The S-Quasinormally Embedded Subgroups and <i>p</i>-Nilpotency of Finite Groups

Yuan YUAN; Kang TANG; Jian-jun LIU

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.001

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A subgroup H of a group G is said to be S-quasinormally embedded in G, if every Sylow subgroup of H is also a Sylow subgroup of some S-quasinorml subgroup of G. In this paper, a sufficient condition for p-nilpotent groups have been obtained based on the assumption that some subgroups are S-quasinormal embedded. Our theorem is a generalization of the known results.

Corresponding author: Jian-jun LIU

Received Date: 10/07/2019

Available Online: 20/06/2020

Key words:

Abstract: A subgroup H of a group G is said to be S-quasinormally embedded in G, if every Sylow subgroup of H is also a Sylow subgroup of some S-quasinorml subgroup of G. In this paper, a sufficient condition for p-nilpotent groups have been obtained based on the assumption that some subgroups are S-quasinormal embedded. Our theorem is a generalization of the known results.

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本文所涉及的群均为有限群. Sylow子群的正规化子在有限群的研究中扮演着十分重要的角色.假定P是有限群G的Sylow子群，N_G(P)如何影响有限群的结构?许多学者对其进行了研究，并获得了丰富的结果.比如著名的Burnside定理^[1]：

定理1^[1]  假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果P包含在N_G(P)的中心中，则G是p-幂零群.

文献[2]对文献[1]的结果进行了推广，得到：

定理2^[2]  假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果N_G(P)是p-幂零的，且P的幂零类不大于p，即P≤Z_p-1(P)，则G是p-幂零的.

在这之后，许多学者对文献[2]的结果进行了推广(参见文献[3-9]).

文献[10]首次引入了S-拟正规的概念：设H是群G的子群.如果对于G的任意Sylow子群P，都有HP=PH，则称H为G的S-拟正规子群.如果对H的阶中的每一个素因子p，H的Sylow p-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylow p-子群，则称H在G中为S-拟正规嵌入的.这个概念由文献[11]引入，它对群的结构有着重要的影响，许多学者对此进行了研究.本文主要通过假定群G的Sylow子群P在G的正规化子N_G(P)是p-幂零的及P中子群的S-拟正规嵌入性来研究有限群的p-幂零性，推广了前人的一些结果.

本文所涉及的所有术语和符号都是标准的，见文献[1].

定义1^[11]  如果对H的阶中的每一个素因子p，H的Sylow p-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylow p-子群，则称H在群G中为S-拟正规嵌入的.

引理1^[11]  设H在群G中为S-拟正规嵌入的，则下列结论成立：

(ⅰ)如果H≤M≤G，那么H在M中是S-拟正规嵌入的；

(ⅱ)如果N_G，那么HN/N在G/N中是S-拟正规嵌入的.

引理2^{[10, 12]}  如果H是群G的S-拟正规子群，则下列结论成立：

(ⅰ) H__G；

(ⅱ) H/H_G是幂零的；

(ⅲ)如果H是G的p-子群，则N_G(H)≥O^p(G).

定理3  假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果N_G(P)是p-幂零的，P中存在一个包含在Φ(P)中的正规子群P₁，使得P₁在G中是S-拟正规嵌入的，且P/P₁的幂零类不大于p，即P/P₁≤Z_p-1(P/P₁)，则G是p-幂零的.

证  假设定理结论不成立，且设G为极小阶反例.我们按下列步骤证明：

步骤1  P₁是非平凡的，且G不是单群.

如果G是单群，则G中存在一个S-拟正规子群K，使得P₁是K的Sylow p-子群.由引理2知，K__G，这导致P₁=1.根据定理2的结果知，G是p-幂零的，矛盾.

步骤2  O_p′(G)=1.

如果O_p′(G)≠1.根据引理1，G/O_p′(G)满足定理3的条件.因此，由G的极小性，G/O_p′(G)是p-幂零的，从而G是p-幂零的，矛盾.

步骤3  若P≤H < G，则H是p-幂零的.

