西南师范大学学报(自然科学版)   2020, Vol. 45 Issue (2): 1-6.  DOI: 10.13718/j.cnki.xsxb.2020.02.001
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  • 2-Sylow子群的阶及元素最高阶与次高阶与A9相同的有限群    [PDF全文]
    于宝娟 , 吴莲 , 陈贵云     
    西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715
    摘要:讨论2-Sylow子群的阶,以及元素的最高阶元的阶、次高阶元的阶与A9相同的有限群,得出了这类群的若干必要性质.
    关键词2-Sylow子群    最高阶元的阶    次高阶元的阶    群结构    

    在群论中,常常借助群的阶以及元素的阶去研究群的结构和性质,如著名的Sylow定理、拉格朗日定理、柯西定理等等.过去的30年中,与群的阶和元的阶有关的著名问题就是施武杰猜想,即用群的阶以及元素的阶来刻画有限单群.当这一猜想在2009年得到证明以后,一些学者开始关注减少一些条件是否仍然能刻画有限单群,如只用群的阶以及最高阶元的阶来刻画有限单群.这方面的研究可见文献[1-5].在类似的弱化条件的研究中始终把群的阶作为已知条件.那么如果不对群的阶加以限制,有什么条件可以替代?文献[6-7]把2-Sylow子群的阶作为已知条件,但遗憾的是,仅用2-Sylow子群的阶和最高阶元以及次高阶元并不能刻画单群,不过可以得到这样的群的比较具体的性质.本文继续该研究,讨论2-Sylow子群的阶以及元素的最高阶与次高阶和A9相同的有限群.

    本文中πe(G)表示群G中元的阶之集;K1(G)=Max{πe(G)};K2(G)表示群G的次高阶元素的阶,np表示整数n的素因子p的最高方幂因子.有关2-Frobenius、素图、以及阶分量的概念,请参阅文献[8-10].

    引理1[11]  Frobenius群的核幂零,其补的Sylow子群循环或为广义四元数群.

    引理2[8]  设有限群G的素图不连通,则G为Frobenius群,或2-Frobenius群,或G有一正规列1⊴HKG,使得HG/Kπ1-群,K/H为非交换单群,其中2∈π1H为幂零群,且|G/K|||Out(K/H)|.

    引理3[10]  设G是偶阶Frobenius群,K是Frobenius核,H是Frobenius补,则t(G)=2,Γ(G)={π(H),π(K)},且当2∈π(H),H不可解时,存在H0H使得|H:H0|≤2,H0Z×SL(2,5),(|Z|,30)=1,Z的Sylow子群循环.

    引理4[10]  设G是偶阶2-Frobenius群,则t(G)=2,且G有一正规列1⊴HKG,使得π(K/H)=π2π(H)∪π(G/K)=π1,且G/KK/H均为循环群,满足|G/K|||Out(K/H)|.

    引理5[10]  设G是偶阶2-Frobenius群,即G=ABC,其中AGABGAB是以A为核B为补的Frobenius群,BC是以B为核C为补的Frobenius群,则t(G)=2,π(A)∪π(C)=π1π(B)=π2,且G是可解的,BC为循环群.

    引理6[12]  设G是2a·11b·pc·qd阶单群,pq为异于2和11的相异素数,abcd≠0,则G同构于下列单群之一:M11M12L2(q)(q=11,23,32,243),U5(2).

    由于A9的2-Sylow子群的阶为26,最高阶元的阶为15,次高阶元的阶为12,因此有如下定理:

    定理1  设G是2-Sylow子群的阶为26,最高阶元的阶为15,次高阶元的阶为12的有限群,则G为可解群或{2,3,5}-群,或下列结论之一成立:

    1) G/HL2(7),H为方指数整除10的23·5β阶幂零群;

    2) G/HL2(8),H为方指数整除10的23·5β阶幂零群;

    3) G/HL2(8)·3,H为方指数整除10的23·5β阶幂零群;

    4) G/HU3(3)·2,H是方指数为5的5β阶幂零群或方指数整除15的3α-3·5β阶幂零群;

    5) G/HA7H为方指数整除8的23阶幂零群或方指数整除12的23·3α-2阶幂零群或方指数整除10的23·5β-1阶幂零群;

    6) G/HA8H为方指数整除9的3α-2阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-2·5β-1阶幂零群;

    7) G/HL3(4),H为方指数整除9的3α-2阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-2·5β-1阶幂零群;

    8) G/HA9H为方指数整除9的3α-4阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-4·5β-1阶幂零群;

    9) G/HM12H为方指数整除9的3α-3阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-3·5β-1阶幂零群.

      因2-Sylow子群的阶为26K1(G)=15,K2(G)=12,可设|G|=26·3α·5β·7γ·11τ(αβ≥1;γτ≥0).下面分3种情形讨论:

    情形1  设γτ>0,则|G|=26·3α·5β·7γ·11τ(αβγτ≥1).由K1(G)=15,K2(G)=12可得7和11是Γ(G)的孤立点,因此t(G)=3,由引理3、引理4可知G不是Frobenius群和2-Frobenius群.由引理2,G有正规列1⊴HKG,使得HG/Kπ1-群,K/H为非交换单群,其中2∈π1,H为幂零群,|G/K|||Out(K/H)|,{π2(K/H),π3(K/H)}={7,11}.由文献[9]的表 3知,如果K/H是散在单群且阶分量出现7和11,则其2-Sylow子群的阶大于26.因此K/H不是散在单群.设K/H是文献[9]表 2中的群.

    情形1.1当t(K/H)=3时,π1={2,3,5},π2={7},{11},π3={11},{7}且|G|2=26.从文献[9]的表 2中可直接看出K/H只可能是ApA1(q),G2(q),2G2(q),2Dp(3),2Dp+1(2),F4(q),2F4(q).

    ① 证K/HAp.若K/HAp,由pp-2是素数可知p-2=7,p=11,矛盾.

    ② 证K/HA1(q).若K/HA1(q),当2|q时,则K/H有3个阶分量:qq+1,q-1.此时q+1=7γ,11τ,进而q=7γ-1,11τ-1.但3|(7γ-1),5|(11τ-1),与q是2的方幂矛盾.当4|(q+1)时,则K/H有3个阶分量:q+1,q,(q-1)/2,此时q=7γ,11τ,由于G的奇阶分量只有7γ或11τ,因此(q-1)/2=11τ,7γ.当q=7γ时,有11τ=(q-1)/2=(7γ-1)/2,但3|(7γ-1)/2,矛盾.当q=11τ时,有7γ=(q-1)/2=(11τ-1)/2,但5|(11τ-1)/2,矛盾.当4|(q-1)时,则K/H有3个阶分量:q-1,q,(q+1)/2.于是q=7γ,11τ,(q+1)/2=11τ,7γ.当q=7γ时,有11τ=(q+1)/2=(7γ+1)/2.如果2∤γ,则7γ+1=(7+1)((-1)γ-17γ-1+…+72-7+1),故4|(q+1)/2,矛盾,因此2|γ.令γ=2k,此时q-1=72k-1=(7k+1)(7k-1).如果2∤k,则由q+1=7γ+1=72k+1知(72+1)/2|(72k+1)/2=(q+1)/2=11τ,矛盾,故2|k.令k=2t,有γ=4tq-1=7γ-1=74t-1=(72t+1)(7t+1)(7t-1).若2∤t,则(74+1)|(74t+1)=7γ+1=q+1.但74+1=1 201×2,且1 201为素数,矛盾于(q+1)/2=11τ,所以2|t.令t=2s,则q-1=7γ-1=(74s+1)(72s+1)(7s+1)(7s-1).由于74s+1,72s+1,7s+1,7s-1中任何两个的最大公因数都是2,且每个数都大于2,因此,这4个表达式必产生4个不同的素因子,这与π1(G)={2,3,5}矛盾.当q=11τ时,有7γ=(q+1)/2=(11τ+1)/2.如果2∤τ,则(11+1)|(11τ+1),即3|(11τ+1)/2,矛盾,故2|τ.令τ=2k,此时q-1=112k-1=(11k+1)·(11k-1).若2∤k,则(112+1)|(112k+1)=11τ+1,61|(11τ+1)/2,这与7γ= (q+1)/2=(11τ+1)/2矛盾,故2|k.令k=2t,则τ=4tq-1=11τ-1=114t-1=(112t+1)(11t+1)(11t-1).若2∤t,则(114+1)|(114t+1)=11τ+1=q+1,即7 321|(q+1)/2,但7∤7 321,矛盾于(q+1)/2=7γ,故2|t.令t=2s,则q-1=11τ-1=(114s+1)(112s+1)(11s+1)(11s-1).由于114s+1,112s+1,11s+1,11s-1中任何两个的最大公因数都是2,且每个数都大于2,因此,这4个表达式必产生4个不同的素因子,这与π1(G)={2,3,5}矛盾.

    ③ 证K/HG2(q),2G2(q).若K/HG2(q),3|q,令q=3tt为正整数,则第一个阶分量q6(q2-1)2=q6(q+1)2(q-1)2=36t(3t+1)2(3t-1)2.当t=1,2,3时,第二个阶分量q2+q+1=13,91,757,矛盾于π2={7},{11};当t是大于3的偶数时,令t=2k(k≥2),此时36t(3t+1)2(3t-1)2=312k(32k+1)2(3k+1)2(3k-1)2.因为32k+1,3k+1,3k-1中任何两个的最大公因数均为2,所以k≥2时,q6(q2-1)2最少有4个不同素因子,矛盾于π1={2,3,5};当t是大于3的奇数时,令t=2k+1(k≥2),阶分量q6(q2-1)2=36t(3t+1)2(3t-1)2=36(2k+1)(32k+1+1)2(32k+1-1)2,这时32k+1+1=(3+1)·(32k-32k-1+…-3+1),32k+1-1=(3-1)(32k+32k-1+…+3+1),且32k-32k-1+…-3+1与32k+32k-1+…+3+1互素,故q6(q2-1)2也最少有4个素因子,矛盾于π1={2,3,5},所以K/HG2(q).同理可证K/H2G2(q).

    ④ 证K/H2Dp(3).否则,由p=2n+1,n≥2,得p-1=2n≥4,则第一个阶分量中有因子(32-1)(34-1)(36-1)(38-1),但13|(36 -1),与Max(π(K/H))=11矛盾.

    ⑤ 证K/H2Dp+1(2),F4(q),2F4(q).设K/H2Dp+1(2).因为p=2n-1(n≥2),所以p>2,故第一个阶分量中2p(p+1)>26,矛盾于|G|2=26.同理K/HF4(q),2F4(q).

    情形1.2  当t(K/H)>3时,由Max(π(K/H))=11知K/HA2(4),2E6(2).若K/H2B2(q),由q=22k+1q=23,25.当q=23时,第三个阶分量$q + \sqrt {2q} + 1 = 13$,与Max(π(K/H))=11矛盾;当q=25时,第四个阶分量q-1=31,与Max(π(K/H))=11矛盾.

    情形2设γ>0,τ=0,则{1,2,3,5,7,12,15}⊆πe(G).由K1(G)=15,K2(G)=12,故7是Γ(G)的孤立点,因此G的素图一定不连通.

    ① 证G不是Frobenius群.否则,由引理3知G=HKπ(K)={2,3,5},{7}. π(K)={2,3,5}导致K有30阶元,矛盾.若π(K)={7},则H为{2,3,5}-Hall子群,由引理1,H的Sylow子群为循环群或广义四元数群,而|G|2=26,于是G的2-Sylow子群一定包含25阶元,矛盾于K1(G)=15.

    ② 证G不是2-Frobenius群.否则由引理5可知G=ABCπ(A)∪π(C)=π1={2,3,5},π(B)=π2={7}.由K1(G)=15得|B|=7.另外|C||(|B|-1)=6,A的2-Sylow子群A2满足|A2|=25,26.若|A2|=25,用7阶元无不动点地作用于A2上,导致7|(|A2|-1)=31,矛盾,故|A2|=26.考虑子群Ω1(Z(A2))⊴G,同样用G的7阶元无不动点地作用于Ω1(Z(A2))上,可得|Ω1(Z(A2))|=1+7t,而|Ω1(Z(A2))|为2的方幂,比较阶得|Ω1(Z(A2))|=8,64.当|Ω1(Z(A2))|=64时,A2=Ω1(Z(A2))为初等Abel 2-群,这矛盾于G有4阶元.当|Ω1(Z(A2))|=8时,由Ω1(Z(A2))⊴G,考虑G的3阶元a作用其上知,存在1≠bΩ1(Z(A2)),使得[ab]=1.注意G的5-Sylow子群完全含于A中,A为幂零群,从而G的任何5阶元都与任何2阶元可换.因此,对于G的15阶元xx5为3阶元,某bΩ1(Z(A2)),b≠1,[bx5]=1.又已证x3作为5阶元也与b可换,从而x5x3均与b可换,进而xb可换,但|xb|=30,矛盾于G没有30阶元.

    ③ 设G有一正规列1⊴HKG,其中HKG满足引理2.比较阶可知K/H同构于下列单群之一:L2(7)(23·3·7),L2(8)(23·32·7),U3(3)(25·33·7),A7(23·32·5·7),A8(26·32·5·7),L3(4)(26·32·5·7),L2(49)(24·3·52·72),U3(5)(24·32·53·7),A9(26·34·5·7).又因L2(49)中有25阶元,矛盾,故K/HL2(49).

    1) 设K/HL2(7),则G/HL2(7),H为方指数整除10的23·5β阶幂零群.

    K/HL2(7),则|Out(K/H)|=2,由引理2有|G/K||2.当|G/K|=2时,|G/H|=2·|K/H|=2·|L2(7)|=24·3·7,此时|H|=22·3α-1·5β·7γ-1.由引理2可知Hπ1-群且7是孤立点,即7∉π1,因此|H|=22·3α-1·5βH的2-Sylow子群H2的阶为22,可得|Aut(H2)||(22-2)·(22-1),故G中7阶元平凡作用在H2上,这说明G中有14阶元,与K1(G)=15,K2(G)=12矛盾.从而|G/K|=1,此时G/HL2(7),|H|=23·3α-1·5β(αβ≥1).当α>1时,由引理2知H是幂零群,此时H中有30阶元,矛盾于K1(G)=15,所以α=1,即H为方指数整除10的23·5β阶幂零群.

    2),3)设K/HL2(8),则G/HL2(8),L2(8)·3,H为方指数整除10的23·5β阶幂零群.

    K/HL2(8),则|Out(K/H)|=3,由引理2有|G/K||3.当|G/K|=3时,|G/H|=3·|K/H|=3·|L2(8)|=23·33·7,G/HK/H×C3G/HK/H·C3,即G/HL2(8)×C3G/HL2(8)· C3.若前者成立,则L2(8)中的7阶元与C3中3阶元可换,得G/H中有21阶元,矛盾.下设G/HL2(8)·3,同理1)可知|H|=23·3α-3·5β(α≥3,β≥1),又由H的幂零性和K1(G)=15可得α=3,所以H为方指数整除10的23·5β阶幂零群.当|G/K|=1时,G/HL2(8),|H|=23·3α-2·5β(α≥2,β≥1).当α>2时,由H的幂零性可得H中有30阶元,矛盾于K1(G)=15,所以α=2,即H为方指数整除10的23·5β阶幂零群.

    4) 设K/HU3(3),则G/HU3(3)·2,H是方指数为5的5β阶幂零群或方指数整除15的3α-3·5β阶幂零群.

    K/HU3(3),则|Out(K/H)|=2,由引理2有|G/K||2.当|G/K|=1时,|G/H|=|K/H|=|U3(3)|=25·33·7,此时|H|=2·3α-3·5β,H的2-Sylow子群H2的阶为2,故G中7阶元平凡作用在H2上,这说明G中有14阶元,与K1(G)=15,K2(G)=12矛盾.当|G/K|=2时,G/HK/H×C2G/HK/H·C2,即G/HU3(3)×C2G/HU3(3)·C2.若前者成立,则U3(3)中的7阶元与C2中2阶元可换,则G/H中有14阶元,矛盾.可得G/HU3(3)·2,|H|=3α-3·5β(α≥3,β≥1).当α=3时,H是方指数为5的5β阶幂零群;当α>3时,H是方指数整除15的3α-3·5β阶幂零群.

    5) 设K/HA7,则G/HA7H为方指数整除8的23阶幂零群或方指数整除12的23·3α-2阶幂零群或方指数整除10的23·5β-1阶幂零群.

    K/HA7,则|Out(K/H)|=2,同理|G/K||2.当|G/K|=2时,|G/H|=2·|K/H|=2·|A7|=24·32·5·7,此时|H|=22·3α-2·5β-1,H的2-Sylow子群H2的阶为22,可得|Aut(H2)||(22-2)(22-1),故G中7阶元平凡作用在H2上,这说明G中有14阶元,与K1(G)=15,K2(G)=12矛盾,从而|G/K|=1,此时G/HA7,|H|=23·3α-2·5β-1.同理可知当α=2,β=1时,H为方指数整除8的23阶幂零群;当α>2,β=1时,H为方指数整除12的23·3α-2阶幂零群;当α=2,β>1时,H为方指数整除10的23·5β-1阶幂零群.

    6) 设K/HA8,则G/HA8H为方指数整除9的3α-2阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-2·5β-1阶幂零群.

    K/HA8,则|Out(K/H)|=2,由引理2有|G/K||2.当|G/K|=2时,|G/H|=2·|K/H|=2·|A8|=27·32·5·7,与|G|=26·3α·5β·7γ矛盾.因此|G/K|=1,可设|G|=26·3α·5β·7γ(αβγ≥1),|G/H|=26·32·5·7,因此|H|=3α-2·5β-1(α≥2,β≥1),G/HA8.当α>2,β=1时,H为方指数整除9的3α-2阶幂零群;当α=2,β>1时,H是方指数为5的5β-1阶幂零群;当α>2,β>1时,H为方指数整除15的3α-2·5β-1阶幂零群.

    7) 设K/HL3(4),则G/HL3(4),H为方指数整除9的3α-2阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-2·5β-1阶幂零群.

    因为|Out(L3(4))|=12,所以|G/K||12.又因为|K/H|=|L3(4)|=26·32·5·7,且G的2-Sylow子群的阶为26,所以|G/K||3.同理2),因为L3(4)中有7阶元,所以G/HL3(4)×C3;因为L3(4)· C3中有21阶元,所以G/HL3(4)·C3.因此|G/K|=1,此时|G/H|=|K/H|=|L3(4)|=26·32·5·7,|H|=3α-2·5β-1(α≥2,β≥1),G/HL3(4).当α>2,β=1时,H为方指数整除9的3α-2阶幂零群;当α=2,β>1时,H是方指数为5的5β-1阶幂零群;当α>2,β>1时,H为方指数整除15的3α-2·5β-1阶幂零群.

    8) 设K/HA9,则G/HA9H为方指数整除9的3α-4阶幂零群或方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除15的3α-4·5β-1阶幂零群.

    K/HA9,则|Out(K/H)|=2,由引理2有|G/K||2.当|G/K|=2时,|G/H|=2·|K/H|=2·|A9|=27·34·5·7,与|G|=26·3α·5β·7γ矛盾.故|G/K|=1,此时G/HA9,可设|G|=26·3α·5β·7γ(αβγ≥1),|G/H|=26·34·5·7,|H|=3α-4·5β-1(α≥4,β≥1),G/HA9.当α>4,β=1时,H为方指数整除9的3α-4阶幂零群;当α=4,β>1时,H为方指数为5的5β-1阶幂零群;当α>4,β>1时,H为方指数整除15的3α-4·5β-1阶幂零群.

    K/HU3(5).若K/HU3(5),因为|Out(U3(5))|=6,所以|G/K||6.又因为|K/H|=|U3(5)|=24·32·53·7,所以2||H|,且H的2-Sylow子群H2的阶为2或4,同5),考虑G中7阶元在H2上的作用知G中有14阶元,矛盾.因此K/HU3(5).

    情形3设γ=0,τ>0.则|G|=26·3α·5β·11τ(αβτ≥1).由K1(G)=15,K2(G)=12可知11是Γ(G)的孤立点,因此G的素图一定不连通.由引理2知G是Frobenius群或者2-Frobenius群,或者G有一正规列1⊴HKG,使得HG/Kπ1-群,K/H为非交换单群,其中2∈π1H为幂零群,|G/K|||Out(K/H)|.

    ① 证G不是Frobenius群.否则由引理3知G=HKπ(K)={2,3,5},{11}.前者导致K有30阶元,矛盾.后者导致H为{2,3,5}-Hall子群,由引理1可知H的Sylow子群为循环群或广义四元数群,故G的2-Sylow子群一定包含25阶元,矛盾于K1(G)=15.

    ② 证G不是2-Frobenius群.否则由引理5可知G=ABCπ(A)∪π(C)=π1π(B)=π2BC为循环群,BG的11-Sylow子群,|B|=11τ.若2||A|,则A的2-Sylow子群A2的阶不大于26,考虑BA2上的作用,因为|Aut(A2)||(26-25)(26-24)(26-23)(26-22)(26-2)(26-1),即11|Aut(A2)|,所以BA2上的作用是平凡的,即B中的元与A2中2阶元可换,从而得到22阶元,矛盾,则2|A|,26||C|.由C是循环群得C中有64阶元,矛盾.

    ③ 设G有一正规列1⊴HKG,其中HKG满足引理2.因为11∈π(K/H),所以K/H不是K3-单群,只能是K4-单群,则比较阶,由引理6知K/H同构于L2(11)(22·3·5·11),M11(24·32·5·11),M12(26·33·5·11)之一.

    K/HL2(11).否则|Out(K/H)|=2,即|G/K||2.当|G/K|=2时,|G/H|=2·|K/H|=2·|L2(11)|=23·3·5·11,此时|H|=23·3α-1·5β-1H的2-Sylow子群H2的阶为23,可得|Aut(H2)||(23-22)(23-2)(23-1),故G中11阶元平凡作用在H2上,这说明G中有22阶元,矛盾,从而|G/K|=1,此时G/HL2(11),|H|=24·3α-1·5β-1H的2-Sylow子群H2的阶为24.可得|Aut(H2)||(24-23)(24-22)(24-2)(24-1),即11|Aut(H2)|,故G中11阶元平凡作用在H2上,也即G中有22阶元,矛盾.

    K/HM11.否则|Out(K/H)|=1,即|G/K|=1.此时G/HM11,|H|=22·3α-2·5β-1H的2-Sylow子群H2的阶为22,可得|Aut(H2)||(22-2)(22-1),即11|Aut(H2)|,故G中11阶元平凡作用在H2上,也即G中有22阶元,矛盾.

    9) 设K/HM12,则G/HM12H是方指数为5的5β-1阶幂零群或方指数整除9的3α-3阶幂零群或方指数整除15的3α-3·5β-1阶幂零群.

    K/HM12,则|Out(K/H)|=2,即|G/K||2.当|G/K|=2时,|G/H|=2·|K/H|=2·|M12|=27·33·5·11,与|G|=26·3α·5β·11τ矛盾.故|G/K|=1,此时G/HM12,|H|=3α-3·5β-1(α≥3,β≥1).当α>3,β=1时,H为方指数整除9的3α-3阶幂零群;当α=3,β>1时,H是方指数为5的5β-1阶幂零群;当α>3,β>1时,H为方指数整除15的3α-3·5β-1阶幂零群.证毕.

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    Finite Groups with the Order of Its 2-Sylow Subgroup, the Largest and Second Largest Element Orders Being the Same as Those of A9
    YU Bao-juan , WU Lian , CHEN Gui-yun     
    School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China
    Abstract: The finite group with the same order of its 2-Sylow subgroup and the same largest element order and the same second largeat element order as those of A9 have been discussed in this paper. And some necessary properties have been given.
    Key words: 2-Sylow subgroup    the largest element order    the second largest element order    group structure    
    X