西南师范大学学报(自然科学版)   2019, Vol. 44 Issue (10): 30-33.  DOI: 10.13718/j.cnki.xsxb.2019.10.007
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    张增乐
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  • 关于欧氏空间$\mathbb R^n$中凸体的曲率积分不等式    [PDF全文]
    张增乐     
    重庆文理学院 数学与大数据学院, 重庆 永川 402160
    摘要:建立关于欧氏空间$\mathbb R^n$中C2边界光滑凸体的曲率积分不等式,这些新的曲率积分不等式将包含欧氏平面$\mathbb R^n$上一些已知的著名的曲率积分不等式.
    关键词光滑凸体    Gauss曲率    曲率积分不等式    

    几何不等式描述了几何不变量(体积、面积、Gauss曲率、平均曲率等)间的关系[1-12].这些几何不等式可分为内蕴(体积、面积、长度、Gauss曲率等)与外蕴(法曲率、平均曲率等)几何不等式.经典的等周不等式与Minkowski不等式是内蕴几何不等式,关于外蕴几何不等式,我们知之甚少.以下著名的Ros不等式是关于外蕴几何不变量与内蕴几何不变量的不等式(参见文献[11-12]):

    Ros不等式:设Σ为嵌入在$\mathbb R^3$中的紧致闭C2曲面,其包含的体积为V.若Σ的平均曲率H>0,则

    $ \int_\mathit{\Sigma } {\frac{1}{H}{\text{d}}A} \geqslant 3V $ (1)

    其中AΣ的面积,等号成立当且仅当Σ为球面.

    对于平面上的光滑闭曲线,有以下平面上的Ros不等式:设γ为欧氏平面$\mathbb R^2$上的简单光滑闭曲线,其周长与面积分别为LA.若曲线γ的曲率κ>0,则

    $ \int_\gamma {\frac{1}{\kappa }{\text{d}}s} \geqslant 2A $ (2)

    其中s为弧长参数,等号成立当且仅当γ为圆.

    文献[10]加强了不等式(2),得到以下结果:

    $ \int_\gamma {\frac{1}{\kappa }{\text{d}}s} \geqslant \frac{{{L^2}}}{{2{{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} $ (3)

    等号成立当且仅当γ为圆.由平面上的等周不等式知(3)式强于(2)式.

    文献[10]中有猜想:设K$\mathbb R^n$C2边界光滑的凸体,设S(K)与V(K)分别为K的表面积与体积,是否存在一个与其边界∂K主曲率相关的曲率函数f(κ1,…,κn-1),使得

    $ \int_{x \in \partial K} f \left( {{\kappa _1}, \cdots ,{\kappa _{n - 1}}} \right){\text{d}}S(x) \geqslant {\left( {\frac{{S{{(K)}^n}}}{{n{\omega _n}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} $ (4)

    其中S(·)是边界∂K的面积元,ωn$\mathbb R^n$中的单位球的体积,且不等式成立当且仅当K为球.欧氏平面$\mathbb R^2$的情形下,(4)式中的曲率函数变为$f(\kappa)=\frac{1}{\kappa}$.

    本文将给出一类$\mathbb R^n$C2边界光滑凸体的Gauss曲率的积分不等式(参见定理1).特别地,当定理1中的次幂取$t=-\frac{1}{n-1}$时,有

    $ \int_{x \in \partial K} {H_{n - 1}^{\frac{{ - 1}}{{n - 1}}}} {\text{d}}S(x) \geqslant {\left( {\frac{{S{{(K)}^n}}}{{n{\omega _n}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} $

    其中Hn-1K边界的Gauss曲率.对于平面上的凸体,$H_{n-1}^{\frac{-1}{n-1}}$变为$\frac{1}{\kappa}$,这说明不等式(4)中的曲率函数取$H_{n-1}^{\frac{-1}{n-1}}$时,(4)式成立.此外,当曲率函数取f(κ1,…,κn-1)= $\frac{H_{n-2}}{H_{n-1}}$时,(4)式仍成立(参见定理2),其中Hn-2为(n-2)阶平均曲率.最后,我们将给出定理2的推广形式(参见定理3).

