西南师范大学学报(自然科学版)   2019, Vol. 44 Issue (10): 11-15.  DOI: 10.13718/j.cnki.xsxb.2019.10.004
0
Article Options
  • PDF
  • Abstract
  • Figures
  • References
  • 扩展功能
    Email Alert
    RSS
    本文作者相关文章
    余海燕
    艾海明
    晏燕雄
    欢迎关注西南大学期刊社
     

  • 单群O5(4)和O5(9)的新刻画    [PDF全文]
    余海燕 1, 艾海明 2, 晏燕雄 1     
    1. 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715;
    2. 北京开放大学 科学技术学院, 北京 100081
    摘要:有限群的特征标给出了群结构的许多重要信息.利用特征标的维数来刻画有限群的结构是群论研究中一个重要的课题,Huppert猜想要求考虑群的所有不可约特征标维数,条件较强.只用群的阶和群的至多两个高维不可约特征标维数成功地刻画了单群O5(4)和O5(9).
    关键词有限群    群的阶    单群    特征标维数    

    本文涉及的群均为有限群,特征标为复特征标. Irr(G)表示群G的所有不可约特征标的集合,cd(G)={χ(1):χ∈Irr(G)}表示群G的所有不可约特征标维数的集合,而cd*(G)表示元素可以重复的多重集合.特别地,有|cd*(G)|=|Irr(G)|. Li(G)表示群G的不可约特征标的第i高维,其中i是正整数. Sylp(G)表示群G的全体Sylow-p子群的集合. H·M表示群H被群M非可裂的中心扩张,H×M表示群H被群M可裂的中心扩张.文中未说明的符号和术语都是标准的(见文献[1-2]).

    众所周知,有限群的特征标能反映出群结构的很多重要信息.文献[3]证明了有限单群能被其特征标表唯一决定.在2000年,Huppter提出如下猜想:

    Huppter猜想[4]   设H是非交换单群,若群G满足cd(G)=cd(H),则G$\cong$H×A,其中A是交换群.

    Huppter猜想指出:有限非交换单群G能够被它的所有不可约复特征标维数的集合所决定. Huppter证明了单群L2(q)和Sz(q)都是满足猜想的,同时还证明了猜想对26个散在单群中的19个,以及交错群An(n < 11)和部分李型单群也成立[4-6].文献[7-8]证明了3个散在单群Co1Co2Co3也满足Huppter猜想.

    受Huppter猜想的启发,文献[9]首先考虑了减弱Huppter猜想的条件对群结构产生的影响,并首次提出用群的阶和高维不可约特征标维数研究有限群结构的问题,且成功刻画出单K3-群、Mathieu单群及Janko单群[9-11].此后,文献[12-13]成功刻画了李型单群L5(2)、单K3-群的自同构群,部分单K4-群及Mathieu群的自同构群等.

    本文继续了这一研究,主要结果如下:

    定理1  设G是有限群,M是非交换单群,且|G|=|M|,

    (ⅰ)若M$\cong$O5(4),则G$\cong$M当且仅当L2(G)=L2(M),L3(G)=L3(M);

    (ⅱ若M$\cong$O5(9),则G$\cong$M当且仅当L2(G)=L2(M),L4(G)=L4(M).

    定理1的证明  定理1的必要性是显然的,下面只证充分性.

    (ⅰ) M=O5(4)

    此时,|G|=28·32·52·17.令βγ∈Irr(G),使得

    $ \beta \left( 1 \right) = {L_2}\left( G \right) = {2^8}\;\;\;\;\gamma \left( 1 \right) = {L_3}\left( G \right) = 3 \cdot 5 \cdot 17 $

    先证G不可解. (反证法)假设G可解,则G中存在指数为9的Hall子群T.考虑GT的右陪集上的置换表示,有G/TGS9,其中TG为该置换表示的核.应用Magma计算,且考虑G的阶,则对称群S9的阶可被9整除的可解子群的阶只可能是2m·32,其中0≤m≤7.因此

    $ \left| {{T_G}} \right| = {2^{8 - m}} \cdot {5^2} \cdot 17 $

    当|TG|=28·52·17时,有|G/TG|=9.易知O2(TG)=1.否则,由O2(TG) Char TG$\underline \triangleleft $GO2(TG)$\underline \triangleleft $G.根据文献[1]的定理6.2,令θ∈Irr(O2(TG))使得[βO2(TG),θ]≠0,则

    $ \beta \left( 1 \right)/\theta \left( 1 \right)\left| {\left| {G:{O_2}\left( {{T_G}} \right)} \right|} \right. $

    故|O2(TG)||θ(1).矛盾.同理得O17(TG)=1.所以

    $ F\left( {{T_G}} \right) = {O_2}\left( {{T_G}} \right) \times {O_5}\left( {{T_G}} \right) \times {O_{17}}\left( {{T_G}} \right) = {O_5}\left( {{T_G}} \right) \ne 1 $

    因此|F(TG)|=5或|F(TG)|=52.由N/C定理有

    $ {T_G}/{C_{{T_G}}}\left( {F\left( {{T_G}} \right)} \right) \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel\prec\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} {\rm Aut} \left( {F\left( {{T_G}} \right)} \right) $

    TG可解,有

    $ {C_{{T_G}}}\left( {F\left( {{T_G}} \right)} \right) \subseteq F\left( {{T_G}} \right) $

    若|F(TG)|=5,则|Aut(F(TG))|=4,于是

    $ 17\left| {\left| {{T_G}/{C_{{T_G}}}\left( {F\left( {{T_G}} \right)} \right)} \right|} \right.\left| {\left| { {\rm Aut} \left( {F\left( {{T_G}} \right)} \right)} \right|} \right. $

    矛盾.若|F(TG)|=52,则F(TG)是交换群,根据文献[1]的定理6.15,有

    $ \gamma \left( 1 \right)\left| {\left| {G:F\left( {{T_G}} \right)} \right|} \right. = {2^8} \cdot {3^2} \cdot 17 $

    矛盾.当|TG|=27·52·17时,由于TG可解,令T17∈Syl17(TG),根据文献[11]的引理2知,T17$\underline \triangleleft $TG$\underline \triangleleft $G,故T17$\underline \triangleleft $G.因为T17交换,而γ(1)$\nmid $G:T17|,与文献[1]的定理6.15矛盾.类似的方法可证明

    $ \left| {{T_G}} \right| \ne {2^{8 - r}} \cdot {5^2} \cdot 17\;\;\;\;\;\;2 \le r \le 7 $

    因此G不可解.根据文献[10]的引理1知,存在G的一个正规群列1$\underline \triangleleft $H$\underline \triangleleft $K$\underline \triangleleft $G,使得K/H同构于非交换单群的直积,且|G/K|||Out(K/H)|.由于|G|=28·32·52·17,由文献[2]知,K/H只可能同构于A5A6L2(17),L2(16),A5×A5O5(4).

    情形1   K/H$\not\cong $A5

    K/H$\cong$A5,则由

    $ \left| {{A_5}} \right| = {2^2} \cdot 3 \cdot 5\;\;\;\;\;\left| {{\rm{Out}}\left( {{A_5}} \right)} \right| = 2 $

    知|G/K|=1,2.因|G/K|=2时的讨论方法完全类似于|G/K|=1的情形,故只证|G/K|=1时的情形.

    若|G/K|=1,则|H|=26·3·5·17.根据文献[1]的定理6.2,令θφ∈Irr(H),使[γHθ]≠0,[βHφ]≠0,则

    $ \gamma \left( 1 \right)/\theta \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 $

    故17|θ(1).又由β(1)/φ(1)||G:H|,得26|φ(1).如果H可解,令H17∈Syl17(H),由文献[11]的引理2知H17$\underline \triangleleft $H$\underline \triangleleft $G,故H17$\underline \triangleleft $G.因为H17交换,而γ(1)$\nmid $|G:H17|,与文献[1]的定理6.15矛盾.因此H不可解,由文献[10]的引理1知,存在H的正规群列1$\underline \triangleleft $N$\underline \triangleleft $M$\underline \triangleleft $H,使得M/N同构于非交换单群的直积,且|H/M|||Out(M/N)|.因为|H|=26·3·5·17,则M/N同构于A5L2(16).

    M/N$\cong$A5时,则|H/M|=1,2.于是|N|=24·17,23·17.根据文献[1]的定理6.2,令ε∈Irr(N)使得[θNε]≠0,则θ(1)/ε(1)||H:N|,故17|ε(1).但ε(1)2≥172>|N|,矛盾.

