Research on the Flat Object in the Category of Ω-Left R-Modules

用Set表示集合范畴，用T={* }表示单点集，则T是集合范畴的终对象.

定义1^[10]   设Ω是一个五元组，Ω=(Ω，≤，∧，∨，→)并且满足：

(a) (Ω，≤，∧，∨，→)是完备格；

(b) a∧b≤c当且当b≤a→c.

则称Ω是洛克，也称为Heyting代数，用1表示Ω中的最大元，用0表示Ω中的最小元，并且规定∨Ø=0，∧Ø=1，其中Ø表示空集合.

定义2^[11-12]   设X∈Ob(Set)是非空集合，Ω=(Ω，≤，∧，∨，→)是洛克，映射A：X→Ω称为X的Ω-子集.

用Ω^X表示X的所有Ω-子集的集合，按点态方式定义，容易验证Ω^X=(Ω^X，≤，∧，∨，→)也是洛克，用$ \mathit{\hat{\varnothing }}, \hat{X} $分别表示它的最小值和最大值，其中$ \mathit{\hat{\varnothing }}\left( x \right)=0, \hat{X}\left( x \right)=1 $，对任意的x∈X都成立.

定义3^[11-12]   设X∈Ob(Set)，A∈Ω^X，并且满足正规性，即存在*∈X使得A(*)=1，则称偶序(X，A)是Ω-集合.

定义4^[11-12]   设(X，A)，(Y，B)，(Z，C)是Ω-集合，

(a) 若映射f：X→Y满足A≤Bf，则称f是由(X，A)到(Y，B)的Ω-集映射，记作f：(X，A)→(Y，B)；

(b) 设f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(Z，C)，则Ω-集映射的复合$ g\circ f:\left( X, A \right)\to \left( Z, C \right) $定义为通常映射的复合$ g\circ f:X\to Z $；

(c) 设(X，A)是Ω-集合，其单位Ω-集映射1_(X，A)=1_X.

注1   $ A\le B\circ f $等价于：

(a) 任意的x∈X，有A(x)≤B(f(x))；

(b) 对于任意的α∈Ω，任意的x∈A_α，有f(x)∈B_α，其中A_α={x∈X|A(x)≥α}称为A的水平集，B_α={y∈Y|B(y)≥α}；

(c) 对于任意的α∈Ω，有f(A_α)⊆B_α；

(d) 对于任意的α∈Ω，f在A_α上的限制f_α=f|_Aα：A_α→B_α是一个集映射.

定义5^[11-12]   以Ω-集合作为对象，Ω集映射作为态射，构成一个范畴，称为Ω-集范畴，记作Set(Ω).

注2   Ω-集范畴Set(Ω)的终对象记作$ \left( T, \hat{T} \right) $，其中T为集范畴Set中的终对象，即T={*}为单点集，为方便起见，Ω-集范畴Set(Ω)的终对象也可用T表示.

用M_R^l表示左R-模范畴，左R-模范畴M_R^l中的零对象(既是始对象也是终对象)记为O={0}，其中0表示零元.

定义6^[2]   设Ω是一个洛克，M∈Ob(M_R^l)，A：M→Ω是映射且满足：

(a) A(0)=1；

(b) 对于任意的m，n∈M，A(m)∧A(n)≤A(m+n)；

(c) 对于任意的m∈M，A(m)≤A(-m)；

(d) 对于任意的r∈R，m∈M，A(m)≤A(rm).

则称A为M的Ω-子模，称偶序(M，A)为Ω-左R-模，简记为Ω-lm.

类似地，可以定义Ω-右R-模(Ω-rm)的概念. Ω-左R-模和Ω-右R-模统称为Ω-模，分别用(M_R，A)和(_RM，A)表示Ω-rm和Ω-lm以示区别，我们定义Ω-Abelian群(Ω-ag)为Ω-左R-模或者Ω-右R-模.

设M∈Ob(M_R^l)，用Ω(M)表示M的Ω-左R-子模的全体.