    1 预备知识

    K为欧氏空间中的点集,若对于任意两点xyK,有

    $ \lambda x + (1 - \lambda )y \in K\;\;\;\;0 < \lambda < 1 $

    则称K为凸集. $\mathbb R^n$中的非空紧凸集K称为凸体.凸体的边界∂K称为凸超曲面.凸体K的支撑函数定义为

    $ {h_K}(u) = \max \{ u \cdot x:x \in K\} \;\;\;\;u \in {S^{n - 1}} $

    其中Sn-1表示$\mathbb R^n$中的单位球面.

    S为欧式空间$\mathbb R^n$的超曲面,pS上的任意一点,NSp点处的单位法向量.设x(s)为S上过p点的一条曲线,并且x(0)=p,其中s为曲线x(s)的弧长参数.对于曲线x(s),其曲率向量在N方向的分量仅依赖于单位切向量T=x′(0).当曲线x(s)变化时,我们得到一系列值x″(sN=κ(T),称之为超曲面Sp点处沿T方向的法曲率. κ(T)是切空间的一个二次形式Q在单位球上的限制.存在单位正交基e1,…,en-1对角化Q.方向e1,…,en-1称为超曲面Sp点处的主曲率方向.与之所对应的值κ1=κ(e1),…,κn-1=κ(en-1)称为超曲面Σp点处的主曲率.

    考虑高斯映射gp $\longrightarrow$Np,微分得dgpx′(t)$\longrightarrow$N′(t),又满足Rodrigues方程

    $ {\text{d}}{g_p}\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}} \right) = - {\kappa _i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\;\;\;\;i = 1, \cdots ,n - 1 $

    我们得到关于主曲率的对称函数,称之为高阶中曲率.我们用Hk表示第k阶平均曲率,

    $ {H_k} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1} \\ k \end{array}} \right)^{ - 1}}\sum\limits_{1 \leqslant {i_1} < \cdots < {i_k} \leqslant n - 1} {{\kappa _{{i_1}}} \cdots {\kappa _{{i_k}}}} \;\;\;\;k = 1, \cdots ,n - 1 $

    此时H0=1.当k=1时,H1为超曲面S的平均曲率;当k=n-1时,Hn-1为超曲面S的Gauss-Kronecker曲率.即我们得到平均曲率

    $ {H_1} = \frac{1}{{n - 1}}\left( {{\kappa _1} + \cdots + {\kappa _{n - 1}}} \right) = - \frac{1}{{n - 1}}{\rm tr}\left( {{\text{d}}{g_p}} \right) $

    以及Gauss-Kronecker曲率

    $ {H_{n - 1}} = {\kappa _1} \cdots {\kappa _{n - 1}} = {( - 1)^{n - 1}}{\rm det}\left( {{\text{d}}{g_p}} \right) $

    K$\mathbb R^n$中的C2边界光滑的凸体,则

    $ {H_{n - 1}}{\text{d}}S(x) = {\text{d}}\mathit{\boldsymbol{u}} $ (5)

    其中uSn-1为边界∂Kx处的单位外法向量,du表示Sn-1上的面积元.

