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设T为Hilbert空间上的有界线性算子. 记T的谱为σ(T). 记集合S的凸包为conv S. 则算子T的数值域定义为集合
与算子的谱类似，算子的数值域是复平面中的子集，并且可以反映出算子的一些代数性质. 例如，T是自伴算子当且仅当W(T)⊂
$\mathbb{R} $ ，T是半正定的当且仅当W(T)⊂[0，∞).由于本文的需要，这里列举一些算子数值域的简单性质，其证明可参见文献[1-2]. 更多关于算子数值域的知识，我们推荐文献[2-3].
引理1 [1]算子T的数值域W(T)具有下述性质：
(ⅰ) W(T)是凸集；
(ⅱ) σ(T)⊂W(T)；
(ⅲ) 对任意的α，β∈
$\mathbb { C } $ ，W(αT+βI)=W(T)+β；(ⅳ) W(T*)={λ：λ∈W(T)}；
(ⅴ) 对任何的酉算子U，W(U*TU)=W(T)；
(ⅵ) 如果T是亚正规算子，则W(T) =conv σ(T).
设H1，H2为Hilbert空间，记F为H1⊕H2上的由下述分块形式给出的线性算子
这里A和D分别表示H1和H2上的线性算子，B为从H2到H1上的线性算子，C为从H1到H2上的线性算子.
2×2分块算子的二次数值域的概念是由文献[4]引入的，定义为集合
下述关于F的二次数值域的性质在我们主要结果的证明中很有用，故我们引用如下(引理2)，而且，为了读者阅读方便，这里我们用更直接的方法证明了第一条性质，这与文献[5]中的证明方法不同.
引理2 [5] H1⊕H2上的线性算子F的二次数值域W(F)具有如下性质：
(ⅰ) W2(F)⊂W(F)；
(ⅱ) σ(F)⊂W2(F)；
(ⅲ) W2(F*)=(W2(F))*={λ∈
$\mathbb{C} $ ：λ ⊂W2(F)}；(ⅳ) 若dim H2>1，则W(F)⊂W2(F)；若dim H1>1，则W(D)⊂W2(F).
证 (ⅰ) 对于任意给定的x∈H1，y∈H2且‖x‖=‖y‖=1，定义Fxy为
则Fxy是从
$\mathbb{C}^2 $ 到$\mathbb{C}^2 $ 的有界线性算子.而且，易知对任意的
$\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{array}\right) \in \mathbb{C}^2 $ 且‖ α ‖ =1, 由于则有
令f=α1x+α2y. 因为x⊥y，
由于
故可得
从而推出W(Fxy)⊂W(F). 因为有限维线性空间上的有界线性算子的数值域是紧集，所以
由上述事实和引理1，可得
因此，对任意的x∈H1，y∈H2，则有
从而性质(ⅰ)得证.
对于有界线性算子，由引理2中的(ⅰ)和(ⅱ)可知在线性算子的谱刻画方面，二次数值域能提供比数值域更精确的信息.
设
$\mathbb{D} $ 是复平面$\mathbb{C} $ 上的单位开圆盘，H2是单位开圆盘上经典的Hardy空间，L2=L2($\mathbb{T} $ )为单位圆周$\mathbb{T} $ ={z∈$\mathbb{C} $ ：|z|=1}上的Lebesgue空间. 设H∞为$\mathbb{D} $ 上的有界解析函数所构成的空间. 根据Fatou定理和调和延拓定理[6]，我们通常将H2与L2($\mathbb{T} $ )中由解析函数构成的闭子空间等同起来.设P为从L2到H2上的正交投影算子. 对任意的φ∈L∞，Hardy空间上的Toeplitz算子Tφ定义为
Hankel算子Hφ：H2
$\longrightarrow $ (H2)⊥定义为Hardy空间的正交补空间(H2)⊥上的对偶Toeplitz算子Sφ定义为
设u是非常值的内函数，即u是
$\mathbb{D} $ 上的解析函数，且|u(z)|=1在$\partial\mathbb{D} $ 上几乎处处成立. 则称Ku2=H2!uH2为模空间，该空间是Tz的不变子空间[7-8].记Pu是从L2到Ku2上的正交投影算子，对任意的φ∈L2，文献[9]引入了Ku2上的截断Toeplitz算子Aφ，该算子定义为截断Hankel算子Bφ：Ku2
$\longrightarrow $ (Ku2)⊥定义为容易验证
模空间的正交补空间(Ku2)⊥上的对偶截断Toeplitz算子Dφ最先由文献[10]引入，该算子定义为
记Mφ为L2上的乘法算子，则在L2=H2⊕(H2)⊥下，由简单计算可得
如果L2=Ku2⊕(Ku2)⊥，则
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在本节，我们研究用Toeplitz算子的符号来刻画Hardy空间上Toeplitz算子的数值域和二次数值域. 由Hardy空间上Toeplitz算子的代数性质[11]可知，所有的Hardy-Toeplitz算子均是凸算子. 文献[12]应用算子的谱完全刻画了任意一个Hardy-Toeplitz算子的数值域.
引理3 [13] (ⅰ)若φ∈L∞为非常值函数且Tφ是正规算子，则σ(Tφ)是一条连接a和b的闭直线段[a，b]，并且W(Tφ)是对应的开直线段(a，b)；
(ⅱ) 若φ∈L∞为非常值的函数且Tφ不是正规算子，则W(Tφ)=(conv σ(Tφ))°，其中E°表示集合E的内部；
(ⅲ) 若φ∈H∞，则W(Tφ)=conv φ(
$\mathbb{D} $ ).在本节中，我们首先用Toeplitz算子符号的值域给出Hardy-Toeplitz算子的数值域的解析刻画，这和文献[12]应用算子的谱来刻画数值域的方式是不同的. 设f∈L1(
$\mathbb{T} $ )，则$\tilde{f}(z) $ 是$\mathbb{D} $ 上的调和函数，且$ \lim \limits_{r \rightarrow 1} \tilde{f}(r \zeta)=f(\zeta)$ 对$ \zeta \in \mathbb{T}$ 几乎处处成立[14]. 反过来，如果f是单位圆盘$\mathbb{D} $ 上的调和函数，则下述定理1回答了f何时具有边界值，以及f是如何由其边界值确定下来的.定理1 [15] 设f是单位圆盘上的复数值调和函数，对于1≤p < ∞，当r→1时，设
$\int\limits_T|f(r \zeta)|^p \mathrm{~d} \sigma(\zeta) $ 是有界的，其中dσ(ζ)是$\mathbb{T} $ 上正规化的Haar测度，则对于几乎每个ζ，径向极限$ f^*(\zeta)=\lim \limits_{r \rightarrow 1} f(r \zeta)$ 是存在的，且定义了圆周$\mathbb{T} $ 上的Lp中的函数f*. 若p>1，则f(z)是f*的调和延拓.基于上述事实，下面，我们将L∞(
$\mathbb{T} $ )中的函数φ与其调和延拓$\tilde{\varphi} $ 等同起来，并记作φ∈L∞. 在我们给出本节的主要结果之前，我们首先给出乘法算子的数值域的刻画.定理2 设φ∈L∞，Mφ是L2上的乘法算子，则
证 一方面，∀z∈
$\mathbb{D} $ ，则有
从而
又因为W(Mφ)是凸集，故W(Mφ)是凸集，因此
另一方面，由于Mφ是正规算子，根据引理1的性质(ⅵ)，从而可得W(Mφ) =conv σ(Mφ)，结合事实σ(Mφ)=
$ \Re(\varphi)$ (见文献[15])以及$ \Re(\varphi)$ ⊂φ($\mathbb{D} $ )，其中，$ \Re(\varphi)$ 为φ的本质值域，则有从而可得
将以上两方面结合起来，则结论得证.
下述定理3用符号的值域刻画了有界符号的Hardy-Toeplitz算子的数值域.
定理3 设φ∈L∞，则
证 一方面，由于Mφ在空间分解L2=H2⊕(H2)⊥下的表示为
以及dim(H2)⊥>1，根据引理2，可得
另一方面，对任意的z∈
$\mathbb{D} $ ，因为则有φ(
$\mathbb{D} $ )⊂W(Tφ). 从而因此，根据定理2，则有
$\overline{W\left(T_{\varphi}\right)}=\operatorname{conv} \overline{\varphi(\mathbb{D})} $ . 从而结论得证.设u是内函数，则Hardy空间可分解为H2=uH2⊕Ku2，其中Ku2=H2!uH2是模空间. 在该分解下，对任意的φ∈L∞，Toeplitz算子Tφ可表示成2×2形式的算子
其中，对x∈uH2，tφx=uPuφx被称为小Toeplitz算子[16]，hφ=(I-uPu)φx被称为小Hankel算子[17]. 由简单计算，易得
设Pu是从L2到Ku2上的正交投影算子. Ku2上的截断Toeplitz算子定义为
在Tφ的上述表示((5)式)下，Tφ的二次数值域为
二次数值域是文献[4]引入的概念. 应用二次数值域可以建立自伴的2×2分块算子的变分原理，进而估计算子的特征值. 由定义显然可知，二次数值域与空间的直和分解有关. 目前为止，尚未有关于Toeplitz算子的二次数值域的相关结果出现. 下面，我们给出Hardy-Toeplitz算子在空间分解H2=uH2⊕Ku2下的二次数值域的刻画.
