-
非线性微分方程奇摄动问题在生态环境、大气物理、反应扩散、化学反应等自然科学领域中有很广泛的应用[1-3]，因此非线性奇摄动方程的求解问题成为热门的研究课题.在自然界中，有些奇摄动问题涉及到双参数的边值问题，双参数奇摄动问题较单参数奇摄动问题情况复杂，对于双参数奇摄动问题，学者们也做了不少的工作[4-9].值得注意的是，这些工作主要集中在分离型的边界条件.受文献[4-7]的启发，本文运用合成展开法和微分不等式理论对一类具非线性混合边值条件的四阶非线性方程的双参数奇摄动问题解的结构作了较为全面的讨论，得到相应结果.考虑如下非线性混合边值条件的双参数奇摄动问题
其中：a < b < c；B0，B1为常数；ε和μ是小的正参数.
本文总假设：
(H1) 退化问题
在t∈[a，c]上存在充分光滑的解U=U(t).
(H2) 函数f(t，y，y′，y″，y''')，g(y1，y2，y3，ρ)，h(y1，y2，y3，θ)关于其变元在相应的区域内充分光滑，且各变量的各阶偏导都有界.gy2≤0，gy3≤0，gρ < 0，hy1≤0，hy2≤0，hθ>0，且存在正常数k，l0，l1，δ0，δ1，δ2使得
(H3) 由
可求出z1；由
可求出z2.
现对小参数ε和μ讨论如下3种情形：
1)
$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$ ;2)
$\varepsilon = {\mu ^2}, \mu \to 0$ ;3)
$\frac{{{u^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$ .
HTML
-
定义1[10] 若α(t)，β(t)∈C4[a，c]，满足α″(t)≤β″(t)，t∈[a，c]，且当t∈[a，c]，y介于α(t)，β(t)之间以及y′介于α′(t)，β′(t)之间时满足如下不等式：
则分别称β(t)，α(t)为方程y(4)=f(t，y，y′，y″，y''')的上下解.
定义2[10] 若f(t，y，y′，y″，y''')在D=D1∪D2上有定义且满足
其中h(s)是定义在(0，+∞)上的正单调不减函数，满足
其中λ为正常数且
则称f(t，y，y′，y″，y''')在D上关于y'''满足Nagumo条件，其中
引理1[10] 若边值问题
其中a < b < c，满足如下条件：
(i) 具有下解α(t)与上解β(t)，使得
(ii) f(t，y，y′，y″，y''')在D上连续且关于y'''满足Nagumo条件.
(iii) g(y1，y2，y3，ρ)在=[α″(a)，β″(a)]×[α″(b)，β″(b)]×[α″(c)，β″(c)]×[－N，N] 上连续且关于y2，y3，ρ单调不增；h(y1，y2，y3，θ)在上连续且关于y1，y2单调不增，关于θ单调不减，则边值(6)-(10)存在解y(t)∈C4[a，c]，满足
注1 在上述引理条件下，易证
-
情形1 当
$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$ 时形式渐近解的构造.令
${\varepsilon _1} = \mu, {\varepsilon _2} = \frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}}$ ，则方程(1)转化为：设外部解的形式渐近式为
则可得
以及
其中Fi，j(t)是由Ys，q，Y′s，q，Y″s，q，Y'''s，q，Ys，q(4)(s+q < i+j)依次确定的函数，特别地F0，1(t)=0，由(11)-(16)式结合假设[H1]可依次确定Yi，j(t).
令
其中
${\tau _1} = \frac{{t - a}}{{{\varepsilon _1}}}$ 为伸长变量，且具有性质
则有
其中
${\tilde F_{i, j}}\left({{\tau _1}} \right)$ 是τ1，μs，q(s+q < i+j)及其各阶导数的多项式函数.令
其中
${\tau _2} = \frac{{c - t}}{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}}}$ 为伸长变量，且其具有性质
则有
其中Fi，j(τ2)是关于τ2，νs，q(s+q < i+j)及其各阶导数的多项式函数.