    $r_{i}=\frac{1}{\kappa_{i}}$i=1,…,n-1,则ri称为主曲率半径.称

    $ {F_k} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1} \\ k \end{array}} \right)^{ - 1}}\sum\limits_{1 \leqslant {i_1} < \cdots < {i_k} \leqslant n - 1} {{r_{{i_1}}} \cdots {r_{{i_k}}}} \;\;\;\;k = 1, \cdots ,n - 1 $

    Kk阶曲率函数.函数HkFk有如下关系

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_k} = \frac{{{H_{n - 1 - k}}}}{{{H_{n - 1}}}}}&{{H_k} = \frac{{{F_{n - 1 - k}}}}{{{F_{n - 1}}}}} \end{array} $ (6)
    2 $\mathbb R^n$中的曲率积分不等式

    定理1  设K$\mathbb R^n$中的C2边界光滑的凸体,则

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}{{(u)}^t}{\text{d}}S(K,u) \leqslant {{\left( {n{\omega _n}} \right)}^t}S{{(K)}^{1 - t}}} }&{t \in ( - \infty ,0) \cup (1, + \infty )} \end{array} $ (7)
    $ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}{{(u)}^t}{\text{d}}S(K,u) \leqslant {{\left( {n{\omega _n}} \right)}^t}S{{(K)}^{1 - t}}} }&{t \in \left[ {0,1} \right]} \end{array} $ (8)

    t=0,1时,等式成立;当t≠0,1时,等号成立当且仅当K为球.

      当t>0且t≠1时.由(5)式与Hölder不等式,我们有

    $ \begin{gathered} {\left( {n{\omega _n}} \right)^{\frac{{ - t}}{{1 - t}}}}{\left( {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {{(u)}^t}{\text{d}}S(K,u)} \right)^{\frac{1}{{1 - t}}}} = \hfill \\ {\left( {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} (u){\text{d}}S(K,u)} \right)^{\frac{{ - t}}{{1 - t}}}}{\left( {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {{(u)}^t}{\text{d}}S(K,u)} \right)^{\frac{1}{{1 - t}}}} \leqslant \hfill \\ \int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {(u)^{\frac{{ - t}}{{1 - t}}}} \cdot {g_K}{(u)^{\frac{t}{{1 - t}}}}{\text{d}}S(K,u) = S(K) \hfill \\ \end{gathered} $

    由Hölder不等式等号成立的条件,等式成立当且仅当gK为常数,即K为球.故当t∈(0,1)时,有

    $ \int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {(u)^t}{\text{d}}S(K,u) \leqslant {\left( {n{\omega _n}} \right)^t}S{\left( K \right)^{1 - t}} $

    t∈(1,+∞)时,有

    $ \int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {(u)^t}{\text{d}}S(K,u) \geqslant {\left( {n{\omega _n}} \right)^t}S{\left( K \right)^{1 - t}} $

    t∈(-∞,0)时,由逆向的Hölder不等式,我们有

    $ \begin{gathered} {\left( {n{\omega _n}} \right)^{\frac{{ - t}}{{1 - t}}}}{\left( {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {{(u)}^t}{\text{d}}S(K,u)} \right)^{\frac{1}{{1 - t}}}} = \hfill \\ {\left( {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} (u){\text{d}}S(K,u)} \right)^{\frac{{ - t}}{{1 - t}}}}{\left( {\int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {{(u)}^t}{\text{d}}S(K,u)} \right)^{\frac{1}{{1 - t}}}} \geqslant \hfill \\ \int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {(u)^{\frac{{ - t}}{{1 - t}}}} \cdot {g_K}{(u)^{\frac{t}{{1 - t}}}}{\text{d}}S(K,u) = S(K) \hfill \\ \end{gathered} $

    即当t∈(-∞,0)时,有

    $ \int_{{S^{n - 1}}} {{g_K}} {(u)^t}{\text{d}}S(K,u) \geqslant {\left( {n{\omega _n}} \right)^t}S{(K)^{1 - t}} $

    其中等号成立当且仅当K为球.

    在定理1中,若$t=-\frac{1}{n-1}$,我们得

    $ \int_S {H_{n - 1}^{\frac{{ - 1}}{{n - 1}}}} {\text{d}}S(x) \geqslant {\left( {\frac{{S{{(K)}^n}}}{{n{\omega _n}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} $ (9)

    这说明若曲率函数$f\left(\kappa_{1}, \cdots, \kappa_{n-1}\right)=H_{n-1}^{-\frac{1}{n-1}}$时,不等式(4)成立.定理1给出了一类内蕴几何不等式,下面我们将给出关于内蕴几何量与外蕴几何量的不等式.

    定理2  设K$\mathbb R^n$中的C2边界光滑的凸体,则

    $ \int_{x \in \partial K} {\frac{{{H_{n - 2}}}}{{{H_{n - 1}}}}} {\text{d}}S(x) \geqslant {\left( {\frac{{S{{(K)}^n}}}{{n{\omega _n}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} $ (10)

    等号成立当且仅当K为球.

      由Hn-2Hn-1的定义及代数-几何均值不等式,有

    $ H_{n - 2}^{\frac{1}{{n - 2}}} \geqslant H_{n - 1}^{\frac{1}{{n - 1}}} $

    等号成立当且仅当$\frac{1}{\kappa_{1}}=\cdots=\frac{1}{\kappa_{n-1}}$,即K为球.再由不等式(9),直接可得(10)式.

    n=2时,几何量$\frac{H_{n-2}}{H_{n-1}}$$\frac{1}{\kappa}$.因此,不等式(10)给出了(4)式中曲率函数的另一种情形.注意到1-阶曲率函数$F_{1}=\frac{H_{n-2}}{H_{n-1}}$,故不等式(10)可直接改写为

    $ \int_{x \in \partial K} {{F_1}} {\text{d}}S(x) \geqslant {\left( {\frac{{S{{(K)}^n}}}{{n{\omega _n}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} $

    下面,我们将给出关于Fk的积分不等式.

    定理3  设K$\mathbb R^n$中的C2边界光滑的凸体,则

    $ \int_{x \in \partial K} {{F_k}} {\text{d}}S(x) \geqslant \frac{{S{{(K)}^{1 + \frac{k}{{n - 1}}}}}}{{{{\left( {n{\omega _n}} \right)}^{\frac{k}{{n - 1}}}}}} $ (11)

    等号成立当且仅当K为球.

      由代数-几何均值不等式,我们有

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_k} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1} \\ k \end{array}} \right)}^{ - 1}}\sum\limits_{1 \leqslant {i_1} < \cdots < {i_k} \leqslant n - 1} {{r_{{i_1}}}} \cdots {r_{{i_k}}} \geqslant } \\ {{{\left( {\frac{1}{{{\kappa _1}{\kappa _2} \cdots {\kappa _{n - 1}}}}} \right)}^{\frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 2} \\ {k - 1} \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1} \\ k \end{array}} \right)}}}} = {{\left( {\frac{1}{{{H_{n - 1}}}}} \right)}^{\frac{k}{{n - 1}}}}} \end{array} $ (12)

    当定理1中的$t=-\frac{k}{n-1}$时,有

    $ \int_{x \in \partial K} {{{\left( {\frac{1}{{{H_{n - 1}}}}} \right)}^{\frac{k}{{n - 1}}}}} {\text{d}}S(x) \geqslant \frac{{S{{(K)}^{1 + \frac{k}{{n - 1}}}}}}{{{{\left( {n{\omega _n}} \right)}^{\frac{k}{{n - 1}}}}}} $ (13)

    再由(12)式,可得(11)式.

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    Integral Inequalities of Curvature for Convex Bodies in Euclidean Space $\mathbb R^n$
    ZHANG Zeng-le     
    School of Mathematics and Big Data, Chongqing University of Arts And Sciences, Yongchuan Chongqing 402160, China
    Abstract: In this paper, some integral inequalities of curvature have been established for smooth convex bodies in Euclidean space $\mathbb R^n$. Those inequalities obtained are extensions of known integral inequalities of curvature in the plane $\mathbb R^n$.
    Key words: smooth convex bodies    Gauss curvature    integral inequality of curvature    
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