界条件和右端源函数f(x，y)取决于真解

为便于比较，记通常的瀑布型多重网格法为CMG，其插值算子为线性插值，磨光算子为CG迭代.取M=2，并约定G表示最细层网格规模；I表示最细层上的磨光步数；E表示问题真解u与算法求得的近似解u₁^*的能量范数误差|||u-u₁^*|||；t表示计算时间.算例的数值结果见表 1，2.

从表 1，2可以看出，与算法(CMG)相比，SECMG法虽然在计算时间方面要稍多些，但在计算精度方面具有一定的优势，计算精度要高一个量级，验证了本文算法的有效性.