-
设{Xn，n≥1}为独立同分布的随机变量序列，其分布函数为
$ F(x) . X_{1, n} \leqslant \cdots \leqslant X_{n, n}$ 表示X1，…，Xn的次序统计量. 若存在规范化常数an>0和bn及非退化分布函数Gγ(x)使得则称F属于G的吸引场，记为F∈D(G)，γ为极值指数. 令
$U(t)=F^{\leftarrow}\left(1-\frac{1}{t}\right), t \geqslant 1 $ . 当γ>0时，(1)式等价于文献[3]提出了著名的Hill估计量. 文献[4]为减小Hill估计量的偏差，构造了矩率估计量. 文献[5]利用函数
$g_{r, u}(x)=x^r \ln ^u(x), x \geqslant 1 $ 构造出如下的统计量其中γr < 1，u>-1. 利用(3)式可以将Hill估计量、矩率估计量表示出来：
极值指数估计的应用非常广泛，相关研究可参见文献[6-10].
本文利用统计量Gn(k，r，u)构造如下的尾指数估计量
假定(2)式成立且存在序列k=k(n)满足当
$ n \rightarrow \infty$ 时,考虑
$ \hat{\gamma}_n(k, r)$ 的弱相合性. 此外，如果存在可测函数A(t)使得成立，则我们讨论
$\hat{\gamma}_n(k, r) $ 的渐近分布，其中ρ < 0表示二阶参数.
HTML
-
定理1 假定γr < 1成立，在(2)式和(4)式的条件下，
$\hat{\gamma}_n(k, r) \stackrel{\mathrm{P}}{\longrightarrow} \gamma . $ 定理2 假定
$ \gamma r<\frac{1}{2}$ 成立，在(4)式和(5)式的条件下，存在$\lambda \in \mathbb{R} $ 使得则当
$ n \rightarrow \infty$ 时，其中
-
设{Yn，n≥1}为独立同分布的标准Pareto序列，Y1，n，…，Yn，n表示Y1，…，Yn的次序统计量，由文献[11]可得到
$ \left\{X_i\right\}_{i=1}^n \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{U\left(Y_i\right)\right\}_{i=1}^n, \left\{\frac{Y_{n-i, n}}{Y_{n-k, n}}\right\}_{i=0}^{k-1} \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{Y_{k-i, k}\right\}_{i=0}^{k-1}$ .定理1的证明 由文献[5]的定理1可知，当
$n \rightarrow \infty $ 时，得到
利用连续映射定理[12]和Slutsky定理[13]，定理得证.
对定理2的证明，我们需要下面的辅助引理.
引理1 在定理2的条件下，当
$n \rightarrow \infty $ 时，有其中
(N1，N2)是二维零均值高斯向量，满足
其中
证 由二阶正规变换条件(5)式知，对充分大的t，
则
利用文献[14]中的Cramer-Wold定理证明(7)式成立. 对任意
$ (\varphi, \psi) \in \mathbb{R}^2$ ，有其中
当
$ \gamma_r<\frac{1}{2}$ 时，由列为林德伯格中心极限定理可得
与文献[15]引理1类似计算，有
由(11)式，(12)式及Slutsky定理，知
结合(10)式和(13)式，引理得证.
定理2的证明 定义
利用泰勒展式，(8)式和(9)式化简为
得到
即
由引理1知
结合(6)式，定理2得证.
DownLoad: