On Backward Compact Random Attractors for Non-Autonomous Stochastic Wave Lattice Equation

本文将在$ \ell $²空间上讨论带有乘法噪音的非自治随机波动格点方程：

其中：$ \mathbb{Z}$代表整数集；λ，α为大于0的常数；W(·，ω)是定义在度量动力系统(Ω，$ \mathscr{F}$，P，{θ_t}_{t∈$ \mathbb{R}$})上的双边实值Wiener过程，Ω={ω∈C($ \mathbb{R}$，$ \mathbb{R}$)：ω(0)=0}，$ \mathscr{F}$=$ \mathfrak{B}$(Ω)，P是(Ω，$ \mathscr{F}$)上的Wiener测度，{θ_t}_{t∈$ \mathbb{R}$}定义为：θ_tω(·)=ω(·+t)-ω(t)，(ω，t)∈Ω×$ \mathbb{R}$；°表示Stratonovich积分意义下的乘法噪声；$ \dot{u}_i=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}$，f_i，h_i∈C¹($ \mathbb{R}$，$ \mathbb{R}$). 对于h=(h_i)_{i∈$ \mathbb{Z}$}，f=(f_i)_{i∈$ \mathbb{Z}$}，g=(g_i)_{i∈$ \mathbb{Z}$}，α_j，η_j>0(j=1，2，3)，有如下假设：

(A1)

(A2) $ F(s)=\int_0^s f(r) \mathrm{d} r$，且f_i满足：

(A3) g∈L_loc²($ \mathbb{R}$，$ \ell $²)且满足：

定义$ \ell $²上的有界算子：

则有

对$ \delta=\frac{\alpha_1 \lambda}{4 \lambda+\alpha_2^2} \geqslant 0, 0 \leqslant \xi<\frac{1}{\delta}$，φ=(u，v)^T，定义$ \ell $²上的内积(·，·)，(·，·)_λ和范数‖·‖，‖·‖_λ：

其中u=(u_i)_{i∈$ \mathbb{Z}$}，v=(v_i)_{i∈$ \mathbb{Z}$}，E=$ \ell $_λ²×$ \ell $²，易证1-ξδ≥0且范数‖·‖与‖·‖_λ等价.

对ω∈Ω，t∈$ \mathbb{R}$，令v=$ \dot u$+δu-αuz(θ_tω)，z(θ_tω)=$ -\int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^r \theta_t \omega(r) \mathrm{d} r$是方程dz+zdt=dω(t)的解，且由文献[14]可知：

则方程(1)可转化为一阶随机微分方程

由文献[8, 9, 12]可知，f(φ)，h(φ)是E→E的映射，且对任意T>0，φ₀∈E，方程(9)存在唯一的连续依赖于初值φ₀的解φ(t)∈L²(Ω，C([τ，+∞)，E))，对φ₀∈E，t≥0，τ∈$ \mathbb{R}$，ω∈Ω，定义

可以验证Φ是一个非自治的随机动力系统，即满足：

在下文中，设$ \mathfrak{D}$是X中所有后向缓增集构成的集族. 集合$ \mathscr{D}$∈$ \mathfrak{D}$当且仅当

可以证明$ \mathfrak{D}$是包含封闭的，即若$ \mathscr{A}$⊂$ \tilde{\mathscr{A}}$且$ \tilde{\mathscr{A}}$∈$ \mathfrak{D}$，有$ \mathscr{A}$∈$ \mathfrak{D}$成立.

引理1   若假设(A1)，(A2)，(A3)成立，则对任意后向缓增集$ \mathscr{D}$∈$ \mathfrak{D}$，任意的τ∈$ \mathbb{R}$，ω∈Ω，存在T=T($ \mathscr{D}$，τ，ω)≥1，使得当φ_s-t∈$ \mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)时，有

其中

证   方程(9)可以等价地写为

其中

对任意固定的τ∈$ \mathbb{R}$，ω∈Ω，φ_s-t∈$ \mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)，令$u=\frac{\alpha_1 \lambda}{\sqrt{4 \lambda+\alpha_2^2}\left(\alpha_2+\sqrt{4 \lambda+\alpha_2^2}\right)}, \hat{\lambda}= $$ \max \left\{1, \frac{1}{\lambda}\right\}$，μ=min{2υ，δη₁，γ}，方程(12)与φ(r)=φ(r，s-t，θ_-sω，φ_s-t)(其中s≤τ)做内积(·，·)_E得到

由文献[9]的方法，令$ \alpha<\frac{\sqrt{\pi} \mu}{2\left(3+2 \delta+4 \xi+2 \alpha_2+2 \eta_3\right)\left(2 \frac{\eta_1 \eta_3}{\eta_2}+\hat{\lambda}\right)(2+\sqrt{\pi})}<1$利用Hölder不等式及Young不等式，可证

又令

将(17)-(19)式代入(16)式可得

对(20)式利用Gronwall不等式，计算可得

由(2)，(3)式易证f(0)=0，‖f(u)‖≤max_{s∈[-‖u‖，‖u‖]}|f′(s)|‖u‖，则有

对(21)式关于s∈(-∞，τ]取上确界，结合(10)式可知，存在T($ \mathscr{D}$，s，ω)≥1使得当t≥T时，有

因此(11)式得证，即

推论1   若假设(A1)，(A2)，(A3)成立，由引理1，方程(9)生成的非自治随机动力系统满足文献[3]，[13]中拉回后向一致吸收集存在的条件，即协循环{Φ(t)}_t≥0存在$ \mathfrak{D}$-拉回后向一致吸收集$ \mathscr{K}$∈$ \mathfrak{D}$，其中