    M/N$\cong$L2(16)时,则|H/M|=1,2,4.若|H/M|=1,则|N|=22,从而φ(1)||H:N|,矛盾.若|H/M|=2,则|N|=2且NZ(H),从而HNL2(16)的中心扩张.由于L2(16)的Shur乘子为1,因此HNL2(16)可裂的中心扩张,故H$\cong$L2(16)×C2.因为26|φ(1),但H中不可能有64的倍数维不可约特征标,矛盾.若|H/M|=4,则|N|=1,且M$\cong$L2(16),故H$\cong$L2(16)×C4H$\cong$L2(16)×C2×C2,但26|φ(1),这显然不可能.

    情形2     K/H$\not\cong $A6

    K/H $\cong$A6,则|G/K|=2r,其中0≤r≤2,于是|H|=25-r·5·17.因H可解,根据文献[11]的引理2,令H17∈Syl17(H),有H17$\underline \triangleleft $H$\underline \triangleleft $G,故H17$\underline \triangleleft $G.从而γ(1)||G:H17|=28·32·52,矛盾.

    情形3    K/H$\not\cong $L2(17)

    K/H$\cong$L2(17),则

    $ \left| {{L_2}\left( {17} \right)} \right| = {2^4} \cdot {3^2} \cdot 17\;\;\;\;\left| {{\rm Out}\left( {{L_2}\left( {17} \right)} \right)} \right| = 2 $

    从而|G/K|=1,2.

    当|G/K|=1时,则|H|=24·52.令θφ∈Irr(H),使得[γHθ]≠0,[βHφ]≠0,则

    $ \gamma \left( 1 \right)/\theta \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^4} \cdot {3^2} \cdot 17 $

    θ(1)=5.由β(1)/φ(1)||G:H|知φ(1)=24.由Magma验算知,5,16$ \notin $cd*(H),矛盾.当|G/K|=2时,则|H|=23·52.因为H可解,令H5∈Syl5(H),由文献[11]的引理2知H5$\underline \triangleleft $H,由于H$\underline \triangleleft $G,故H5$\underline \triangleleft $G.因H5交换,而γ(1) |G:H5|,矛盾.

    情形4    K/H$\not\cong $L2(16)

    K/H$\cong$L2(16),则|L2(16)|=24·3·5·17.从而

    $ \left| {{\rm Out}\left( {{L_2}\left( {16} \right)} \right)} \right| = 4\;\;\;\;\;\;\left| {G/K} \right| = 1,2,4 $

    当|G/K|=1时,则|H|=24·3·5.令θ∈Irr(H)使得[βHθ]≠0,则

    $ \beta \left( 1 \right)/\theta \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 $

    故24|θ(1),但θ(1)2≥28>|H|,矛盾.当|G/K|=2时,则|H|=23·3·5.根据文献[1]的定理6.2,令φ∈Irr(H)使得[βHφ]≠0,则

    $ \beta \left( 1 \right)/\varphi \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^5} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 $

    θ(1)=23.令ϕ∈Irr(H)使得[γHϕ]=e≠0,则γH=eti=1ϕi,其中t=|G:IG(ϕ)|,且γ(1)=etϕ(1)=3·5·17.由Magma计算知8∈cd*(H),则只可能

    $ {\rm{c}}{{\rm{d}}^*}\left( H \right) = \left\{ {1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,4,4,8} \right\} $

    因此只能ϕ(1)=1.从而t≤5,e≥3·17,但[γHγH]=e2t≥32·172·5>|G:H|,矛盾于文献[1]的引理2.29.同理,|G/K|≠4.

    情形5    K/H$\not\cong $A5×A5

    K/H$\cong$A5×A5,则由|A5×A5|=24·32·52,知|Out(A5×A5)|=8.于是|G/K|=2r,其中0≤r≤3.从而|H|=24-r·17.令θ∈Irr(H)使得[γHθ]≠0,则

    $ \gamma \left( 1 \right)/\theta \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^{4 + r}} \cdot {3^2} \cdot {5^2} $

    故17|θ(1),但θ(1)2≥172>|H|,矛盾.