引理1^[2]   设A_i∈Ω(M)，i∈I，则：

(ⅰ) $ \underset{i\in I}{\mathop{\wedge }}\, {{A}_{i}}\in \mathit{\Omega} \left( M \right) $；

(ⅱ) $ \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{A}_{i}}\in \mathit{\Omega} \left( M \right) $，其中对于任意的m∈M，$ \left( \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( {{A}_{i}} \right) \right)\left( m \right)=\vee \left\{ \underset{1\le k\le p}{\mathop{\wedge }}\, {{A}_{\left( {{i}_{k}} \right)}}\left( {{m}_{k}} \right)|\sum\limits_{k=1}^{p}{{{x}_{k}}=m, p\in {{\mathbb{Z}}_{+}}{{m}_{k}}\in M} \right\} $.

引理2^[2]   设f：M→N∈Mor(M_R^l)，则：

(ⅰ) A∈Ω(M)，则f^→(A)∈Ω(N)；

(ⅱ) B∈Ω(N)，则f^←(B)∈Ω(M).

定义7^[3]   设(M，A)，(N，B)是两个左R-模，若左R-模同态f：M→N满足$ A\le B\circ f $，则称f是由(M，A)到(N，B)的Ω-左R-模同态，简称为Ω-lm同态，记作f：(M，A)→(N，B).

定义8^{[3, 13]}   以Ω-左R-模为对象，Ω-左R-模同态为态射，可构成一范畴，称之为Ω-左R-模范畴，记作M_R^l(Ω).

同理，可定义Ω-右R-模范畴，记作M_R^r(Ω)，Ω-Abelian群范畴记作AG(Ω).

设C是一个范畴，用Ob(C)表示范畴C的对象类，Mor(C)表示范畴C的态射类.

定义9^[14]   设C是一个范畴，{C_i}_i∈I⊆Ob(C)是范畴C中的对象族，则诸C_i的乘积为集合{C，p_i，i∈I}，其中C∈Ob(C)，p_i∈Mor(C，C_i)，i∈I，如果B∈Ob(C)，g_i∈Mor(B，C_i)，i∈I，则存在唯一的r∈Mor(B，C)，使得对任意i∈I，下图交换：

即对任意$ i\in I, {{p}_{i}}\circ r=g $.若记r=(g_i)_i∈I，则对任意$ i\in I, {{p}_{i}}\circ \left( {{\left( {{g}_{i}} \right)}_{i\in I}} \right)=g $.

引理3^[14-17]   设C是具有任意乘积的范畴，{f_i：A_i→B_i|i∈I}是范畴C中的一族态射(I是任意指标集)，$ \left\{ {{p}_{j}}:\prod\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}\to {{A}_{j}}|j\in I\}} \right\} $与$ \left\{ {{r}_{j}}:\prod\limits_{i\in I}{{{B}_{i}}\to {{B}_{j}}|j\in I\}} \right\} $分别是{A_i}_i∈I与{B_i}_i∈I的积，则存在唯一的态射$ \prod\limits_{i\in I}{{{f}_{i}}:\prod{{{A}_{i}}\to \prod{{{B}_{i}}}}} $使得下面的图交换：

称该态射$ \prod\limits_{i\in I}{{{f}_{i}}} $为态射族{f_i}_i∈I的乘积.

引理4^[5]   设(M_i，A_i)∈Ob(M_R^l(Ω))，i∈I，令

具体地，$ \left( \prod\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}} \right)\left( \left\{ {{x}_{i}} \right\} \right)=\wedge \left\{ {{A}_{i}}\left( {{x}_{i}} \right)|{{x}_{i}}\in {{X}_{i}}, i\in I \right\}, {{p}_{j}}:\prod\limits_{i\in I}{{{M}_{i}}\to {{M}_{j}}}, {{p}_{j}}\left( \left\{ {{x}_{j}} \right\} \right)={{x}_{j}} $，则$ \left\{ \left( \prod\limits_{i\in I}{{{M}_{i}}}, \prod\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}} \right), {{p}_{i}} \right\} $是诸(M_i，A_i)在Ω-左R-模M_R^l(Ω)中的乘积.