显然N_H(P)=N_G(P)∩H≤N_G(P).由引理1知，P₁在H中是S-拟正规嵌入的.因此H满足定理3的假设，从而由G的极小性知H是p-幂零的.

步骤4  设N是G的极小正规子群，则G/N是p-幂零群.进一步，N是G的唯一极小正规子群且Φ(G)=1.

显然N_G(P)=$\overline {{N_G}(P)} $是p-幂零的.由引理1知，G/N满足定理3的假设，由G的极小性得到G/N是p-幂零的.若G有两个极小正规子群N₁和N₂，则G/N₁和G/N₂都是p-幂零的，从而G/(N₁∩N₂)$\cong$G也是p-幂零的，矛盾.因此G有唯一的极小正规子群N.若N≤Φ(G)，则G/Φ(G)是p-幂零的.这意味着G是p-幂零的，矛盾于G的极小性.因此Φ(G)=1.

步骤5  P₁∩N < N.

如果P₁∩N=N，则N≤P₁≤Φ(P)，这意味着N≤Φ(G)=1，矛盾.

步骤6  O_p(G)=1且N不是p-幂零的.

如果O_p(G)≠1，则由步骤4知N≤O_p(G).我们分为以下几步来证明步骤6：

步骤6.1  N=O_p(G).

由步骤4，存在G的极大子群M，使得G=MN.由于N是初等交换的，所以N∩M_G.再由N的极小性得M∩N=1.易得

而Φ(O_p(G))≤Φ(G)=1，这表明O_p(G)交换.因此O_p(G)∩M_G. N的极小性及唯一性意味着O_p(G)∩M=1.通过阶的比较可知N=O_p(G).

步骤6.2  P₁∩N=1.

因为P₁在G中是S-拟正规嵌入的，所以G中存在S-拟正规子群K，使得P₁是K的Sylow p-子群.如果K_G≠1，则由步骤6.1及步骤4知N≤K_G≤K.这说明N≤P₁，与步骤5矛盾.因此，K_G=1.由引理2可得K是幂零的.再由文献[12]的定理1.2.7，P₁是G的S-拟正规子群.又根据文献[12]的定理1.2.19，P₁∩N是G的S-拟正规子群.应用引理2，得到

这表明P₁∩N_G.步骤5说明了P₁∩N=1.

步骤6.3  N≤Z_p-1(P).

令P=P/P₁且N=NP₁/P₁，我们有

因为N是G的正规子群，所以

这表明N≤Z_p-1(P).

步骤6.4  完成步骤6的证明.

令L是G的Hall p′-子群，则由G/N的p-幂零性得LN_G.因为G/LN是p-群，所以O^p(G)≤LN.由此可得

根据文献[8]的引理2.2，G是p-幂零的，矛盾.

步骤7  P₁∩N=1.

因为P₁在G中是S-拟正规嵌入的，所以G中存在S-拟正规子群K，使得P₁是K的Sylow p-子群.如果K_G≠1，则由步骤4知N≤K_G≤K.又由步骤3有PK_G=G.这意味着P₁∩N≤Φ(P)，再由文献[13]的结果得N是p-幂零的，矛盾.因此，K_G=1.所以P₁∩N_G.步骤5与N的极小性说明了P₁∩N=1.

步骤8  最后的矛盾.

令N_p是N的Sylow p-子群，则N_G(N_p) < G且P≤N_G(N_p).由步骤3，N_G(N_p)是p-幂零的.又由步骤7，可得

所以N_p的幂零类不大于p.根据定理2得N是p-幂零的，这与步骤6矛盾.

推论1  假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果N_G(P)是p-幂零的，且P′在G中是S-拟正规嵌入的，则G是p-幂零的.

证  由假定，P′在G中是S-拟正规嵌入的.因为P′≤Φ(P)，且P/P′是交换的，所以根据定理3可得G是p-幂零的.

推论2^[14]  假定p是G的阶的最小素因子，且P是G的Sylow p-子群.如果P的每个极大子群都在N_G(P)中是S-拟正规嵌入的，且P′在G中是S-拟正规嵌入的，则G是p-幂零的.

证  由引理1及文献[15]可得N_G(P)是p-幂零的.又由推论1可证推论2.

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