    情形6 K/H$\cong$O5(4)

    通过比较G与O5(4)的阶,知|H|=1.故G$\cong$O5(4).

    (ⅱ) M=O5(9)

    此时|G|=28·38·52·41.令βγ∈Irr(G)使得

    $ \beta \left( 1 \right) = {L_2}\left( G \right) = {3^8}\;\;\;\;\;\;\gamma \left( 1 \right) = {L_4}\left( G \right) = {2^8} \cdot {5^2} $

    先证明G不可解.假设G可解,令XG的极小正规子群,X是初等交换p-群,其中p=2,3,5,41.下面根据X的阶取值不同进行讨论.

    若|X|=2r,其中1≤r≤8,则

    $ \left| {G:X} \right| = {2^{8 - r}} \cdot {3^8} \cdot {5^2} \cdot 41 $

    根据文献[1]的定理6.15,故γ(1)||G:X|,矛盾.类似的方法可证明|X|≠3s,其中1≤s≤8和|X|≠5m,1≤m≤2.若|X|=41,则|G:X|=28·38·52.令δ∈Irr(X)使得[βXδ]=e≠0,则βX=eti=1δi,其中t=|G:IG(δ)|,且β(1)=etδ(1)=38.由于X交换,故δ(1)=1,因此et=38.因为|Out(X)|=40=23·5,所以t≤1.但[βXβX]=e2t≥316>|G:X|,矛盾于文献[1]的引理2.29,且有O41(G)=1,因此G不可解.根据文献[10]的引理1,存在G的一个正规群列1$\underline \triangleleft $H$\underline \triangleleft $K$\underline \triangleleft $G,使得K/H同构于非交换单群的直积,且|G/K|||Out(K/H)|.考虑G的阶,且根据文献[2]知,K/H只可能同构于A5A6U4(2),L2(34),A5×A5A6×A6O5(9).

    情形1   K/H$\not\cong $A5

    K/H$\cong$A5,则由|A5|=22·3·5,知|Out(A5)|=2,于是|G/K|=1,2.下面只证|G/K|=1时的情形,因为|G/K|=2时的证明完全类似.

    当|G/K|=1时,|H|=26·37·5·41.如果H可解,令H41∈Syl41(H),根据文献[11]的引理2,故H41$\underline \triangleleft $H,从而O41(H)≠1.因为H$\underline \triangleleft $G,有O41(H)⊆O41(G),矛盾,因此H不可解.由文献[10]的引理1,存在H的一个正规群列1$\underline \triangleleft $N$\underline \triangleleft $M $\underline \triangleleft $H,使得M/N同构于非交换单群的直积,且|H/M|||Out(M/N)|.由于|H|=26·37·5·41,M/N只可能同构于单群A5A6U4(2),L2(34).

    M/N$\cong$A5,则|H/M|=1,2.当|H/M|=1时,则|N|=24·36·41.由于N可解,令N41∈Syl41(N),根据文献[11]的引理2知N41$\underline \triangleleft $N,又由于N$\underline \triangleleft $H,故N41$\underline \triangleleft $H,从而O41(H)≠1.由H$\underline \triangleleft $GO41(H)⊆O41(G),矛盾.同理可证|H/M|≠2.

    类似地证明M/N$\not\cong $A6U4(2).

    M/N$\cong$L2(34),则|Out(L2(34))|=23.由于|H|2=26,则|H/M|≠8,即|H/M|=1,2,4.当|H/M|=1时,则|N|=22·33.根据文献[1]的定理6.2,令ε∈Irr(N),使得[βNε]≠0,则

    $ \beta (1)/\varepsilon (1)\left| {\left| {G:N} \right|} \right. = {2^6} \cdot {3^5} \cdot {5^2} \cdot 41 $

    故33|ε(1).但ε(1)2≥36>|N|,矛盾.同理可证|H/M|≠2,4.

    类似于情形1的方法可证K/H$\not\cong $A6U4(2).

    情形2    K/H$\not\cong $L2(34)

    K/H$\cong$L2(34),则由|L2(34)|=24·34·5·41知|Out(L2(34))|=8,从而|G/K|=2r,其中0≤r≤3,此时|H|=24-r·34·5.令φ∈Irr(H)使得[βHφ]≠0,则

    $ \beta \left( 1 \right)/\varphi \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^{4 + r}} \cdot {3^4} \cdot 5 \cdot 41 $

    故34|φ(1),但φ(1)2>|H|,矛盾.

