西南大学学报 (自然科学版)  2017, Vol. 39 Issue (8): 97-100.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.08.014
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    郭红如
    吕恒
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  • 可以表示成3个或4个交换子群并的群    [PDF全文]
    郭红如, 吕恒     
    西南大学 数学与统计学院,重庆 400715
    摘要:主要证明了一个群如果可以表示为3个或4个交换子群的并,则下列结论成立:① 群G可以表示成3个交换子群的并当且仅当G/Z(G)≅Z2×Z2;② 群G可以表示成4个交换子群的并当且仅当G/Z(G)≅S3G/Z(G)≅Z3×Z3.
    关键词交换子群    非交换集    幂零群    

    一个群能表示成若干个交换子群的并和一个群可以表示成若干个真子群的并是有区别的,例如D12能表示成3个真子群的并,但表示成交换子群的并时最少是4个.文献[1-2]分别给出了有限群G表示为3个或4个真子群的并时,G分别同态于K4和同态于S3Z3× Z3.文献[3]给出了当Gn阶有限群时,存在一个整数Kn/2+1,使得G可以表示为K个交换子群的并;文献[4]介绍并研究了能覆盖一般线性群GLn(q)的交换子群族,证明了这个交换子群族包含了所有的循环矩阵(特征多项式等于极小多项式的矩阵)的中心化子,并且当qn时两者相等.在研究有限群的真子群的覆盖问题上延伸出来的非交换群在什么条件下可以表示为交换子群的并的问题成为一个有趣的问题.主要证明了一个有限非交换群G可以表示为3个交换子群的并的充分必要条件是G/Z(G)≅Z2×Z2;有限非交换群G可以表示为4个交换子群的充分必要条件是G/Z(G)≅S3G/Z(G)≅Z3×Z3.

    在后面的叙述中,我们总假定群G非交换且能最少表示为n个不同的交换子群的并,并且这n个不同的交换子群总可以是G的极大的交换子群.本文所用到的群论知识请参考文献[5].

    1 主要结论及证明

    下面给出本文的主要结论及证明.

    引理1  有限p-群P不能表示为小于或者等于p个交换真子群的并.

      显然P不能是循环群.因此P/Ф(P)≅Cp×Cp×…Cp,其中Ф(P)是P的Frattini子群,Cpp阶循环子群.易得P/Ф(P)的极大子群个数一定是大于或者等于p+1.又P的所有极大子群包含Ф(P),从而可得P的极大子群个数一定是大于或者等于p+1.而对于P的任意交换子群AA一定包含在P的一个极大子群内,故G不能表示为p个交换子群的并.

    引理2  设群G是其非交换子群G1与非交换子群G2的直积.若G1G2分别可以表示成mn个交换子群的并,则G可以表示成至少mn个交换子群的并.

      设G1=A1A2∪…∪AmG2=B1B2∪…∪Bn.对任意的gG1×G2g=g1g2,其中g1G1g2G2.因此存在ij使得

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{g_1} \in {A_i}}&{{g_2} \in {B_j}}&{1 \le i \le m, 1 \le j \le n} \end{array} $

    于是gAiBj.显然AiBj是交换群.故$G=\underset{i, j}{\mathop{\cup }}\, {{A}_{i}}{{B}_{j}}$可以表示成mn个交换子群的并.

    下面先证明

    $ G \ne \bigcup\limits_{i, j \ne 1} {{A_i}{B_j}} $

    $ K \ne \bigcup\limits_{i, j \ne 1} {{A_i}{B_j}} $

    分别取

    $ {a_1} \in {G_1} - \bigcup\limits_{i \ne 1} {{A_i}} \;\;\;\;\;{b_1} \in {G_2} - \bigcup\limits_{j \ne 1} {{B_j}} $

    a1b1A1B1.若a1b1K,即存在ij不同时为1使得

    $ {a_1}{b_1} \in {A_i}{B_j} $

    于是存在aiAibjBj使得

    $ {a_1}{b_1} = {a_i}{b_j} $

    从而可得

    $ {a_1}a_i^{ - 1} = {b_j}b_1^{ - 1} = 1 $

    $ {a_1} = {a_i} \in {A_i}\;\;\;\;\;{b_1} = {b_j} \in {B_j} $

    这与${{a}_{1}}\in {{G}_{1}}-\underset{i\ne 1}{\mathop{\cup }}\, {{A}_{i}}, {{b}_{1}}\in {{G}_{2}}-\underset{j\ne 1}{\mathop{\cup }}\, {{B}_{j}}$的选取矛盾.因此KG.

    G=H1H2∪…∪Hk,其中HiG的极大交换子群,1≤ik.下证kmn.易得Ai=G1HiBi=G2HiG1G2的极大交换子群.令集合

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {A = \left\{ {{G_1} \cap {H_i}\left| {1 \le i \le k} \right.} \right\}}&{B = \left\{ {{G_2} \cap {H_i}\left| {1 \le i \le k} \right.} \right\}} \end{array} $

    则可得

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_1} = \bigcup\limits_{{A_i} \in A} {{A_i}} }&{{G_2} = \bigcup\limits_{{B_i} \in B} {{B_i}} } \end{array} $

    由题设可得|A|≥m,|B|≥n.由前两段的证明可得G可以表示成|A||B|≥mn个交换子群的并,故kmn.由此表明结论成立.

    引理3  有限非交换p-群G恰能表示为p+1个交换真子群的并当且仅当G/Z(G)≅Cp×Cp.其中Cpp阶循环子群.

      充分性  若G/Z(G)≅Cp×Cp,则易得G/Z(G)可以表示成p+1个循环子群的并,故G可以表示成p+1个交换子群的并.

    必要性  设G=A1A2∪…∪Ap+1. Ai是交换子群,1≤ip+1.若存在两个Ai不是极大子群,不妨设AiA2不是极大子群,则

    $ \left| {G:{A_i}} \right| \ge {p^2}\;\;\;\;\;i = 1, 2 $

    $ \left| {{A_i}} \right| \le \left| G \right|/{p^2}\;\;\;\;i = 1, 2 $

    因此存在j≥2使得

    $ \left| {{A_j}} \right| > \left( {\left| G \right| - \left| {{A_1}} \right| - \left| {{A_2}} \right|} \right)/\left( {p - 1} \right) \ge \left( {1 - 2/{p^2}} \right)\left( {1/\left( {p - 1} \right)} \right)\left| G \right| \ge \left( {1/p} \right)\left| G \right| $

    Ai=G,矛盾.故A1,…,Ap+1中至多一个子群不是极大子群.现令A2,A3是两个互不相同的极大子群,则G=A2A3且|G:A2A3|=p2.显然Z(G)=A2A3G/Z(G)≅Cp×Cp.

    定理1  群G可以表示为3个交换子群的并的充分必要条件为G/Z(G)≅Z2×Z2.

      充分性  由于Z2×Z2仅有3个循环子群,因此易得G可以表示成3个交换子群的并.

    必要性  易得G存在极大交换子群H使得|G:H|<3.因此|G:H|=2,则HG.任意取xG-HyH,若[xyi]≠1,1≤im,则易得xxyxy2,…,xymy两两互不交换,因此在互不相同的交换子群里面,即可得m=1.由于G不幂零,即H中只有Sylow2-子群存在元与x不交换.因此G幂零且只有Sylow2-子群非交换.于是G的Sylow2-子群可以表示为3个交换子群的并,由引理3知结论成立.

    定理2  若群G可以表示为4个交换子群的并的充分必要条件为G/Z(G)≅S3G/Z(G)≅Z3×Z3.

      首先证明G可解.假设G=H1H2H3H4,其中Hi (1≤i≤4) 是群G的极大交换子群.由于1∈∩Hi(i=1,2,…,4),因此一定存在某个Hi使得|G:Hi|<4(取阶最大的Hi).

    若|G:Hi|=2,则G可解;若|G:Hi|=3,则|G:(Hi)G||6,其中(Hi)GHiG中的核.此时G/(Hi)G可解,故G可解.

    充分性  要证明G/Z(G)≅S3G/Z(G)≅Z3×Z3,易得G/Z(G)都可以表示成4个循环子群的并,故G可以表示成4个交换子群的并.

    必要性  要证明G/Z(G)≅S3G/Z(G)≅Z3×Z3,首先证明q>3时,G的Sylowq-子群QZ(G).

    显然Q包含在一个正规的交换子群中,因此QG的正规子群.仅需考虑对任意xG,其中|x|=2α或3β(αβ≥0).考虑半直积H=〈x〉⋉Q.则〈x〉是H的Sylow2-子群或Sylow3-子群.若对任意yQ有[xxy]=1,由于〈x〉=〈xy〉都是H的Sylow-子群,因此〈x〉⊴H,于是可得[〈x〉,Q]=1,即QZ(G).

    若存在yQ,使得[xy]≠1,则集合

    $ X = \left\{ {x, {x^y}, {x^{{y^2}}}, \cdots, {x^{{y^{q - 1}}}}, \left( {q > 3} \right)} \right\} $

    中的元一定不是两两交换的.否则设

    $ \left[{{x^{{y^i}}}, {x^{{y^j}}}} \right] = 1\;\;\;\;\;\;\;\;1 \le i, j \le q - 1 $

    于是

    $ \left[{x, {x^{{y^{j-i}}}}} \right] = 1 $

    从而可得

    $ \left\langle x \right\rangle = \left\langle {{x^{{y^{j - i}}}}} \right\rangle $

    即子群〈x〉⊴〈xyj-i〉.由此可得[xyj-i]=1,而(j-iq)=1,同理可得[xy]=1,矛盾.因此集合X中任意两个元不能交换,即不能同时在一个交换子群里面.又q≥5,这与题设G可以表示为4个交换子群相矛盾.

    所以当G幂零时,由引理2可得只有G的Sylow3-子群不是交换群,从而G的Sylow3-子群P3可以表示成4个交换子群的并,进一步由引理3知

    $ {P_3}/Z\left( {{P_3}} \right) \cong {Z_3} \times {Z_3} $

    从而得到

    $ G/Z\left( G \right) \cong {Z_3} \times {Z_3} $

    G不幂零时,前面证明存在极大交换子群H使得[G:H]≤3.若|G:H|=2,则HG.类似定理1的证明,任意取xG-HyH,若[xyi]≠1,1≤im,则易得xxyxy2,…,xymy两两互不交换,因此在互不相同的交换子群里面,即可得m≤2.由于G不幂零,即H中只有Sylow3-子群存在元与x不交换.又由文献[5]的定理2.7知

    $ H = {C_H}\left( {\left\langle x \right\rangle } \right) \times \left[{H, \left\langle x \right\rangle } \right] $

    其中[H,〈x〉]包含在H的Sylow3-子群中且[H,〈x〉]所有元与x不交换.于是[H,〈x〉]是3阶循环群,故Z(G)=CH(〈x〉)且G/Z(G)≅S3.

    若|G:H|=3且HG,类似可得H中只有Sylow2-子群存在元与x不交换且

    $ H = {C_H}\left( {\left\langle x \right\rangle } \right) \times \left[{H, \left\langle x \right\rangle } \right] $

    其中[H,〈x〉]包含在H的Sylow2-子群中,[H,〈x〉]所有元与x不交换.若|[H,〈x〉]|≥4,取互不相同非单位元y1y2y3∈[H,〈x〉],则易得xxy1xy2xy3x2y1是两两互不交换,矛盾.故|[H,〈x〉]|<4,此时可得G/Z(G)是6阶交换群,与G非幂零矛盾.

    若|G:H|=3且H不是G的正规子群,则HGZ(G)且|G:HG|=6,由G非幂零,此时可得G/HGS3.

    参考文献
    [1] 宋科研, 陈贵云. 再论能表示为三个交换子群的并的群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2009, 31(4): 6-7.
    [2] 宋科研, 晏燕雄. 论能表为四个真子群的并的群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2011, 33(2): 6-7.
    [3] MASON D R. On Covering of A Finite Group by Abelian Subgroups[J]. Math Proc Camb Phil Soc, 1978, 83(2): 205-209. DOI:10.1017/S0305004100054463
    [4] AZAD A, IRANMANESH M A, PRAEGER C E. Abelian Coverings of Finite General Linear Groups and An Application to Their Non-Commuting Graphs[J]. J Algebraic Combin, 2011, 34: 683-710. DOI:10.1007/s10801-011-0288-2
    [5] 徐明耀. 有限群论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2001.
    On Groups Which Are the Unions of Three or Four Abelian Subgroups
    GUO Hong-ru, LV Heng     
    School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China
    Abstract: This paper investigates the groups which are the unions of three or four abelian subgroups and obtains the following results: (1) Group G is the union of three abelian subgroups if and only if G/Z(G)≅Z2×Z2; (2) Group G is the union of four abelian subgroups if and only if G/Z(G)≅S3 or G/Z(G)≅Z3×Z3.
    Key words: abelian subgroup    non-commuting set    nilpotent group    
    X