西南大学学报 (自然科学版)  2018, Vol. 40 Issue (10): 103-106.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.10.017
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  • 约束对应的图像拓扑下拟变分不等式解的稳定性    [PDF全文]
    何基好1,2, 向淑文2, 贾文生2, 卢大远2, 邓喜才3     
    1. 贵州大学 计算机科学与技术学院, 贵阳 550025;
    2. 贵州大学 数学与统计学院, 贵阳 550025;
    3. 贵州师范学院 数学与计算机系, 贵阳 550018
    摘要:以往关于拟变分不等式解的稳定性的研究,都采用约束映射之间的一致度量.现采用约束映射图像之间的Hausdorff度量,并在此弱图像拓扑下,得到了拟变分不等式解的稳定性,即在Baire分类的意义下,大多数的拟变分不等式的解均是本质的.
    关键词拟变分不等式    约束映射    图像拓扑    通有稳定性    

    E是赋范线性空间,XE中的非空闭子集.设GX→2X为非空的集值映射(即对任何xXG(x)是X的非空子集),fX×X$\mathbb{R}$是泛函,则拟变分不等式问题(QVIP)为:求xX,满足xG(x),且使得f(xy)≤0(yG(x)),其中x是(QVIP)的解.

    文献[1-2]在研究与随机脉冲和控制相关的问题时提出了拟变分不等式.关于拟变分不等式解的存在性及其求解算法已经有相当多的成果[3-6].数学问题解的稳定性在理论、算法和应用上是非常重要的.但是,除了少数的数学问题外,大多数的数学问题都不能保证解的稳定性.人们自然要问,在什么情况下,解是稳定的?一类问题中的大多数问题都有稳定解?人们已经取得许多结论(如文献[7]).需要指出的是,以上关于拟变分不等式解的研究是基于约束映射所构成的空间一致拓扑.正如文献[8]指出,集值映射的图像拓扑允许比一致拓扑有更大的扰动,因为它同时考虑集值映射和可行策略集的扰动.文献[9-11]研究了图像拓扑意义下一些非线性问题解的稳定性.受到以上文献的启发,本文将图像拓扑引入到拟变分不等式问题中,利用非线性问题解的稳定性的研究模式得到拟变分不等式解的稳定性.

    X为赋范线性空间E中的一个非空凸紧集,记Φ为所有满足下列条件的函数fX×X$\mathbb{R}$的全体:

    (h1) f(xy)在X×X上是下半连续的;

    (h2)∀xXy$\longmapsto$ f(xy)是凹的;

    (h3)∀yXf(yy)≤0;

    (h4) $\mathop {\sup }\limits_{\left( {x, y} \right) \in \left( {X, X} \right)} $ |f(xy)|<+∞.

    Ψ为所有满足下列条件的集值映射GX→2X的全体:

    (h5) ∀xXG(x)是非空凸紧集;

    (h6) GX上是上半连续的.

    M=Φ×Ψ,对任意的u1=(f1G1),u2=(f2G2),在M上定义u1u2之间的距离为

    $ \rho \left( {{u_1},{u_2}} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left( {x,y} \right) \in \left( {X \times X} \right)} \left| {{f_1}\left( {x,y} \right) - {f_2}\left( {x,y} \right)} \right| + h\left( {{\rm{Graph}}\left( {{G_1}} \right),{\rm{Graph}}\left( {{G_2}} \right)} \right) $

    其中hX上的Hausdorff距离.

    注1  显然ρ是度量.另外,此处的ρ不同于文献[7]中定义的度量ρ

    $ \rho '\left( {{u_1},{u_2}} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left( {x,y} \right) \in \left( {X \times X} \right)} \left| {{f_1}\left( {x,y} \right) - {f_2}\left( {x,y} \right)} \right| + \mathop {\sup }\limits_{x \in X} h\left( {{G_1}\left( x \right),{G_2}\left( x \right)} \right) $

    定理1  (Mρ)是完备度量空间.

      设{un}是M中的任意一个Cauchy列,则对∀ε>0,存在正整数n1,使得对∀mnn1,有

    $ \rho \left( {{u_m},{u_n}} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left( {x,y} \right) \in \left( {X \times X} \right)} \left| {{f_m}\left( {x,y} \right) - {f_n}\left( {x,y} \right)} \right| + h\left( {{\rm{Graph}}\left( {{G_m}} \right),{\rm{Graph}}\left( {{G_n}} \right)} \right) < \varepsilon $

    X为赋范线性空间E中的一个非空凸紧集,由文献[12]的定理1.5.4,对∀(xy)∈(X×X),存在函数f(xy),使得fn(xy)→f(xy)(n→∞).又因Graph(Gn)为K(X×X)中的Cauchy列,由文献[13],存在非空紧集D2K(X×X),使得Graph(Gn)→D2.

    D2X上的投影为A,定义集值映射为GA→2A,且

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {G\left( x \right) = \left\{ {y \in X:\left( {x,y} \right) \in {D^2}} \right\}}&{\forall x \in X} \end{array} $

    则Graph(G)=D2,从而Graph(Gn)→Graph(G).

    xX,有(xyn)∈Graph(Gn),即ynGn(x).由于Gn(x)为紧的,不妨设yny.

    由文献[13]和Graph(Gn)→Graph(G),有(xy)∈Graph(G),yG(x),进一步得到GxX处存在.

    u=(fG),故unu.容易得到,∀xXyf(xy)是凹的.由文献[12]的定理2.2.1,且D2为紧的,从而GA上是上半连续且紧的.由(xnyn)→(xy),故存在正整数n2(n2n1).对∀nn2,再由fnf,有

    $ f\left( {{x_n},{y_n}} \right) > {f_n}\left( {{x_n},{y_n}} \right) - \varepsilon > {f_n}\left( {x,y} \right) - 2\varepsilon > f\left( {x,y} \right) - 3\varepsilon $

    ε的任意性,f(xy)在(xy)处是下半连续的.

    对∀y1y2G(x),有(xy1),(xy2)∈Graph(G).对∀xX,存在(xyn1),(xyn2)∈Graph(Gn),使得yn1y1yn2y2.

    Gn(x)为凸集,有λyn1+(1-λ)yn2Gn(x),即

    $ \left( {x,\lambda y_n^1 + \left( {1 - \lambda } \right)y_n^2} \right) \in {\rm{Graph}}\left( {{G_n}} \right) $

    由文献[13],令n→∞,有

    $ \left( {x,\lambda {y_1} + \left( {1 - \lambda } \right){y_2}} \right) \in {\rm{Graph}}\left( G \right) $

    λy1+(1-λ)y2G(x),故G(x)为凸集.

    对∀yG(x),由Graph(Gn)→Graph(G),Gn(yn)与G(y)都是非空紧集,存在ynGn(yn),使得yny,且fn(ynyn)≤0.由fnf下半连续,有

    $ f\left( {y,y} \right) < {f_n}\left( {y,y} \right) + \frac{\varepsilon }{2} < {f_n}\left( {{y_n},{y_n}} \right) + \varepsilon \le \varepsilon $

    ε的任意性,故f(yy)≤0.于是u=(fG)∈M.因此,(Mρ)是一个完备度量空间.

    对任意u=(fG)∈M,由文献[12]的系3.2.1,存在x*X,使得x*G(x*),且∀yG(x*),有f(x*y)≤0.记

    $ F\left( u \right) = \left\{ {x \in X:x \in G\left( x \right),f\left( {x,y} \right) \le 0,\forall y \in G\left( x \right)} \right\} $

    为拟变分不等式u的解的全体,则F是一个由MX的集值映射,且这样定义的映射F具有下面的性质:

    定理2  FM上是一个上半连续紧值映射.

      因unu,则fnf,Graph(Gn)→Graph(G).由xnF(un),知xnGn(xn),即(xnxn)∈Graph(Gn).

    unu,知Graph(Gn)→Graph(G).于是由文献[13]知,序列{(xnxn)}必有聚点(xx)∈Graph(G),即有子列{(xnkxnk)},(xnkxnk)(xx)∈Graph(G),从而xG(x).

    对∀yG(x),有(xy)∈Graph(G).由unu,知Graph(Gn)→Graph(G),且Gn(x)与G(x)都是非空紧集,则存在ynGn(x),使得yny,且fn(xyn)≤0.

    fnffnf下半连续,则有

    $ f\left( {x,y} \right) < f\left( {x,{y_n}} \right) + \frac{\varepsilon }{2} < {f_n}\left( {x,{y_n}} \right) + \varepsilon \le \varepsilon $

    ε的任意性,故f(xy)≤0.因此,xG(x),∀yG(x),f(xy)≤0,xF(u).

    对集值映射F,定义拟变分不等式u的本质解概念如下:

    定义1  (ⅰ)对∀uM,且xF(u),如果对x的任意开邻域U(x),存在u的开邻域O(u),使得∀uO(u),存在xF(u),而xU(x),则称x是拟变分不等式u的本质解;

    (ⅱ)如果对∀xF(u),x都是本质解,则称拟变分不等式u是本质的.

    由定义1及集值映射下半连续和连续的定义,易知有下面的结论:

    引理1  (ⅰ) uM是本质的当且仅当FuM处下半连续;

    (ⅱ)若FM上是上半连续的,则Fu处连续当且仅当u是本质的.

      只证明(ⅰ).

    必要性  若uM,对X中任意开集UUF(u)≠$\emptyset $,取xUF(u),则Ux的开邻域.因u是本质的,故xF(u)必是本质的.则存在u的开邻域O(u),使得uO(u),有xF(u),而xU,于是,UF(u)≠$\emptyset $.因此,Fu处下半连续.

    充分性  对∀uM,∀xF(u),x的任意开邻域U(x),有U(x)∩F(u)≠$\emptyset $.因Fu处下半连续,故存在u的开邻域O(u),使得uO(u),有U(x)∩F(u)≠$\emptyset $.取xU(x)∩F(u),则xF(u),而xU(x),则x必是本质的,则u是本质的.

    由本质解的定义、文献[12]的定理2.3.1、定理1、定理2及引理1,得到以下稳定性的结论:

    定理3  存在M中的稠密剩余集Q,使得对∀uQFu处下半连续,且拟变分不等式u是本质的.即在Baire分类的意义下,大多数的拟变分不等式都是本质的.

      因(Mρ)是完备度量空间,故(Mρ)是Baire空间、FM上是一个usco映射、由文献[12]的定理2.3.1,存在M中的稠密剩余集Q,使得对∀uQFu处下半连续,再由引理1,拟变分不等式u都是本质的.

    参考文献
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    [13] KLEIN E, THOMPSON A C. Theory of Correspondences[M]. New York: A Wiley-Inter Science Publication, 1984.
    The Stability of Solutions to Quasi-Variational Inequalities of Constrained Correspondence Graph Topology
    HE Ji-hao1,2, XIANG Shu-wen2, JIA Wen-sheng2, LU Da-yuan2, DENG Xi-cai3     
    1. College of Computer Science and Technology, Guizhou University, Guiyang 550025, China;
    2. School of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang 550025, China;
    3. Department of Mathematics and Computer, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China
    Abstract: On the stability of solutions to quasi-variational inequalities, previous researchers usually investigated it with uniform metric topology between constraint mappings. In the present study, the Hausdorff distance of graph between constrained mappings is used, and the stability of solutions to quasi-variational inequalities is obtained under this weak-graph topology, i.e., in the sense of the Baire category, the solutions to most quasi-variational inequalities are essential.
    Key words: quasi-variational inequality    constrained mapping    graph topology    generic stability    
    X