西南师范大学学报(自然科学版)   2019, Vol. 44 Issue (12): 35-39.  DOI: 10.13718/j.cnki.xsxb.2019.12.007
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    王艳霞
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  • Ding f-投射模    [PDF全文]
    王艳霞 , 杨晓燕     
    西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070
    摘要:引入了Ding f-投射左R-模的概念.证明了:由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和以及直和项封闭;若R是左凝聚环,则由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张以及纯子模封闭.
    关键词Ding f-投射模    Ding投射模    凝聚环    

    1960年,Auslander和Bridger在双边noetherian环R上引入了有限生成模G-维数的概念.文献[1]推广了Auslander和Bridger的想法,在任意的环R上定义了Gorenstein投射模的概念.文献[2]证明了在noetherian环R上的有限生成R-模M是Gorenstein投射模当且仅当MG-维数为0的模,发现了Gorenstein投射模有许多投射模的性质.文献[3]引入了Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的两种特殊情况,分别叫做强Gorenstein平坦模和Gorenstein FP-内射模,这两种模的类在凝聚环上有许多性质类似于在noetherian环上Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的性质.文献[4]重新命名强Gorenstein平坦模是Ding投射模,Gorenstein FP-内射模是Ding内射模.由文献[5]的命题10.2.6知,有限表示模M是Ding投射模当且仅当在左完全环上,M是Gorenstein投射模,Gorenstein投射模是Ding投射模.因此,由文献[4]的推论4.6知,在Gorenstein环上,Gorenstein投射模是Ding投射模.

    利用有限生成投射模,文献[2]引入并研究了f-投射模. Gorenstein投射模是投射模的一类重要推广,文献[6]利用有限生成Gorenstein投射模引入了Gorenstein f-投射模. Ding投射模是Gorenstein投射模的一种特殊情形.受以上工作的启发,我们引入了Ding f-投射模的概念.

    我们给出了Ding f-投射模的刻画,证明了:由所有Ding f-投射模左R-模的类关于直和以及直和项封闭;若R是左凝聚环,则由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张以及纯子模封闭.

    文中未解释的概念和符号,请参见文献[7-9].

    本文中的R是带有单位元的结合环,所有模都是酉模.对左R-模MM**表示对偶模HomR(MR),δMMM**是自然赋值映射.

    由文献[10]知,如果存在投射模的正合序列

    $ P = \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to {P^0} \to {P^1} \to {P^1} \to \cdots $

    使得M$ \cong $Ker(P0P1),且对任意平坦左R-模F,有HomR(PF)是正合的,则左R-模M是Ding投射模.

    下面我们引入Ding f-投射模的定义.

    定义1  如果对任意左R-模,同态fAM都可以通过有限生成Ding投射模左R-模P分解,则左R-模M是Ding f-投射模,其中A是有限生成左R-模.

    等价地,对M的任意有限生成子模N,包含映射fNM可以通过有限生成Ding投射左R-模P分解.

    命题1   有限生成左R-模M是Ding f-投射模当且仅当M是Ding投射模.

      必要性  设有限生成左R-模M是Ding f-投射模.则恒等映射1MMM可以通过有限生成Ding投射左R-模D分解成gMDhDM使得hg=1M.因此MD的直和项.故M是Ding投射模.

    充分性  设M是有限生成Ding投射模.则有限生成左R-模NM的同态f可以通过有限生成Ding投射左R-模M分解.故M是Ding f-投射模.

    Γ={DiiI}是有限生成Ding投射左R-模同构类的代表半单无赘集,且设

    $ S = {{\rm End}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i}} \right) $

    AB是左R-模.则对任意f∈HomR(A,⊕iIDi),g∈HomR(⊕iIDiB),其中aA,有自然同态

    $ {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {A,{ \oplus _{i \in I}}{D_i}} \right){ \oplus _S}{\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},B} \right)\xrightarrow{{{\sigma _{A,B}}}}{\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {A,B} \right) $

    其中

    $ {\sigma _{A,B}}\left( {f \otimes g} \right)\left( a \right) = g\left( {f\left( a \right)} \right) $

    引理1   设B是左R-模,则以下结论等价:

    (ⅰ) B是Ding f-投射模;

    (ⅱ)对任意有限生成左R-模AσAB是满同态.

       (ⅰ)$\Rightarrow $(ⅱ)设α∈HomR(AB).因为B是Ding f-投射模,所以α可以通过有限生成Ding投射左R-模DkΓ分解.存在βAGkγGkB,使得α=γβ.设π:⊕iIDiDk是标准投射,且λDk→⊕iIDi是标准内射.取

    $ f = \lambda \beta \in {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {A,{ \oplus _{i \in I}}{D_i}} \right) $
    $ g = \gamma \pi \in {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},B} \right) $

    因为α=σAB(fg),所以σAB是满同态.

    (ⅱ)$\Rightarrow $(ⅰ)设A是有限生成左R-模,且φ∈HomR(AB).则存在

    $ {f_i} \in {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {A,{ \oplus _{i \in I}}{D_{i \in I}}} \right) $
    $ {g_i} \in {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},B} \right) $
    $ i = 1,2, \cdots ,n $

    使得

    $ \varphi = {\sigma _{A,B}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{f_i}} \otimes {g_i}} \right) $

    因为A是有限生成的,所以存在有限指标集JI,使得

    $ {\rm Im}\left( {{f_i}} \right) \subseteq { \oplus _{j \in J}}{D_j}\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n $

    定义ψA→(⊕jJDj)n

    $ a \mapsto \left( {{f_1}\left( a \right),{f_2}\left( a \right), \cdots ,{f_n}\left( a \right)} \right) $

    ξ:→(⊕jJDj)n B

    $ \left( {{c_1},{c_2}, \cdots ,{c_n}} \right) \mapsto \sum\limits_{i = 1}^n {{g_i}\left( {{c_i}} \right)} \;\;\;\;\;{c_i} \in { \oplus _{j \in J}}{G_j} $

    φ=ξψ.因为(⊕jJDj)n是有限生成Ding投射模,所以B是Ding f-投射模.

    由文献[5]知,如果对任意有限表示模F,序列${\rm{Ho}}{{\rm{m}}_R}(F, B)\mathop \to \limits^{{\beta ^*}} {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_R}(F, C) \to 0$是正合的,则正合序列$0 \to A\mathop \to \limits^a B\mathop \to \limits^\beta C \to 0$是纯的.

    下面给出本文的主要结果.

    定理1   由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和以及直和项封闭,若R是左凝聚环,则由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张以及纯子模封闭.

      设(Mj)jJ是一族Ding f-投射左R-模,Q是有限生成左R-模.对任意同态fQ→⊕jJMj,因为Q是有限生成的,所以存在有限指标集KJ,使得Im(f)⊆⊕kKMk.由引理1知

    $ {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {Q,{ \oplus _{i \in I}}{D_i}} \right){ \otimes _S}{\rm Hom}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},{M_k}} \right)\xrightarrow{{{\sigma _Q},{M_k}}} {\rm Hom}{ _R}\left( {Q,{M_k}} \right) \to 0 $

    正合.因此可以得到图 1.

    图 1 关于伴随同构的交换图

    因为下行正合,所以σQ,⊕kKMk是满同态.由引理1知,⊕kKMK是Ding f-投射模.定义τQ→⊕kKMK,使得对任意χQτ(χ)=f(χ).则τ可以通过有限生成Ding投射模Z分解成μQZυZ→⊕kKMk,使得τ=υμ.设ι:⊕kKMK→⊕jJMj是包含映射,则f=ιτ=(ιν)μ.因此⊕jJMj是Ding f-投射模.故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和封闭.

    U是Ding f-投射左R-模V的直和项.定义πVU是标准投射,iUV是标准嵌入.对任意有限生成左R-模X和任意同态αXU,存在有限生成Ding投射左R-模YβXYγY V,使得=γβ,则

    $ \left( {\pi \gamma } \right)\beta = \left( {\pi i} \right)\alpha = \alpha $

    因此U是Ding f-投射模.故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和项封闭.

    R是左凝聚环,且0→AB C→0是左R-模的纯正合序列.假设AC是Ding f-投射左R-模.因为DiΓ是有限表示的,所以

    $ 0 \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {{D_i},A} \right) \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {{D_i},B} \right) \to {\text{Ho}}{{\text{m}}_R}\left( {{D_i},C} \right) \to 0 $

    是正合的.因此可以得到正合序列

    $ 0 \to \prod\nolimits_{i \in I} {{\rm Hom}{ _R}\left( {{D_i},A} \right)} \to \prod\nolimits_{i \in I} {{\rm Hom}{ _R}\left( {{D_i},B} \right)} \to \prod\nolimits_{i \in I} {{\rm Hom}{ _R}\left( {{D_i},C} \right)} \to 0 $

    $ 0 \to {{\rm Hom}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},A} \right) \to {{\rm Hom}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},B} \right) \to {{\rm Hom}_R}\left( {{ \oplus _{i \in I}}{D_i},C} \right) \to 0 $

    正合.因此对任意有限生成左R-模N,可以得到图 2.

    图 2 关于有限生成左R-模N的交换图

    因为AC是Ding f-投射左R-模,所以由引理1知,σNAσNC是满的.由文献[5]的引理3.14知,σNB也是满的.因此B是Ding f-投射模,故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张封闭.

    R是左凝聚环,且$0 \to A\mathop \to \limits^\varepsilon B\mathop \to \limits^\rho C \to 0$是左R-模的纯正合序列.假设B是Ding f-投射左R-模.对任意有限生成左R-模M和任意同态αMA.因为B是Ding f-投射模,所以存在有限生成Ding投射左R-模DγMDψDB,使得εα=ψγ.设$M\mathop \to \limits^\gamma D\mathop \to \limits^\varphi L \to 0$是正合序列.则存在βLC,使得图 3交换.

    图 3 关于Ding f-投射模分解和纯正合列的交换图

    因为R是左凝聚环,所以D是有限表示的,且L也是有限表示的.又因为

    $ 0 \to {{\rm Hom}_R}\left( {L,A} \right) \to {{\rm Hom}_R}\left( {L,B} \right) \to {{\rm Hom}_R}\left( {L,C} \right) \to 0 $

    是正合的.所以存在ηLB,使得β=ρη.于是存在同态θDA,使得α=θγ.因此A是Ding f-投射模. 故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯子模封闭.

    由文献[11]知,如果每个有限生成无挠右R-模是有限表示的,则R是右Π-凝聚环.由文献[5]知,如果δMMM**是单同态,则左R-模M是无挠模.本文中,我们用DpdRM表示左R-模M的Ding投射维数.若存在最小的非负整数n,使得M有长度为n的Ding投射分解,则记DpdRMn;若n不存在,则记DpdRM=∞.我们用LDPD(R)表示R的左整体Ding投射维数,即

    $ {\text{LDPD}}\left( R \right) = \sup \left\{ {{\text{Dp}}{{\text{d}}_R}M:M\;是左\;R - 模} \right\} $

    定理2   设R是右Π-凝聚环,且LDPD(R)≤n.若存在正合序列

    $ 0 \to M \to {F^0} \to {F^1} \to \cdots \to {F^{n - 1}} $

    其中Fif-投射模,则M是Ding f-投射模左R-模.

      设

    $ 0 \to M \to {F^0} \to {F^1} \to \cdots \to {F^{n - 1}} \to L \to 0 $

    是正合序列.对任意有限生成左R-模N和同态fN M,由文献[12]的推论3.12知,每个有限生成左R-模有f-投射预包络.因此,我们可以构造复形

    $ 0 \to N \to {P^0} \to {P^1} \to \cdots \to {P^{n - 1}} \to D \to 0 $

    其中每个Pi是有限生成投射的,使得对任意f-投射左R-模Q,上述序列是HomR(-,Q)正合的.因为D是有限表示的,所以存在正合序列

    $ 0 \to C \to {P_{n - 1}} \to \cdots \to {P_1} \to {P_0} \to D \to 0 $

    其中Pi是有限生成投射的.则C是有限生成Ding投射左R-模.我们可以得到图 4.

    图 4 关于比较引理的交换图

    我们也可以得到图 5.

    图 5 关于同伦引理的交换图

    由同伦引理知,fαh可以通过ιNP0分解.即存在βP0M,使得f=αh+βι.因此f可以通过有限生成Ding投射模左R-模CP0分解.故M是Ding f-投射模.

    参考文献
    [1]
    ENOCHS E E, JENDA O M G. Gorenstein Injective and Projective Modules[J]. Mathematische Zeitschrift, 1995, 200(1): 611-633.
    [2]
    AZUMAYA G. Finite Splitness and Finite Projectivity[J]. JAlgebra, 1987, 106(1): 114-134.
    [3]
    DING N Q, LI Y L, MAO L X. Strongly Gorenstein Flat Modules[J]. JAustMathSoc, 2009, 86(3): 323-338.
    [4]
    GILLESPIE J. Model Structures on Modules Over Ding-Chen Rings[J]. Homology, Homotopy and Appl, 2010, 12(1): 61-73. DOI:10.4310/HHA.2010.v12.n1.a6
    [5]
    ENOCHS E E, JENDA O M G. Relative Homological Algebra[M]. Berlin, New York: De Gruyter, 2000.
    [6]
    MAO L X. Rings Satisfying Every Finitely Generated Module Has a Gorenstein Projective (pre)Envelope[J]. CommAlgebra, 2018, 46(5): 2010-2022.
    [7]
    叶星美, 杨晓燕. n-强F-Gorenstein投射模[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2015, 37(10): 84-88.
    [8]
    陈文静, 杨晓燕. 强和强泛Gorenstein FP-内射模[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2014, 36(8): 75-78.
    [9]
    李倩倩, 杨晓燕. n-强Gorenstein AC-投射模[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2018, 43(12): 36-40.
    [10]
    YANG G, LIU Z K, LIANG L. Ding Projective and Ding Injective Module[J]. Algebra Colloq, 2013, 20(4): 601-612. DOI:10.1142/S1005386713000576
    [11]
    CAMILLO V. Coherence for Polynomial Rings[J]. JAlgebra, 1990, 132(1): 72-76.
    [12]
    DING N Q, CHEN J L. Relative Coherence and Preenvelopes[J]. ManusMath, 1993, 81(1): 243-262.
    On Ding f-Projective Modules
    WANG Yan-xia , YANG Xiao-yan     
    School of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China
    Abstract: In the paper, the concept of Ding f-projective left R-modules has been introduced. It shows that the class of all Ding f-projective left R-modules is closed under direct sums and direct summands, the class of all Ding f-projective left-modules is closed under pure extensions and pure submodules when is left coherent.
    Key words: Ding f-projective module    Ding projective module    coherent    
    X