为了确定
${\hat \mu}$ i，j(τ1)，νi，j(τ2)所确定的定解条件，将代入(4)和(5)式，可得
其中Gi，j，Hi，j是确定的常数.由假设(H3)及(23)-(24)式可求出
${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\hat \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _1^3}}} \right|_{{\tau _1} = 0}}$ ，记为U0;${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{\nu _{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _2^3}}} \right|_{{\tau _2} = 0}}$ ，记为V0.再结合(17)-(22)，(25)，(26)式以及假设(H2)可求出$\hat \mu $ i，j(τ1)，νi，j(τ2) 其中λ1为(18)式的特征方程的一个负根，λ2为(21)式的特征方程的一个负根.由
$\hat \mu $ 0，0(τ1)，ν0，0(τ2)及$\tilde F$ i，j(τ1)，$\overline {{F_{i, j}}} \left({{\tau _2}} \right)$ 的构造，可知$\hat \mu $ i，j(τ1)，νi，j(τ2)都具有指数型衰减的特征.引进光滑函数ψ(t)∈C∞，使得其中p(t)是个多项式函数，常数σ满足
令
得到问题(1)-(5)的m阶形式渐近解，其中ε1=μ，
${\varepsilon _2} = \frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}}$ 且$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$ .下面证明问题(1)-(5)解的存在性及m阶形式渐近展开式(27)的一致有效性.定理1 若假设[H1]~[H3]成立，且存在定义在(0，+∞)上单调不减的正值函数h(s)，满足
使得对[a，c]×
$\mathbb{R} $ 3的紧子集中的(t，y，y′，y″)及y'''∈$\mathbb{R} $ 有则对正的小参数ε和μ，当
$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0(\mu \to 0)$ 时两参数问题(1)-(5)有解满足
其中ym(t，ε1，ε2)由(27)式给出，d0=max{ε1，ε2}，ε1=μ，
$\varepsilon_{2}=\frac{\varepsilon}{\mu^{2}} $ .证 构造界定函数
显然
另外，由微分中值定理，存在正常数M1，M2使
以及
只要
$r \ge \max \left\{ {\frac{{{M_1}}}{{2{l_0}}}, \frac{{{M_2}}}{{2{l_1}}}} \right\}$ ，就有最后，对任意的s1介于α(t，ε1，ε2)，β(t，ε1，ε2)之间以及任意的s2介于α′(t，ε1，ε2)，β′(t，ε1，ε2)之间有
其中θ0介于s1与ym之间，θ1介于s2与y′m之间，θ2介于α″与y″m之间.
当x∈[a，a+σ]时，由左边界层构造知，存在正常数M3，M4，使得
类似地，当x∈[c－σ，c]时，由右边界层构造知，存在正常数M5，使得
当x∈[a+σ，c－σ]时，存在正常数M6，使得
其中γk在
$\sum\limits_{i, j = 0}^m {Y_{i, j}^{(k)}} (t)\varepsilon _1^i\varepsilon _2^j$ 与ym(k)(k=0，1，2)之间，γ3在${\varepsilon _1}\sum\limits_{i, j = 0}^m {Y_{i, j}^{\prime \prime \prime }} (t)\varepsilon _1^i\varepsilon _2^j$ 与ε1y'''m之间.只要取
$r \ge \max \left\{ {\frac{{{M_3} + {M_4}}}{{{\delta _0}}}, \frac{{{M_3} + {M_5}}}{{{\delta _0}}}, \frac{{{M_3} + {M_6}}}{{{\delta _0}}}} \right\}$ ，就有同理，只要r充分大，就有
故由引理1可知，边值问题(1)-(5)有解y(t，ε1，ε2)∈C4[a，c]，满足
由注1有
定理1证毕.