引理2   若假设(A1)，(A2)，(A3)成立，则对∀ε>0，(τ，ω，$ \mathscr{D}$)∈($ \mathbb{R}$×Ω×$ \mathfrak{D}$)，φ_s-t∈$ \mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)，存在T(ε，τ，ω，$ \mathscr{D}$)>0，k(ε，τ，ω，$ \mathscr{D}$)≥1，使得

证   构造一个光滑函数ρ(s)∈C¹([0，∞)，[0, 1])，且当|s|≤1时，ρ=0；当|s|≥2时，ρ=1. 易知，存在常数C₀，使得对任意s∈$ \mathbb{R}$，有|ρ′(s)|≤C₀. 令$ \widetilde{ \boldsymbol{\varphi }}={{(\tilde{u}, \tilde{v})}^{\text{T}}}=\left( {{(\tilde{u})}_{i}}, {{(\tilde{v})}_{i}} \right)_{i\in \mathbb{Z}}^{\text{T}}$，其中$(\tilde{u})_i= $$ \rho\left(\frac{|i|}{k}\right) u_i, (\tilde{v})_i=\rho\left(\frac{|i|}{k}\right) v_i, \tilde{\boldsymbol{\varphi}}(r)$与(12)式做内积(·，·)_E得

易证

则有

其中C₁，C₂为常数，将(29)-(31)式代入(28)式可知，

对(32)式运用Gronwall引理可得

由于φ_s-t∈$ \mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)(s≤τ)，结合(10)式可得

由(8)式知，存在C(ω)>0，使$\mathrm{e}^{\frac{\mu r}{4}}\left|z\left(\theta_{r-s} \omega\right)\right| \leqslant C(\omega) $，结合引理1，(A3)和(21)式可知，存在T>0，当t>T时有

因此，结合(23)式和(34)-(37)式可得，对任意的ε>0，(τ，ω，$ \mathscr{D}$)∈($ \mathbb{R}$×Ω×$ \mathfrak{D}$)，φ_s-t∈$ \mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)，存在T(ε，τ，ω，$ \mathscr{D}$)>0，k(ε，τ，ω，$ \mathscr{D}$)≥1，使得

引理3   若假设(A1)，(A2)，(A3)成立，则协循环{Φ(t)}_t≥0在吸收集$ \mathscr{K}$∈$ \mathfrak{D}$上是后向渐近紧的.

证  对任意固定的τ∈$ \mathbb{R}$，ω∈Ω，取任意序列τ_k≤τ，t_k→+∞(k→+∞)，及任意的φ₀∈$ \mathscr{K}$(τ_k-t_k，θ_-tkω). 定义φ_k=Φ(t_k，τ_k-t_k，θ_-tkω，φ_0，k)=φ(τ_k，τ_k-t_k，θ_-τkω，φ_0，k)，φ_0，k∈$ \mathscr{D}$(τ_k-t_k，θ_-tkω)，对∀ε>0，由引理2可知存在k_ε，N_ε，当k≥k_ε时，有

由引理1，φ_k在E中有界，从而{(φ_k，i)_|i|≤Nε}_k在$ \mathbb{R}$^2N_ε+1中有界，故{(φ_k，i)_|i|≤Nε}_k在$ \mathbb{R}$^2N_ε+1中有一个有限的ε-网，结合(38)式可知{φ_k}在E中有一个有限的2ε-网，从而{φ_k}在E中是预紧的，即证得协循环{Φ(t)}_t≥0在吸收集$ \mathscr{K}$上是后向渐近紧的.

定义1   一个非自治的随机紧集$ \mathscr{A}$∈$ \mathfrak{D}$称为关于非自治协循环Φ的$ \mathfrak{D}$-随机吸引子，若

(i) $ \mathscr{A}$是不变的，即Φ(t，τ，ω)$ \mathscr{A}$(τ，ω)=$ \mathscr{A}$(t+τ，θ_tω)，t>0；

(ii) $ \mathscr{A}$在hausdorff半距离意义下是吸收的，即对任意$ \mathscr{D}$∈$ \mathfrak{D}$，

定义2   集合$ \mathscr{A}$={$ \mathscr{A}$(τ，ω)}称为后向紧的当$ \mathscr{A}$是紧的且∪_s≤τ$ \mathscr{A}$(s，ω)(τ∈$ \mathbb{R}$，ω∈Ω)是预紧的.

定理1   若假设(A1)，(A2)，(A3)成立，则方程(1)生成的动力系统存在后向紧随机吸引子.

证   由文献[13](定理3.9)可知方程(9)生成的非自治随机动力系统Φ(t)存在唯一的后向紧$ \mathfrak{D}$-拉回吸引子$ \mathscr{A}$∈$ \mathfrak{D}$和唯一的可测$ \mathfrak{D}$₀-拉回吸引子$ \mathscr{A}$₀∈$ \mathfrak{D}$₀. 再由文献[13](定理6.1)知$ \mathscr{A}$=$ \mathscr{A}$₀，故吸引子$ \mathscr{A}$也是随机的，即Φ(t)存在唯一的后向紧$ \mathfrak{D}$-拉回随机吸引子$ \mathscr{A}∈\mathscr{D}$. 由文献[6, 15]可知方程(1)与方程(9)生成的随机动力系统共轭，从而方程(1)存在后向紧随机吸引子.