西南大学学报 (自然科学版)  2017, Vol. 39 Issue (8): 77-82.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.08.011
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  • 平凡西罗限制模上的格林对应    [PDF全文]
    黄文林     
    中国人民大学 信息学院,北京 100872
    摘要:研究了平凡西罗限制kG-模,刻画了不可分解平凡西罗限制kG-模的格林对应,证明了,若任意xG-H,都有PHx=1,特别地,若HG的强p-嵌入子群,那么,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模的同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模的同构类之间的一一对应.
    关键词平凡西罗限制模    格林对应    p-嵌入子群    

    平凡西罗限制模是一类特别的内平凡模,内平凡模是内同态环(自同态环)在稳定模范畴中平凡的kG-模[1],它是稳定模范畴的Picard群的元素[2],是内置换模的组成部分,而内置换模还是p-可解群和p-幂零群等某些有限群的不可约模的源;平凡西罗限制模还是一种特别的p-置换模,而p-置换模在块代数的p-置换等价和Dade群的结构方面都有重要应用[3].

    在文献[4]中,J. Green首次提出了一种关于有限群G上的不可分解模与其子群H上的不可分解模之间的转移定理,也就是著名的格林对应定理;在文献[5]中,他再次提出该定理,并用于研究有限群公理化表示中的G-函子上的转移定理.如今,格林对应定理已经成为有限群表示论中的十分重要的研究工具,例如,文献[6]研究了模覆盖和块覆盖与格林对应之间的关系.

    本文研究平凡西罗限制模和它的格林对应,并刻画了平凡西罗限制kG-模的盖、顶、维数、分解结构;证明了不可分解平凡西罗限制kG-模的格林对应恰是它的限制模的盖,以及,对于群G的子群H和西罗p-子群P,若任意xG-H,都有PHx=1,那么,不可分解平凡西罗限制kH-模的诱导模仍是平凡西罗限制kG-模.

    此时,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.特别地,若子群H在群G中是强嵌入的,那么,格林对应也建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

    1 平凡西罗限制kG-模

    本文中,我们设定,G是一个有限群,pG的阶的素数因子,k是一个特征为p的数域,所有的模都是有限生成的.关于本文的记号和术语,读者可参考文献[7-10].

    定义1  设P是有限群G的西罗p-子群,M是一个kG-模,若M限制到P上有分解:$\text{Res}_{P}^{G}M=k\oplus S$S是一个投射kP-模,则称M是一个平凡西罗限制kG-模.

    注1  定义1中,由于

    $ {\rm{Res}}_P^G{\rm{End}}\left( M \right) \cong {\rm{End}}\left( {{\rm{Res}}_P^GM} \right) \cong k \oplus {\rm{End}}\left( S \right) $

    而End(S)仍是投射模,所以,ResPGM是内平凡kP-模,从而,平凡西罗限制kG-模M是内平凡kG-模(参考文献[11]中的引理2.2).

    注2  因为投射模的共轭模仍是投射模,所以定义1中的平凡西罗限制kG-模M的定义不依赖于西罗p-子群P的选择.

    注3  因为投射模都是置换模(参见文献[10]中的推论27.2),所以平凡西罗限制kG-模是p-置换kG-模.

    引理1  设P是有限群G的西罗p-子群,MN是平凡西罗限制kG-模,U是一个投射kG-模,那么

    1) 对偶模M*是平凡西罗限制kG-模;

    2) 共轭模Mg平凡西罗限制kG-模;

    3) MN是平凡西罗限制kG-模;

    4) MU是平凡西罗限制kG-模.

      1) 设ResPGM=kSS是投射kP-模,则

    $ {\rm{Res}}_P^G{M^ * } = {\left( {{\rm{Res}}_P^GM} \right)^ * } = k \oplus {S^ * } $

    然而,由于kG是自内射代数,投射模S的对偶S*仍是投射模(参考文献[6]中的性质6.7),所以,M*是平凡西罗限制kG-模.

    2) 同理,由参考文献[6]中的例10.10知,MgM,那么,ResPGMg≅ResPGM=kS,共轭模Mg是平凡西罗限制kG-模.

    3) 又设ResPGN=kTT是投射kP-模,那么

    $ {\rm{Res}}_P^G\left( {M \oplus N} \right) = \left( {k \oplus S} \right) \otimes \left( {k \oplus T} \right) \cong k \oplus S \oplus T \oplus S \otimes T $

    ST是投射模,所以,MN是平凡西罗限制kG-模.

    4) ResPG(MU)=(kS)⊕ResPGUk⊕(S⊕ResPGU),而ResPGU是投射kP-模,所以MU是平凡西罗限制kG-模.

    引理2  M是平凡西罗限制kG-模,那么dim(M)=1(mod|G|p).

      设ResPGM=kSS是投射kP-模,pG的西罗p-子群,由文献[6]中的习题21.2知

    $ \dim \left( S \right) = 1\left( {\bmod \left| P \right|} \right) $

    所以

    $ \dim \left( M \right) = \dim \left( {{\rm{Res}}_P^GM} \right) = 1 + \dim \left( S \right) = 1\left( {\bmod {{\left| G \right|}_p}} \right) $

    性质1  每个平凡西罗限制kG-模M都可分解为一个不可分解平凡西罗限制kG-模N和一个投射kG-模U的直和,并且该分解在kG-模同构的意义下是唯一的.

      设NM的不可分解非投射直因子,pG的西罗p-子群,那么,由Krull-Schmidt定理知

    $ {\rm{Res}}_P^GN = k \oplus X $

    式中,X是一个投射kP-模,所以,N是一个不可分解平凡西罗限制kG-模.

    另一方面,若M还有与N一样的不可分解非投射直因子,则平凡模k在ResPGM的直和分解中的重数是2,这与Krull-Schmidt定理相矛盾.

    我们称性质1中的不可分解平凡西罗限制kG-模NM的盖.

    性质2  1) 设M是不可分解平凡西罗限制kG-模,那么M的顶是群G的西罗p-子群;

    2) 设MH-投射平凡西罗限制kG-模,HG的子群,那么H包含群G的某个西罗p-子群.

      1) 反证法.若M的顶是G的真p-子群,那么,由文献[6]中的习题23.1知

    $ \dim \left( M \right) = 0\left( {\bmod p} \right) $

    这与引理2相矛盾.

    2) 由性质1,设NM的盖,那么,N是不可分解H-投射平凡西罗限制kG-模,由(1) 知,N的顶是G的西罗p-子群,这说明,H必须包含G的某个西罗p-子群.

    由性质2得知,任何平凡西罗限制kG-模的盖的顶是G的西罗p-子群.

    2 平凡西罗限制模上的格林对应

    引理3  设HG的子群,M是平凡西罗限制kG-模,那么限制模ResHGM是平凡西罗限制kH-模.

      设G的西罗p-子群P包含H的西罗p-子群Q,并设ResPGM=kSS是投射kP-模,那么

    $ {\rm{Res}}_Q^H\left( {{\rm{Res}}_H^GM} \right) = {\rm{Res}}_Q^GM = {\rm{Res}}_Q^P\left( {{\rm{Res}}_P^GM} \right)=k \oplus {\rm{Res}}_Q^PS $

    而ResQPS是投射kQ-模,所以,ResHGM是平凡西罗限制kH-模.

    推论1  设HG的子群,MkG-模,若H包含群G的西罗p-子群,那么,M是平凡西罗限制kG-模当且仅当限制模ResHGM是平凡西罗限制kH-模.

      由引理3得知必要性成立.下面证明充分性.设H包含G的西罗p-子群P,那么,若ResHGM是平凡西罗限制kH-模,即

    $ {\rm{Res}}_P^GM = {\rm{Res}}_P^H\left( {{\rm{Res}}_H^GM} \right) $

    $ {\rm{Res}}_P^H\left( {{\rm{Res}}_H^GM} \right) = k \oplus Y $

    Y是投射kP-模,所以,M是平凡西罗限制kG-模,充分性得证.

    格林对应定理[9]  设P是群Gp-子群,HG的子群,并且HNG(P);又设V是不可分解kG-模,U是不可分解kH-模,并且P是它们的顶;那么

    1) ResHGV和IndHGU分别有唯一的顶为P的不可分解直因子f(V)和g(U);

    2) g(f(V))≅Vf(g(U))≅Ufg建立了顶为P的不可分解kG-模同构类和顶为P的不可分解kH-模同构类之间的一一对应(参见文献[9]中的定理11.6.4).

    上述一一对应也称为格林对应,它由J. Green在文献[4]中首次提出.下面的引理4称为Burry-Puig-Carlson定理(参见文献[9]中的定理11.6.9).

    引理4  设P是群Gp-子群,HG的子群,并且HNG(P);又设V是一个不可分解kG-模,并且U是ResHGV的不可分解直因子;若PU的顶,那么,U恰是V的格林对应.

    定理1  设P是群G的西罗p-子群,HG的子群,并且HNG(P);若M是不可分解平凡西罗限制kG-模,那么,M的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kH-模,并且,它恰是ResHGM的盖.

      由引理3知,ResHGM是平凡西罗限制kH-模;由性质1和性质2得知,对于ResHGM,它的盖是其唯一的不可分解平凡西罗限制直因子,并且,它的盖的顶是G的西罗p-子群,这说明,它的盖是其唯一的顶为G的西罗p-子群的不可分解直因子;再由引理4知,M的格林对应恰是ResHGM的盖,它是一个不可分解平凡西罗限制kH-模.

    定理2  设HG的子群,N是平凡西罗限制kH-模,并且M=IndHGN;那么,M是平凡西罗限制kG-模当且仅当H包含G的西罗p-子群P并且PHx=1,xG-H.

      若H的西罗p-子群QG的西罗p-子群P的真子群,那么,MH投射kG-模,从而是Q-投射kG-模(参见文献[9]中的性质11.3.5),再由文献[6]中的习题23.1知

    $ \dim \left( M \right) = 0\left( {\bmod p} \right) $

    结合引理2,得知M不是平凡西罗限制kG-模.

    下面的证明中,设Q=P,即H包含G的西罗p-子群P;此时,由Frobenius互反律(参见文献[9]中的推论4.3.8) 知

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{Res}}_P^GM = {\rm{Res}}_P^G{\rm{Ind}}_H^GN = { \oplus _{x \in P\backslash G/H}}{\rm{Ind}}_{P \cap {H^x}}^P{\rm{Res}}_{P \cap {H^x}}^{{H^x}}{N^x} = }\\ {N{ \oplus _{x \in P\backslash G/H, x \ne 1}}{\rm{Ind}}_{P \cap {H^x}}^P{\rm{Res}}_{P \cap {H^x}}^{{H^x}}{N^x}} \end{array} $

    这说明,若M是平凡西罗限制kG-模,那么,一方面,由推论1得知,ResPGM是平凡西罗限制kP-模,再由性质1得知,对于每一个xP\G/Hx≠1,$\text{Ind}_{P\cap {{H}^{x}}}^{P}{{N}^{x}}$都是投射kP-模.

    另一方面,共轭模Nx是平凡西罗限制kHx-模,从而

    $ k|{\rm{Res}}_{P \cap {H^x}}^{{H^x}}{N^x} $

    以及

    $ {\rm{Ind}}_{P \cap {H^x}}^Pk|{\rm{Ind}}_{P \cap {H^x}}^P{\rm{Res}}_{P \cap {H^x}}^{{H^x}}{N^x} $

    这说明,$ \text{Ind}_{P\cap {{H}^{x}}}^{P}k$是投射kP-模,所以PHx是平凡子群,即PHx=1.必要性得证.

    反之,若PHx=1,xG-H,与上述必要性证明类似, 结合性质1得知,ResPGM是平凡西罗限制kP-模,再由推论1,M是平凡西罗限制kG-模.充分性得证.

    H是群G的子群,若H含有p-元素,但对每个xG-HHHx都是p′群,则称HG的强p-嵌入子群.强p-嵌入子群H包含G的任何p-子群的正规化子[12].

    定理3  设H是群G的子群,N是不可分解平凡西罗限制kH-模;若HG的强p-嵌入子群,那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kG-模,并且,它恰是IndHGN的盖.

      设强p-嵌入子群H包含G的西罗p-子群P,那么,HNG(P),并且,对每个xG-HHHx都是p′-群,从而,PHx=1,由定理2得知,IndHGN是平凡西罗限制kG-模,由性质2知,IndHGN的盖是其唯一顶为P的不可分解直因子,再由引理4得知,IndHGN的盖是N的格林对应,它是一个不可分解平凡西罗限制kG-模.

    对于有限群G以及它的西罗p-子群P,若PPx=1,xG-NG(P),则称西罗p-子群P是平凡交的,此时,NG(P)是G的强p-嵌入子群;若G的任何两个不同的西罗p-子群的交子群都是平凡的,我们称G为有平凡西罗交[13].

    推论2  设P是群G的西罗p-子群,HG的子群,并且HNG(P),N是不可分解平凡西罗限制kH-模;若G有平凡西罗交,那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kG-模,并且,它恰是IndHGN的盖.

      G有平凡西罗交,那么,HG的强p-嵌入子群,由定理3得知推论2成立.

    推论3  设P是群G的西罗p-子群,H=NG(P),N是不可分解平凡西罗限制kH-模;若P是平凡交的,那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kG-模,并且,它恰是IndHGN的盖.

      P是平凡交的,那么,HG的强p-嵌入子群,由定理3得知推论3成立.

    定理4  设群G的子群H和西罗p-子群P满足GHNG(P);若PHx=1,xG-H,那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

      一方面,由定理1知,不可分解平凡西罗限制kG-模M的格林对应f(M)是一个不可分解平凡西罗限制kH-模,并且,它恰是ResHGM的盖.

    另一方面,由定理2知,不可分解平凡西罗限制kH-模N的格林对应g(N)是一个不可分解平凡西罗限制kG-模,并且,它恰是IndHGN的盖.

    综上,在HNG(P),且PHx=1,xG-H的情形下,不可分解平凡西罗限制模在格林对应下封闭,那么,由格林对应定理得知,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

    定理5  设HG的子群,N是平凡西罗限制kH-模;若H是群G的强p-嵌入子群,那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

      设强p-嵌入子群H包含G的西罗p-子群P.那么,首先,HNG(P);其次,由定理1,不可分解平凡西罗限制kG-模M的格林对应f(M)是一个不可分解平凡西罗限制kH-模,并且,它恰是ResHGM的盖;再次,由定理3,不可分解平凡西罗限制kH-模N的格林对应g(N)是一个不可分解平凡西罗限制kG-模,并且,它恰是IndHGN的盖.

    综上,结合格林对应定理得知,当H是群G的强p-嵌入子群时,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

    推论4  设P是群G的西罗p-子群,HG的子群,并且HNG(P);若G有平凡西罗交,那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

      由推论2和定理5的证明即可证得.

    推论5  设P是群G的西罗p-子群,H=NG(P),N是不可分解平凡西罗限制kH-模;若P是平凡交的,那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

      由推论3和定理5的证明即可证得.

    参考文献
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    On Green Correspondence for the kG-Module with Trivial Sylow Restriction
    HUANG Wen-lin     
    School of Information, Renmin University of China, Beijing 100872, China
    Abstract: In this paper, we study the kG-module with trivial Sylow restriction, investigate its Green correspondent and prove that if PHx=1 for any xG-H and, in particular, H is a strongly p-embedded subgroup of G, then Green correspondence sets up a bijection between the isomorphism classes of the indecomposable kG-module with trivial Sylow restriction and of the indecomposable kH-module with trivial Sylow restriction.
    Key words: module with trivial sylow restriction    green correspondence    strongly p-embedded subgroup    
    X