    完全类似的方法可证明K/H$\not\cong $A5×A5.

    情形3    K/H$\not\cong $A6×A6

    K/H$\cong$A6×A6,则由|A6×A6|=26·34·52知|Out(A6×A6)|=25.因为|G|2=28,故|G/K|=2r,其中0≤r≤2.若|G/K|=1,则|H|=22·34·41.由于H可解,令H41∈Syl41(H),根据文献[11]的引理2,有H41$\underline \triangleleft $H,且O41(H)≠1.由H$\underline \triangleleft $GO41(H)⊆O41(G),即O41(G)≠1,矛盾.同理可证|G/K|≠2.若|G/K|=4,则|H|=34·41.令ψ∈Irr(H)使得[βHψ]≠0,则

    $ \beta \left( 1 \right)/\psi \left( 1 \right)\left| {\left| {G:H} \right|} \right. = {2^8} \cdot {3^4} \cdot {5^2} $

    故34|ψ(1),但ψ(1)2>|H|,矛盾.

    情形4   K/H$\cong$O5(9)

    通过比较GO5(9)的阶知|H|=1,故G$\cong$O5(9).

    参考文献
    [1]
    ISAACS I M. Character Theory of Finite Groups[M]. New York: Academic Press, 1976.
    [2]
    CONWAY J H, CURTIS R T, NORTON S P, et al. Atlas of Finite Groups[M]. New York: Clarendon Press, 1985.
    [3]
    CHEN G Y. A New Characterization of Finite Simple Groups[J]. Chinese Science Bulletin, 1995, 40(6): 446-450.
    [4]
    HUPPERT B. Some Simple Groups which are Determined by The Set of Their Character DegreesI[J]. Illinois JMath, 2000, 44(4): 828-842. DOI:10.1215/ijm/1255984694
    [5]
    HUPPERT B, BLACKBURM N. Finite Groups II[M]. New York: Springer-Verlag, 1982.
    [6]
    HUPPERT B, BLACKBURM N. Finite Groups III[M]. New York: Springer-Verlag, 1982.
    [7]
    ALAVI S H, DANESHKHAH A, TONG-VIET H P, et al. On Huppert's Conjecture for the Conway and Fischer Families of Sporadic Simple Groups[J]. J Austral Math Soc, 2013, 94(3): 289-303. DOI:10.1017/S1446788712000535
    [8]
    ALAVI S H, DANESHKHAH A, TONG-VIET H P, et al. Huppert's Conjecture for Fi23[J]. RendSeminMathUnivPadova, 2011, 126: 201-211.
    [9]
    徐海静.群的特征标性质与群结构的研究[D].重庆: 西南大学, 2011. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10635-1011113534.htm
    [10]
    XU H J, CHEN G Y, YAN Y X. A New Characterization of Simple K3-Groups by Their Orders and Large Degrees of Their Irreducible Characters[J]. Communications in Algebra, 2014, 42(12): 5374-5380. DOI:10.1080/00927872.2013.842242
    [11]
    XU H J, YAN Y X, CHEN G Y. A New Characterization of Mathieu-Groups by The Order and One Irreducible Character Degree[J]. J Inequal Appl, 2013(1): 209.
    [12]
    张伟, 晏燕雄, 赵先鹤. 李型单群L5(2)的新刻画[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2014, 39(7): 18-21.
    [13]
    晏燕雄.弱条件下有限群的数量性质与群结构的研究[D].重庆: 西南大学, 2013.
    A New Characterization of Simple Groups O5(4) and O5(9)
    YU Hai-yan 1, AI Hai-ming 2, YAN Yan-xiong 1     
    1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;
    2. School of Science and Technology, Beijing Open University, Beijing 100081, China
    Abstract: The characters of a finite group can give some important information about the group's structure. It is an important subject in the study of group theory to characterize the structure of finite groups by the dimension of character, Huppter's conjecture requires that all irreducible characteristic dimension of the group with strong conditions. In this paper, we successfully characterize the simple group O5(4) and O5(9) only with the order of a group and the scalar dimension of at most two large irreducible character degrees.
    Key words: finite group    order of finite group    simple group    character degree    
    X