西南师范大学学报(自然科学版)   2020, Vol. 45 Issue (2): 7-10.  DOI: 10.13718/j.cnki.xsxb.2020.02.002
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  • Gorenstein投射复形范畴中的纯正合列    [PDF全文]
    魏宝军 , 于春艳 , 杨晓燕     
    重庆师范大学涉外商贸学院 数学与计算机学院, 重庆 合川 401520
    摘要:引入了Gorenstein投射复形范畴中的纯正合列.通过Gorenstein投射复形范畴中绝对纯性的研究,引入了Gorenstein投射复形范畴中的FP-投射复形,给出了FP-投射复形的等价刻画.
    关键词Gorenstein投射复形    纯正合列    FP-投射复形    

    文献[1]首次在左R-模范畴中提出了纯的概念,将纯性推广到有单位元的结合环上,用同调的方法定义了纯内射、纯投射以及纯分解等概念.文献[2]定义了FP-内射模,证明了FP-内射模同绝对纯模等价,脱离了通过正合列定义模的方法.文献[3]给出了FP-内射维数的一系列等价刻画.文献[4]研究了Mod R范畴中的纯正合列,给出了纯正合列的一系列刻画.文献[5]把模上的纯正合序列推广到复形范畴,引入了纯正合复形,并且得到了纯正合复形的刻画及性质.复形范畴是一个有足够多投射对象和足够多内射对象的Abel范畴,因此Gorenstein同调理论在复形范畴中可以形成一种新的理论体系.文献[6]定义了相对于Gorenstein投射模范畴的纯正合列,即G-纯正合列,并得到了相关的一系列性质和应用.随着纯领域的深入研究,一些学者逐渐转向纯分解的研究.基于以上工作的启发,本文主要研究了Gorenstein投射复形范畴中的纯正合列,即定义了G-纯正合复形,并且对G-纯正合复形相关的等价刻画作了研究.

    1 预备知识

    除非特别声明,环R是具有单位元的结合环,所有涉及的模均是酉模,Mod R表示左R-模范畴.

    定义1[7]  设$\mathscr{X}$R-模类,M是左R-模.同态φMCC$\mathscr{X}$,如果对任意的fMC′,其中C′∈$\mathscr{X}$,都有同态gCC′,使得=f,则称φM$\mathscr{X}$-预包络.若C=C′,f=φ,且满足=φg是自同构,则称$\mathscr{X}$-预包络是M$\mathscr{X}$-包络.

    定义2[7]  如果复形P是投射的,则P是正合的,且对任意的整数nZnP是投射模.

    定义3[8]  如果左R-模M是Gorenstein投射模,则存在一个投射左R-模的正合列

    $ P=\cdots \longrightarrow P_{1} \longrightarrow P_{0} \longrightarrow P_{-1} \longrightarrow P_{-2} \longrightarrow \cdots $

    使得M $ \cong $Im(P0P-1),并且对任意投射左R-模Q,HomR(PQ)是正合的.我们用GProj R记所有Gorenstein投射左R-模构成的范畴.

    定义4[8]  如果复形G是Gorenstein投射的,则存在复形的正合序列X:…→P-1P0P1P2→…,满足以下条件:

    (a) 对∀i$\mathbb{Z}$Pi是投射复形;

    (b) Ker(P0P1)=G

    (c) 对任意的投射复形P,HomC(R)(XP)是正合的.

    我们用GProjC(R)记所有Gorenstein投射复形构成的范畴,用GProjC(R)记所有有限表示Gorenstein投射复形构成的范畴.

    定义5[6]  (a)设0→ABC→0是Mod R中的正合列.如果对任意的有限表示模N,序列0→HomR(NA)→HomR(NB)→HomR(NC)→0是正合的,那么称正合序列0→ABC→0是纯正合的.

    (b) 如果B的子模AB的纯子模,则$0 \to A \circlearrowleft B \to B/A \to 0$是纯的.

    (c) 如果单同态fAB是纯单的,则f的象是B的纯子摸.

    (d) 如果满同态gCD是纯满的,则g的核是C的纯子摸.

    通常,R-模复形的正合性被定义为逐点的正合,这种定义方法为理解有界导出范畴提供了方便.

    定义6[9]  如果零调复形X在某个层次n处是纯正合的,则该点处的短正合列0→Ker dXnXn→KerdXn-1→0是纯正合的.如果对任意的整数nXn处纯正合,则复形X是纯零调复形.

    定义7[9]  M如果为Mod R中的纯投射(或内射)模,则M关于每一个纯正合序列是投射的(或内射的).我们将Mod R中的纯投射模和纯内射模构成Mod R的全子范畴分别记为PPPI.

    定义8[6]  (a)如果GProj R中的正合序列0→G1G2G3→0是G-纯正合的,则对任意的有限表示Gorenstein投射模G,序列0→HomR(GG1)→HomR(GG2)→HomR(GG3)→0是正合的.

    (b) H如果为GProj R中的纯投射模,则对任意G-纯正合列0→G1G2G3→0,序列0→HomR(HG1)→HomR(HG2)→HomR(HG3)→0是正合的.

    (c) E如果为GProj R中的纯内射模,则对任意G-纯正合列0→G1G2G3→0,序列0→HomR(G3E)→HomR(G2E)→HomR(G1E)→0是正合的.

    (d) A如果为GProj R中的绝对纯模,则GProj R中的任意正合列0→AG2G3→0是G-纯正合的.

    我们将GProj R中的纯投射、纯内射和绝对纯模构成的GProj R的全子范畴分别记为PP-GProj RPI-GProj RAbs-GProj R.

    2 Gorenstein投射复形范畴中的纯正合列

    定义9  (a)如果正合复形F:…→Fn+1FnFn-1→…是G-纯正合的,则满足以下两条:

    (a1)对∀n$\mathbb{Z}$Fn是Gorenstein投射的;

    (a2)对∀n$\mathbb{Z}$,模的短正合列0→ZnFFnZn-1F→0是G-纯正合的.

    (b) H如果为GProjC(R)中的纯投射复形,则对复形的任意G-纯正合列0→F1F2F3→0,序列0→HomC(R)(HF1)→HomC(R)(HF2)→HomC(R)(HF3)0→是正合的.

    (c) E如果为GProjC(R)中的纯内射复形,则对复形的任意G-纯正合列0→F1F2F3→0,序列0→HomC(R)(F3E)→HomC(R)(F2E)→HomC(R)(F1E)→0是正合的.

    (d) A如果为GProjC(R)中的绝对纯复形,则GProjC(R)中任意的正合列0→AF2F3→0是G-纯正合的.

    我们将GProjC(R)中的纯投射、纯内射和绝对纯复形构成的GProjC(R)的全子范畴分别记为PP-GProjC(R),PI-GProjC(R)和Abs-GProjC(R).

    定理1  设A∈GProjC(R),则下列叙述等价:

    (ⅰ) AAbs-GProjC(R);

    (ⅱ) 存在GProjC(R)中的G-纯正合序列0→APG10,其中P是投射复形;

    (ⅲ) 对任意有限表示Gorenstein投射复形N,有ExtC(R)1(NA)=0.

      (ⅰ)⇒(ⅱ)由GProjC(R)中绝对纯复形的定义可以得证.

    (ⅱ)⇒(ⅰ)  对GProjC(R)中任意的正合序列0→AG2G3→0,有如下行列正合交换图(图 1):

    图 1 行列正合交换图

    因为ExtC(R)1(G3P)=0,所以图 1第二列可裂.对任意的G∈GProjC(R),用Hom(G,-)作用于图 1,由蛇引理可知

    $ 0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{C(R)}(G, A) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{C(R)}\left(G, G^{2}\right) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{C(R)}\left(G, G^{3}\right) \longrightarrow 0 $

    是正合的.于是0→AG2G3→0是G-纯正合的.故AAbs-GProjC(R).

    (ⅱ)⇔(ⅲ)  对∀G∈GprojC(R)和G-纯正合序列0→APG1→0,用HomC(R)(G,-)作用此正合列得长正合序列0→HomC(R)(GA)→HomC(R)(GP)→HomC(R)(GG1)→ExtC(R)1(GA)→0.于是(ⅱ)与(ⅲ)的等价易证.

    下面我们给出定理1的一些应用.

    推论1  Abs-GProjC(R)关于扩张、直和、G-纯子复形封闭.

      设0→ABC→0是GProjC(R)中的G-纯正合列,其中{Ai}iI是范畴Abs-GProjC(R)中的一族绝对纯复形.对∀G∈GProjC(R),用HomC(R)(G,-)作用此正合列,可得正合序列ExtC(R)1(GA)→ExtC(R)1(GB)→ExtC(R)1(GC).因为

    $ \mathrm{Ext}_{C(R)}^{1}(G, A)=\mathrm{E}_{\mathrm{X} t_{C F}^{1}}(G, C)=0 $

    所以ExtC(R)1(GB)=0.于是BAbs-GProjC(R).故Abs-GProjC(R)关于扩张封闭.

    设{Ai}iIAbs-GProjC(R).对∀G∈GProjC(R),由同构

    $ \mathop \oplus \limits_{i \in I} {\rm{Ext}}_{C\left( R \right)}^1\left( {G,{A^i}} \right) \cong {\rm{Ext}}_{C\left( R \right)}^1\left( {G,C} \right) = 0 $

    可知${\mathop{\rm Ext}\nolimits} _{c(R)}^1\left( {G, \mathop \oplus \limits_{i \in I} {A^i}} \right) = 0.11111\mathop \oplus \limits_{i \in I} {A^i} \in Abs - {\mathop{\rm GProj}\nolimits} C(R)$, 故Abs-GProjC(R)关于直和封闭.

    设0→ABC→0是GProjC(R)中的G-纯正合列,其中BAbs-GProjC(R).对∀G∈GProjC(R),用HomC(R)(G,-)作用此正合列可得长正合序列0→HomC(R)(GA)→HomC(R)(GB)→HomC(R)(GC)→ExtC(R)1(GA)→ExtC(R)1(GB)→….因为ExtC(R)1(GB)=0,所以ExtC(R)1(GA)=0.于是AAbs-GProjC(R).故Abs-GProjC(R)关于G-纯子复形封闭.

    定义10  如果Gorenstein投射复形MFP-投射的,则对任意的NAbs-GProjC(R),有ExtC(R)1(MN)=0. GProjC(R)中的所有FP-投射复形构成的类记为FP-GProjC(R).

    命题1  设R是环,MGProj C(R).则以下条件等价:

    (ⅰ) MFP-GProjC(R);

    (ⅱ) M相对于GProjC(R)中的任意正合序列0→ABC→0是投射的,其中AAbs-GProjC(R);

    (ⅲ) 对GProjC(R)中的任意正合序列0→KFM→0,其中FAbs-GProjC(R),KFKAbs-GProjC(R)-预包络;

    (ⅳ) MAbs-GProjC(R)-预包络KP的余核,其中P是投射复形,K是Gorenstein投射复形.

      (ⅰ)⇒(ⅱ)设0→ABC→0是GProjC(R)中的正合序列,其中AAbs-GProjC(R).因为MFP-GProjC(R),所以ExtC(R)1(MA)=0.于是0→HomC(R)(MA)→HomC(R)(MB)→HomC(R)(MC)→0是正合的.故(ⅱ)得证.

    (ⅱ)⇒(ⅰ)  对∀AAbs-GProjC(R),存在GProjC(R)中的短正合序列0→APL→0,其中P是投射复形.则序列

    $ 0 \to {{\mathop{\rm Hom}\nolimits} _{C\left( R \right)}}(M, A) \to {{\mathop{\rm Hom}\nolimits} _{C\left( R \right)}}(M, P) \to {{\mathop{\rm Hom}\nolimits} _{C\left( R \right)}}(M, L) \to {\mathop{\rm Ext}\nolimits} _{C(F)}^1(M, A) \to 0 $

    是正合的.由(ⅱ)知序列

    $ 0 \to {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{C\left( R \right)}}(M,A) \to {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{C\left( R \right)}}(M,P) \to {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_{C\left( R \right)}}(M,L) \to 0 $

    是正合的.则ExtC(R)1(MA)=0.故MFP-GProjC(R).

    (ⅰ)⇒(ⅲ)  设EAbs-GProjC(R).对GProjC(R)中的正合列0→KFM→0,其中FAbs-GProjC(R),由(ⅰ)知0→HomC(R)(ME)→HomC(R)(FE)→HomC(R)(KE)→0是正合的.故(ⅲ)成立.

    (ⅲ)⇒(ⅳ)  对M存在正合列0→KPM→0是GProjC(R)中的正合列,其中P是投射复形,K是Gorenstein投射复形.由定义知PAbs-GProjC(R).因此KPKAbs-GProjC(R)-预包络.

    (ⅳ)⇒(ⅰ)  由(ⅳ)可知,存在GProjC(R)中的正合序列0→KPM→0,其中KPKAbs-GProjC(R)-预包络,P是投射复形.任取NAbs-GProjC(R),则序列0→HomC(R)(MN)→HomC(R)(PN)→HomC(R)(KN)→ExtC(R)1(MN)→0是正合的.再次由(ⅳ)可知

    $ 0 \to {{\mathop{\rm Hom}\nolimits} _{C(R)}}(M, N) \to {{\mathop{\rm Hom}\nolimits} _{C(R)}}(P, N) \to {{\mathop{\rm Hom}\nolimits} _{C(R)}}(K, N) \to 0 $

    是正合的.因此ExtC(R)1(MN)=0.故MFP-GProjC(R).

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    Pure Exact Sequence in the Category of Gorenstein Projective Complexes
    WEI Bao-Jun , YU Chun-Yan , YANG Xiao-Yan     
    College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Normal University Foreign Trade and Business College, Hechuan Chongqing 401520, China
    Abstract: In this paper, the pure exact properties in the categoryof Gorenstein projective complexes has been studied. With the study of absolutely pure properties in Gorenstein projective complexes, FP-projective complexes in Gorenstein projective complexes have been introduced, and some equivalent characterizations given.
    Key words: Gorenstein projective complexes    pure exact    FP-projective complexes    
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