定义10^[14]   设C是一个范畴，{C_i}_i∈I⊆Ob(C)是范畴C中的对象族，则诸C_i的一个余积为集合{C，q_i}，其中C∈Ob(C)，q_i∈Mor(C_i，C)，i∈I.如果B∈Ob(C)，g_i∈Mor(C_i，B，  )，i∈I，则存在唯一的r∈Mor(C，B)，使得对任意i∈I，下图交换：

即对任意$ i\in I, r\circ {{q}_{i}}={{g}_{i}} $.若记r=[g_i]_i∈I，则对任意$ i\in I, \left( {{\left[ {{g}_{i}} \right]}_{i\in I}} \right)\circ {{q}_{i}}={{p}_{i}} $.

引理5^[14-17]   设C是具有任意余积的范畴，{f_i：A_i→B_i|i∈I}是范畴C中的一族态射(I是任意指标集)，$ \left\{ {{q}_{j}}:{{A}_{j}}\to \underset{i\in I}{\mathop{\coprod }}\, {{A}_{i}}|j\in I \right\} 与 \left\{ {{s}_{j}}:{{B}_{j}}\to \underset{i\in I}{\mathop{\coprod }}\, {{B}_{i}}|j\in I \right\} $分别是{A_i}_i∈I与{B_i}_i∈I的余积，则存在唯一的态射$ \coprod\limits_{i\in I}{{{f}_{i}}}:\coprod\limits_{i\in I}{{{A}_{i}}}\to \coprod\limits_{i\in I}{{{B}_{i}}} $使得下面的图交换：

称该态射$ \coprod\limits_{i\in I}{{{f}_{i}}} $为态射族{f_i}_i∈I的余积.

引理6^[5]   设(M_i，A_i)∈Ob(M_R^l(Ω))，i∈I，令$ \coprod\limits_{i\in I}{{{M}_{i}}}=\underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{M}_{i}}, {{q}_{i}}:{{M}_{j}}\to \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{M}_{i}}, {{q}_{j}}\left( x \right)=x, \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( {{A}_{i}} \right)=\underset{i\in I}{\mathop{\vee }}\, q_{i}^{\to }\left( {{A}_{i}} \right) $.具体地，$ \left( \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{A}_{i}} \right)\left( x \right)={{A}_{j}}\left( x \right) 则 \left\{ \left( \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{M}_{i}}, \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{A}_{i}} \right), {{q}_{i}} \right\} $是诸(M_i，A_i)在Ω-左R-模M_R^l(Ω)中的余积.

定义11^[4]   设f：(M，A)→(N，B)∈Mor(M_R^l(Ω))，对任意y∈imf，(fimf)(y)=f(A)(y)，则fimf是imf的右R-子模，其中imf是右R-模同态f的像，偶序(imf，fimf)称为Ω-lm同态f的Ω-像，记作Fimf，即Fimf=(imf，fimf).

定义12^[9]   设f：(M，A)→(N，B)∈Mor(M_R^l(Ω))，对任意x∈kerf，(fkerf)(x)=f(A)(x)，则fkerf是kerf的右R-子模，其中kerf是右R-模同态f的核，偶序(kerf，fkerf)称为Ω-lm同态f的Ω-核，记作Fkerf，即Fkerf=(kerf，fkerf).

定义13^[9]   Ω-lm同态的一个序列是指形如

的图形，这个序列称为Ω-lm正合列，是指对任意i，有(imf_i-1，fimf_i-1)=(kerf_i，fkerf_i).

定义14^[14]   设C是范畴，f：A→B是C中的态射.如果对C中的任意一对平行态射g，h：C→A使得fg=fh，有g=h，则称f是单态射(这时称f是左可约的).对偶地，定义f：A→B是满态射当且当任意一对平行态射g，h：B→C使得gf=hf，则有g=h(这时称f是右可约的).如果f既是单态射又是满态射，则称f是双态射.