定理4 设φ∈L∞，在分解H2=uH2⊕Ku2下(其中u是阶大于1的内函数)，则
证 由Tφ在空间分解H2=uH2⊕Ku2下的表示(5)式以及引理2可得
令Mu为从H2到uH2的算子，且对f∈H2，Muf=uf. 则易知Mu是酉算子且MuTφMu=tφ.由引理1可得
从而
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在本节中，我们给出了Bergman空间上Toeplitz算子的数值域的刻画.
设dA是复平面
$\mathbb{C} $ 上单位开圆盘$\mathbb{D} $ 上的面积测度. Bergman空间La2($\mathbb{D} $ )是L2($\mathbb{D} $ ，dA)中由解析函数构成的子空间. 下面，我们将L2($\mathbb{D} $ ，dA)简写成L2($\mathbb{D} $ ). 设P是从L2($\mathbb{D} $ )到La2($\mathbb{D} $ )上的正交投影. 对任意的φ∈L∞($\mathbb{D} $ )，从La2($\mathbb{D} $ )到La2($\mathbb{D} $ )上的符号为φ的Toeplitz算子定义为Hankel算子Hφ：La2(
$\mathbb{D} $ )$\longrightarrow $ (La2($\mathbb{D} $ ))⊥定义为设φ∈L∞(
$\mathbb{D} $ )，函数φ的Berezin变换定义为$ \tilde{\varphi}(z)=\left\langle\varphi k_z, k_z\right\rangle$ ，其中kz为Bergman空间中规范化的再生核函数[18]. 本文中，单位圆盘$\mathbb{D} $ 上满足Laplacian方程的复数值函数称为调和函数.文献[19]研究了Bergman空间上调和符号的Toeplitz算子的性质，给出了有界调和符号的Bergman-Toeplitz算子的数值域刻画，并应用符号的值域刻画了解析符号的Bergman-Toeplitz算子的数值域，这里我们引用如下(引理4). 由于调和符号的Bergman-Toeplitz算子和Hardy-Toeplitz算子的性质相似[20]，本节我们运用符号的值域给出有界解析符号的Bergman-Toeplitz算子的数值域的类似刻画.
引理4 [19] (ⅰ) 设φ是单位圆盘
$\mathbb{D} $ 上的非常值的有界调和函数，且Tφ为正规算子，则存在常数a，b使得σ(Tφ)=[a，b]且W(Tφ)=(a，b)；(ⅱ) 设φ是单位圆盘
$\mathbb{D} $ 上的非常值有界调和函数，且Tφ不是正规算子，则W(Tφ)是一个开凸集；(ⅲ) 若φ∈H∞，则W(Tφ)=conv φ(
$\mathbb{D} $ ).类似定理2，应用Berezin变换可证得下述结论：
引理5 设φ∈L∞(
$\mathbb{D} $ )，Mφ是L2($\mathbb{D} $ )上的乘法算子，则下面，我们给出有界调和符号的Bergman-Toeplitz算子的数值域的不同形式的刻画：
定理5 设φ是单位圆盘
$\mathbb{D} $ 上的有界调和函数，则证 在空间分解L2(
$\mathbb{D} $ )=La2($\mathbb{D} $ )⊕(La2($\mathbb{D} $ ))⊥下，乘法算子Mφ具有下述形式的表示其中Sφ为从(La2(
$\mathbb{D} $ ))⊥到(La2($\mathbb{D} $ ))⊥的对偶Toeplitz算子. 由于dim(La2($\mathbb{D} $ ))⊥>1，根据引理2可得对任意的z∈
$\mathbb{D} $ ，因为且由于φ是调和函数，故
$\varphi=\tilde{\varphi} $ . 从而因此
根据引理5及关系式(6)，可得
因为紧集的凸包仍是紧集，开集的凸包仍是开集，以及开凸集等于其闭包的内部，根据引理4，故可得
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在本节中，我们研究模空间(Ku2)⊥上的对偶截断Toeplitz算子的数值域和二次数值域. 众所周知，在空间分解(Ku2)⊥=uH2⊕(H2)⊥下，对偶截断Toeplitz算子Dφ具有下述形式的表示
其中Sφ为定义在(H2)⊥上的对偶Toeplitz算子. 下面，我们给出Dφ的数值域和二次数值域的刻画：
定理6 设φ∈L∞，u为阶大于1的内函数，则
而且，在空间分解(Ku2)⊥=uH2⊕(H2)⊥下，
证 根据Dφ的表示(7)式以及引理2，可得
从而
进一步，由于dim Ku2>1，再次根据引理2考虑Mφ在空间分解L2=Ku2⊕(Ku2)⊥下的表示
可得
从而
因为
故
从而
因此可得
根据定理2，则有
$\overline{W\left(M_{\varphi}\right)}=\operatorname{conv} \overline{\varphi(\mathbb{D})} $ . 因此结论得证.
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