当
$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}}(\mu \to 0)$ 时，问题(1)-(5)具有形如(27)式的渐近展开式，并在x=a处和x=c处附近各有一个薄层，其薄层宽度分别为O(ε1)和O(ε1ε2)，因为ε1>ε1ε2，所以在x=c处的薄层比在x=a处的薄层更薄.情形2 当ε=μ2，μ→0时形式渐近解的构造.
令ε1=μ，则方程(1)转化为：
用与情形1相同的正则摄动方法可得方程(28)对应的外部解：
令
其中
${\tau _3} = \frac{{t - a}}{{{\varepsilon _1}}}$ 为伸长变量，且其具有性质
则有
其中
$\tilde F$ j－1(j≥1)是关于τ3，$\tilde \mu $ k(k≤j－1)及其各阶导数的多项式函数.令
其中
$\begin{equation}\tau_{4}=\frac{c-t}{\varepsilon_{1}}\end{equation}$ 为伸长变量，且其具有性质
则有
其中Fj－1(j≥1)是关于
${\tilde \nu _k}$ ，k(k≤j－1)及其各阶导数的多项式函数.为了确定
${\tilde \mu _j}$ j(τ3)，${\tilde \nu _j}$ (τ4)所满足的定解条件，令则有
其中
$\widetilde{G}_{j-1}, \widetilde{H}_{j-1}$ 是依次确定的常数，由假设(H3)及(35)-(36)式可求出${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \mu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _3^3}}} \right|_{{\tau _3} = 0}}$ 记为${U_1}, {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \nu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _4^3}}} \right|_{{\tau _4} = 0}}$ 记为V1，再结合(29)-(34)，(37)，(38)式以及假设(H2)可求出${\tilde \mu _j}\left({{\tau _3}} \right), {\tilde \nu _j}\left({{\tau _4}} \right)$ ，其中为(30)式的特征方程的一个负根，λ4为(33)式的特征方程的一个负根.由
${\tilde \mu _0}\left({{\tau _3}} \right), {\tilde \nu _0}\left({{\tau _4}} \right)$ 及${\tilde F_j}\left({{\tau _3}} \right)$ ，Fj(τ4)的构造，可知${\tilde \mu _j}\left({{\tau _3}} \right), {\tilde \nu _j}\left({{\tau _4}} \right)$ 都具有指数型衰减的特征.令
得到问题(1)-(5)的m阶形式渐近解，其中ε1=μ且ε=μ2，μ→0.
定理2 若假设(H1)-(H3)成立，且存在定义在(0，+∞)上单调不减的正值函数h(s)，满足
使得对[a，c]×
$\mathbb{R} $ 3的紧子集中的(t，y，y′，y″)及y'''∈$\mathbb{R} $ 有则两参数问题(1)-(5)对正的小参数ε和μ，当ε=μ2(μ→0)时有解
满足
其中ym(t，ε1)由(39)式给出，ε1=μ.
定理2证明过程与定理1类似，此处略去.
当ε=μ2(μ→0)时，问题(1)-(5)具有形如(39)式的渐近展开式，并在x=a处和x=c处附近各有一个薄层，其薄层宽度均为O(ε1).