引理7^[6]   设$ \left( M, A \right)\xrightarrow{f}\left( N, B \right)\in \text{Mor}\left( M_{R}^{\text{l}}\left( \mathit{\Omega} \right) \right) $，则下列结论等价：

(ⅰ) $ \left( M, A \right)\xrightarrow{f}\left( N, B \right) $是单态射；

(ⅱ) $ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( M, A \right)\xrightarrow{f}\left( N, B \right) $是Ω-lm正合列；

(ⅲ)对任意α∈Ω，$ O\to {{A}_{\alpha }}\xrightarrow{{{f}_{\alpha }}}{{B}_{\alpha }} $是左R-模正合列；

(ⅳ) $ M\xrightarrow{f}N $在左R-模范畴M_R^l中是单同态，且A≤Bf.

定义15^[6]   设M∈Ob(M_R^r)，A∈Ω^M，令〈A〉=∧{B|A≤B，B∈Ω(M)}，则称〈A〉是由A生成的M的Ω-右R-子模.

引理8^[6]   设f：M→N∈Mor(M_R^r)，A∈Ω^M，则f(〈A〉)=〈f(A)〉.

定义16^[6]   设(M_R，A)∈Ob(M_R^r(Ω))，(_RN，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，(M_R，A)与(_RN，B)的平衡乘积是指偶序((P，C)，f)，其中(P，C)∈Ob(AG(Ω))，f：M×N→P是通常映射，并且满足以下条件：

(a) (P，f)是M_R与_RN的平衡乘积；

(b) f是(M_R，A)×(_RN，B)到(P，C)的Ω集映射.

根据Zadeh扩张原理，映射f：M×N→P可以诱导映射f：Ω^M×Ω^N→Ω^P，其中f(A，B)(z)=∨{A(x)∧B(y)|x∈M，y∈N，f(x，y)=z}.所以f是(M_R，A)×(_RN，B)到(P，C)的Ω集合当且仅当f(A，B)≤C.

定义17^[6]   设(M_R，A)∈Ob(M_R^r(Ω))，(_RN，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，(M_R，A)与(_RN，B)的张量积是指平衡乘积((T，C)，f)，使得对于(M_R，A)与(_RN，B)的任意平衡乘积((P，D)，g)，存在唯一的h∈Hom_AG(Ω)((T，C)，(P，D))，使得$ h\circ f=g $，即下图交换：

引理9^[6]   ((T，C)，f)是(M_R，A)和(_RN，B)的张量积，当且仅当：

(ⅰ) (T，f)是M_R和_RN的张量积；

(ⅱ) C=〈f(A，B)〉.

设(M_R，A)∈Ob(M_R^r(Ω))，(_RN，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，则M_R∈Ob(M_R^r)，_RN∈Ob (M_R^l).由张量积的存在性定理，$ \left( M\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, N, \underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \right) $是M_R与_RN的张量积.令$ A\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, B=\left\langle \underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( A, B \right) \right\rangle $，由引理2可知，$ \left( \left( M\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, N, A\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, B \right), \underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \right) $是(M_R，A)与(_RN，B)的张量积.于是有以下引理：

引理10^[6]   设(M_R，A)∈Ob(M_R^r(Ω))，(_RN，B)∈Ob (M_R^l(Ω))，则$ \left( {\left( {{M_R}\mathop \otimes \limits_R {_R}N, A\mathop \otimes \limits_R B} \right), \mathop \otimes \limits_R } \right) $是(M_R，A)与(_RN，B)的张量积.

引理11   设(M_Rⁱ，A_i)∈Ob(M_R^r(Ω))(i∈I)，(_RN，B)∈Ob (M_R^l(Ω))，则有同构

定义18^[7]   任意取定(M_R，A)∈Ob(M_R^r(Ω))，定义张量函子

对于任意(_RN，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，

对于任意$ \left( _{R}N, B \right)\xrightarrow{f}\left( _{R}P, C \right)\in \text{Mor}\left( M_{R}^{\text{l}}\left( \mathit{\Omega} \right) \right) $，

容易验证$ \left( {{M}_{R}}, A \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, -;M_{R}^{\text{l}}\left( \mathit{\Omega} \right)\to \text{AG}\left( \mathit{\Omega} \right) $为加法共变函子.

同理，对于取定的(_RN，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，可定义张量函子

同样也是加法共变函子.

定理1^[7]   对每一个(M_R，A)∈Ob(M_R^r(Ω))，张量函子$ \left( {{M}_{R}}, A \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, - $-是右正合函子.

定理2^[7]   对每一个(_RN，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，张量函子$ -\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}N, B \right) $是左正合函子.

定义19   设(F_R，C)∈Ob(M_R^r(Ω))，如果张量函子$ \left( {{F}_{R}}, C \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, - $-是右正合函子，则称(F_R，C)是平坦Ω-右R-模.类似可定义平坦Ω-左R-模.

以下讨论平坦Ω-右R-模的等价刻画，平坦Ω-左R-模可类似地讨论.

定理3^[18]   设(F_R，C)∈Ob(M_R^r(Ω))，则以下结论等价：

(ⅰ) (F_R，C)是平坦Ω-右R-模；

(ⅱ)如果$ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{f}\left( _{R}N, B \right) $是Ω-lm正合列，则

是Ω-ag正合列；

(ⅲ)如果$ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{f}\left( _{R}N, B \right)\xrightarrow{g}\left( _{R}U, C \right)\to \left( O, \hat{O} \right) $是Ω-lm短正合列，则

是Ω-ag短正合列.

证   根据定理1和定义19可证结果.

命题1   (F_Rⁱ，C_i)(i∈I)是平坦Ω-右R-模当且当$ \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right) $是平坦Ω-右R-模.

证   由于(F_Rⁱ，C_i)(∀i∈I)是平坦Ω-右R-模，当且当对任意Ω-lm正合列$ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{f}\left( _{R}N, B \right) $，其诱导同态$ 0\to \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{{{I}_{i}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, f}\left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}N, B \right) $是Ω-ag正合列，当且当$ \left( O, \hat{O} \right)\to \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}M, A \right) \right)\xrightarrow{\underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( {{I}_{i}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, f \right)}\underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}N, B \right) \right) $是Ω-ag正合列，当且当$ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right) \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{\left( \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, {{I}_{i}} \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, f}\left( \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right) \right)\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, \left( _{R}N, B \right) $是Ω-ag正合列，当且当$ \underset{i\in I}{\mathop{\oplus }}\, \left( F_{R}^{i}, {{C}_{i}} \right) $是平坦Ω-右R-模.

定理4   (F_R，C)∈Ob(M_R^r(Ω))是平坦Ω-右R-模当且当F_R∈Ob(M_R^r)是平坦右R-模.

证   如果$ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{f}\left( _{R}N, B \right) $是Ω-lm正合列，根据引理7，$ O{{\to }_{R}}M{{\xrightarrow{f}}_{R}}N $是左R-模正合列.由于F_R∈Ob(M_R^r)是平坦右R-模，所以$ O\to {{F}_{R}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}{_{R}}M\xrightarrow{{{1}_{F}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, f}{{F}_{R}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}{_{R}}N\ $是Abel群正合列.再根据引理7，有

是Ω-ag正合列，所以(F_R，C)∈Ob(M_R^r(Ω))是平坦Ω-右R-模.

反过来，如果$ O{{\to }_{R}}M{{\xrightarrow{f}}_{R}}N $是左R-模正合列，令B∈Ω(_RN)，A=Bf∈Ω(_RM)，则$ \left( O, \hat{O} \right)\to \left( _{R}M, A \right)\xrightarrow{f}\left( _{R}N, B \right) $是Ω-lm正合列.由于(F_R，C)∈Ob(M_R^r(Ω))是平坦Ω-右R-模，所以

是Ω-ag正合列.根据引理7，于是$ O\to {{F}_{R}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}{_{R}}M\xrightarrow{{{1}_{F}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}\, f}{{F}_{R}}\underset{R}{\mathop{\otimes }}{_{R}}N $是Abel群正合列，因此F_R∈Ob(M_R^r)是平坦右R-模.

定义20^[3]   设(X，A)是Ω-集合，称((F，D)，f)为(X，A)在范畴M_R^l(Ω)中的自由Ω-模，其中(F，D)∈Ob(M_R^l(Ω))，f∈Hom_Set(Ω)((X，A)，(F，D))满足：对于任意(M，B)∈Ob(M_R^l(Ω))，f∈Hom_Set(Ω)((X，A)，(F，D))，则存在唯一的h∈Hom_Set(Ω)((X，A)，(F，D))，使得$ g=h\circ f $，即下图交换：

定理5^[2-3]   ((F，D)，f)是Ω-集合(X，A)在范畴M_R^l(Ω)中的自由模当且当：

(ⅰ) ((F，D)，f)是X在左R-模范畴M_R^l中的自由模；

(ⅱ) D=〈f(A)〉.

由于自由右R-模是平坦右R-模，根据定理4可知：

推论1   自由Ω-右R-模是平坦Ω-右R-模.

定义21^[10]   设C是范畴，P ∈Ob(C).如果对范畴C中任意一个满态射f：A→B，以及任意给定的态射g：P→A，存在f在B上的扩张h：P→B，即下图交换：

则称P是范畴C中的一个投射对象.

定义22^[10]   设C是范畴，A∈Ob(C)，定义正变函子Hom_C(A，-)：C→Set为

称为正变Hom函子，并且用f^*表示Hom_C(A，f).

注3   设(M，A)，(N，B)∈Ob(M_R^l(Ω)).不难验证$ {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{M_R^{\rm{l}}\left( \mathit{\Omega} \right)}}\left( {\left( {M, A} \right), \left( {N, B} \right)} \right) $是加法交换群，因此是加法交换群范畴AG中的对象.因此，$ {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{M_R^l\left( \mathit{\Omega} \right)}}\left( {\left( {M, A} \right), - } \right) $是Ω-左R-模范畴M_R^l(Ω)到加法交换群范畴AG的正变函子.

定理6   设(P_R，C)∈Ob(M_R^r(Ω))，则(P_R，C)是投射Ω-右R-模当且当$ {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{M_R^{\rm{l}}\left( \mathit{\Omega} \right)}}\left( {\left( {{P_R}, C} \right), - } \right) $是共变正合函子.

由于投射右R-模是平坦右R-模，根据定理4可知：

推论2   投射Ω-右R-模是平坦Ω-右R-模.

定义23^[10]   设C是范畴，I ∈Ob(C)，如果对范畴C中任意一个单态射f：A→B，以及任意给定的态射g：A→I，存在f在B上的扩张h：B→I，即下图交换：

则称I是范畴C中的一个内射对象.

定义24^[10]   设C是范畴，A∈Ob(C)，定义反变函子Hom_C(-，A)：C^opSet为

称为反变Hom函子，并且用f^*表示Hom_C(f，A).

注4   设(M，A)，(N，B)∈Ob(M_R^l(Ω)).不难验证$ {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{M_R^{\rm{l}}\left( \mathit{\Omega} \right)}}\left( {\left( {N, B} \right), \left( {M, A} \right)} \right) $是加法交换群，因此是加法交换群范畴AG中的对象.因此，$ {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{M_R^{\rm{l}}\left( \mathit{\Omega} \right)}}\left( { - , \left( {M, A} \right)} \right) $是Ω-左R-模范畴M_R^l(Ω)到加法交换群范畴AG的反变函子.

定理7   设(J，D)∈Ob(M_R^l(Ω))，则(J，D)为内射Ω-模当且当$ {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{M_R^{\rm{l}}\left( \mathit{\Omega} \right)}}\left( {\left( {{P_R}, C} \right), - } \right) $是反变正合函子.

由于内射右R-模是平坦右R-模，根据定理4可知：

推论3   内射Ω-右R-模是平坦Ω-右R-模.