情形3 当
$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0(\varepsilon \to 0)$ 时形式渐近解的构造.令
${\varepsilon _1} = \sqrt \varepsilon, {\varepsilon _2} = \frac{\mu }{{\sqrt \varepsilon }}$ ，则方程(1)转化为：方程(40)对应的外部解也可用与情形1相同的正则摄动方法得到：
令
其中
${\tau _5} = \frac{{t - a}}{{{\varepsilon _1}}}$ 为伸长变量，且其具有性质
则有
其中
${\hat F_{i, j}}\left({{\tau _5}} \right)(i + j \ge 1)$ 是${\tau _5}, {\bar \mu _{s, q}}(s + q < i + j)$ 及其各阶导数的多项式函数.令
其中
${\tau _6} = \frac{{c - t}}{{{\varepsilon _1}}}$ 为伸长变量，且具有性质
则有
其中
${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over F} _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$ 是关于τ6，${\bar \nu _{s, q}}$ (s+q＜i+j)及其各阶导数的多项式函数.为了确定
${\bar \mu _{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$ 所确定的定解条件，令则有
其中Gi，j(τ5)，Hi，j(τ6)是依次确定的常数.由假设(H3)及(47)-(48)式可求出
${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _5^3}}} \right|_{{\tau _5} = 0}}$ ，记为U2；${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar \nu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _6^3}}} \right|_{{\tau _6} = 0}}$ ，记为V2.再结合(41)-(46)，(49)，(50)式以及假设(H2)可求出${\bar \mu _{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$ ，其中为(42)式的特征方程的一个负根，λ6为(45)式的特征方程的一个负根.由
${\bar \mu _{0, 0}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{0, 0}}\left({{\tau _6}} \right), {\hat F_{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over F} _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$ 的构造，可知${\bar \mu _{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$ 都具有指数型衰减的特征.令
得到问题(1)-(5)的m阶形式渐近解，其中
${\varepsilon _1} = \sqrt \varepsilon, {\varepsilon _2} = \frac{\mu }{{\sqrt \varepsilon }}$ 且$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$ .定理3 若假设(H1)-(H3)成立，且存在定义在(0，+∞)上单调不减的正值函数h(s)，满足
使得对[a，c]×
$\mathbb{R} $ 3的紧子集中的(t，y，y′，y″)及y'''∈$\mathbb{R} $ 有则当
$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$ 时，对正的小参数ε和μ，两参数问题(1)~(5)有解满足
其中ym(t，ε1，ε2)由(51)式给出，
${d_1} = \max \left\{ {{\varepsilon _1}, {\varepsilon _2}} \right\}, {\varepsilon _1} = \sqrt \varepsilon, {\varepsilon _2} = \frac{\mu }{{\sqrt \varepsilon }}$ .定理3证明过程与定理1类似，此处略去.
当
$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0(\varepsilon \to 0)$ 时，问题(1)-(5)具有形如(51)式的渐近展开式，并在x=a处和x=c处附近各有一个薄层，其薄层宽度均为O(ε1).
-
考虑如下混合边值条件的双参数奇摄动问题
问题(52)-(56)满足假设[H1]-[H3]条件.
情形1′ 当参数ε，μ满足
$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$ 时的情形.问题(52)-(56)的退化问题为
存在解
${Y_{0, 0}}(t) = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}t}} - 3{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}t}} + 1 - t$ .在x=－1和x=1处构造边界层校正项，有
则
其中
${U_0} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\hat \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _1^3}}} \right|_{{\tau _1} = 0}}, {V_0} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{v_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _2^3}}} \right|_{{\tau _2} = 0}}$ .因此问题(52)-(56)的零阶形式渐近解为
情形2′ 当参数ε，μ满足ε=μ2，μ→0时的情形.
类似情形1′，问题(52)-(56)的退化问题存在解
${Y_0}(t) = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}t}} - 3{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}t}} + 1 - t$ .在x=－1和x=1处构造边界层校正项，有
则
其中
${U_1} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \mu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _3^3}}} \right|_{{\tau _3} = 0}}, {V_1} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \nu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _4^3}}} \right|_{{\tau _4} = 0}}$ .因此问题(52)-(56)的零阶形式渐近解为
情形3′ 当参数ε，μ满足
$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$ 时的情形.类似情形1′，问题(52)-(56)的退化问题存在解
${\bar Y_{0, 0}}(t) = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}t}} - 3{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}t}} + 1 - t$ .在x=－1和x=1处构造边界层校正项，有
则
其中
${U_2} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _5^3}}} \right|_{{\tau _5} = 0}}, {V_2} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar v}_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _6^3}}} \right|_{{\tau _6} = 0}}$ .因此问题(52)-(56)的零阶形式渐近解为
DownLoad: