西南大学学报 (自然科学版)  2018, Vol. 40 Issue (12): 86-89.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.12.013
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    廖俊梅
    曹洪平
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  • 23p阶群的共轭类个数与群的结构    [PDF全文]
    廖俊梅, 曹洪平     
    西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715
    摘要:在有限群的研究中,群的阶和群的元素的共轭类个数是群的两个非常重要的数量,这两个数量对群的结构性质有很大影响,很多有限群完全可由这两个数量确定.对于阶为23pp为奇素数)的有限群,根据分类定理,一共有19类互不同构的23p阶群,对这19类23p阶群,利用它们的生成元与生成关系及数论和群论知识确定了它们的共轭类,并由此得出了它们的共轭类的个数,进一步对这19类23p阶群的共轭类个数进行比较,得到了23p阶群的共轭类个数的最小值.反过来,根据已得到的23p阶群的共轭类个数的最小值及群的阶,利用23p阶群的分类,对19类23p阶群的共轭类个数进行比较,确定了共轭类个数取最小值的23p阶群的具体结构.
    关键词共轭类个数    最小值    群结构    

    群的阶和元素的阶及同阶类等数量性质对有限群的刻画至关重要(文献[1-2]).此外共轭类的个数(文献[3-4])和长度对有限群的结构也有着重要影响,利用这两个量去刻画有限群的结构是近几十年有限群论研究领域的热点问题.对任一n阶群G,其共轭类个数一定不大于n.当阶固定时,同阶群的群结构或多或少有些不同,故n阶群的共轭类个数有一定的存在范围,那么其共轭类个数的下限是多少,以及取得下限的群结构是怎样的?或者我们可以思考:阶固定的群,当其共轭类个数取得其存在范围的下限时,该阶群的群结构是否能被唯一确定?若能,则用共轭类个数去刻画有限群的群结构就有了不一样的视角.本文对23p(p为奇素数)阶群进行了讨论,给出了其共轭类个数的最小值,并确定了其共轭类个数取得最小值时的群结构.

    本文中Gi(i=1,2,…,19)表示23p(p为奇素数)阶群,k(Gi)表示群Gi的共轭类个数.取xG. xG表示x所在的共轭类,|xG|表示该共轭类的长度.其他符号都是标准的,可参看文献[3-8].部分方法思路可参看文献[1-2, 9-10].

    定理1   对文献[11]的引理1中的Gi(i=1,2,…,19),其共轭类的个数如表 1所示.

    表 1 Gi共轭类的个数

      观察Gi的群结构可知G1G2G12为交换群,G18 $ \cong $ S4G3G4,…,G8的群结构相似,G9G10G11的群结构相似,G13G14G15的群结构相似,G16G17G19的群结构相似.下面分5个步骤分别讨论Gi(i=1,2,…,19)的共轭类个数.

    步骤1  计算G1G2G12G18的共轭类个数.

    已知交换群的中心为其自身,又因每个中心元自成一类,故G1G2G12的共轭类个数为8p.由文献[4]知S4的共轭类个数为5,故G18的共轭类个数为5.

    步骤2   计算G3G4,…,G8的共轭类个数.

    G5为例,设A=〈a〉,则|A|=4pA$\trianglelefteq $ G5.由文献[5]知Z(G5)=〈a2〉为2p阶子群,又因中心元自成一类,故Z(G5)中元组成2p个共轭类.现取:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {b \in A - Z\left( {{G_5}} \right)}&{{G_5} \supseteq {C_{{G_5}}}\left( b \right) \supseteq A} \end{array} $

    因为:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{G_5}:A} \right| = 2}&{{C_{{G_5}}}\left( b \right) \ne {G_5}} \end{array} $

    $ |{{C}_{{{G}_{5}}}}\left( b \right)|=|A|$,于是$|{{b}^{{{G}_{5}}}}|=\frac{8p}{4p}=2 $.又因$\frac{4p-2p}{2}=p $,故A-Z(G5)中元组成p个长为2的共轭类.另外${{G}_{5}}=A+gA $gA中有2p个2阶元,2p个4阶元. $ \forall x\in gA$,若x为2阶元,则${{C}_{{{G}_{5}}}}\left( x \right)\supseteq \left\langle x \right\rangle Z $.而|〈xZ|=4p,因此$4p||{{C}_{{{G}_{5}}}}\left( x \right)| $.又因$ {{C}_{{{G}_{5}}}}\left( x \right)\ne {{G}_{5}}$,故:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{C_{{G_5}}}\left( x \right)} \right| = 4p}&{\left| {{x^{{G_5}}}} \right| = \frac{{8p}}{{4p}} = 2} \end{array} $

    gA中2阶元组成p个共轭类.若x为4阶元,同理:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{G_5}}}\left( x \right) \supseteq \left\langle x \right\rangle Z}&{\left| {\left\langle x \right\rangle Z} \right| = \frac{{\left| Z \right|\left| {\left\langle x \right\rangle } \right|}}{{\left| {\left\langle x \right\rangle \cap Z} \right|}} = 4p} \end{array} $

    gA中4阶元组成p个共轭类.

    综上所述,

    $ k\left( {{G_5}} \right) = 2p + p + p + p = 5p $

    同理可得G3G4G6G7G8的共轭类个数.

    步骤3  计算G9G10G11的共轭类个数.

    G10为例,令A=〈abc〉,则:

    $ \begin{matrix} \left| A \right|=4p & A\trianglelefteq {{G}_{10}} \\ \end{matrix} $

    又因G10的中心Z=〈a〉×〈b〉为4阶循环群,故G10的中心含4个共轭类,取xA-Z,有

    $ \left| {{C_{{G_{10}}}}\left( x \right)} \right| = \left| A \right| = 4p $

    因此A-Z中元组成2p-2个共轭类.又因为:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_{10}} = A + gA}&{\left| {gA} \right| = 4p} \end{array} $

    其中2阶元和4阶元分别为2p个.对$\forall y\in gA $,若y为2阶元,则${{C}_{{{G}_{10}}}}\left( y \right)\supseteq \left\langle y \right\rangle Z $.又因|〈yZ|=8,故$ 8||{{C}_{{{G}_{10}}}}\left( y \right)|$.因为$ {{C}_{{{G}_{10}}}}\left( y \right)\ne {{G}_{10}}$,故$|{{C}_{{{G}_{y}}}}\left( 10 \right)|=8 $.所以gA中2阶元的共轭类个数为2.同理,gA中4阶元的共轭类个数也为2.

    综上所述,

    $ k\left( {{G_{10}}} \right) = 4 + \left( {2p - 2} \right) + 2 + 2 = 2p + 6 $

    同理可得G9G11的共轭类个数.

    步骤4   计算G13G14G15的共轭类个数.

    G15为例,由引理1知:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_{15}} = \left\langle {a,g} \right\rangle }&{{a^p} = {g^8} = 1}&{{g^{ - 1}}ag = {a^i}} \end{array} $
    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{i^8} \equiv 1\left( {\bmod p} \right)}&{{i^4} \equiv - 1\left( {\bmod p} \right)}&{p \equiv 1\left( {\bmod 8} \right)} \end{array} $

    由文献[12]得G15是以〈a〉为核、〈g〉为补的Frobenius群,所以G15中有p-1个p阶元,p个2阶元,2p个4阶元,p个8阶元.设xG15中的p阶元,则${{C}_{{{G}_{15}}}}\left( x \right)=\left\langle a \right\rangle $,从而

    $ \left| {{x^{{G_{15}}}}} \right| = \frac{{8p}}{p} = 8 $

    所以G15p-1个p阶元组成$\frac{p-1}{8} $个共轭类.设yG15中的2阶元,则$ |{{C}_{{{G}_{15}}}}\left( y \right)|=8$ (见文献[13]),所以

    $ \left| {{y^{{G_{15}}}}} \right| = \frac{{8p}}{p} = 8 $

    所以G15p个2阶元构成1个共轭类.设zG15中的4阶元,则$ |{{C}_{{{G}_{15}}}}\left( z \right)|=8$,从而$ |{{z}^{{{G}_{15}}}}|=\frac{8p}{8}=p$,所以G15中2p个4阶元组成2个共轭类.设wG15中的8阶元,则$|{{C}_{{{G}_{15}}}}\left( w \right)|=8 $,所以$|{{w}^{{{G}_{15}}}}|=\frac{8p}{8}=p $.所以G15中4p个8阶元构成4个共轭类,G15的中心为1,自成一类.

    综上所述,

    $ k\left( {{G_{15}}} \right) = 1 + 1 + 2 + 4 + \frac{{p - 1}}{8} = 8 + \frac{{p - 1}}{8} $

    同理可得G13G14的共轭类个数.

    步骤5   计算G16G17G19的共轭类个数.

    G16为例,令A=〈abc〉,AG16的Sylow-2子群,且为初等交换群. Z(G16)=1,自成一类.因

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{G_{16}} \supseteq {C_{{G_{16}}}}\left( x \right) \supseteq A}&{\forall x \in A - Z} \end{array} $

    且|G16:A|为素数,$ {{C}_{{{G}_{16}}}}\left( b \right)\ne {{G}_{16}}$,故:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{C_{{G_{16}}}}\left( x \right)} \right| = \left| A \right| = 8}&{\left| {{x^{{G_{16}}}}} \right| = \frac{{56}}{8} = 7} \end{array} $

    A-Z中的7个元组成一个共轭类.又由文献[14]的第三Sylow定理可知G16的Sylow-7子群的个数为8.从而G16中有48个7阶元,此外无其它阶元,令y为其任一7阶元,则:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{G_{16}}}}\left( y \right) \supseteq \left\langle y \right\rangle }&{\left| {{C_{{G_{16}}}}\left( y \right)} \right| = 7}&{\left| {{y^{{G_{16}}}}} \right| = \frac{{56}}{7} = 8} \end{array} $

    故7阶元有6个共轭类.

    综上所述,

    $ k\left( {{G_{16}}} \right) = 1 + 1 + 6 = 8 $

    同理可得G17G19的共轭类个数.

    定理2  设G是23p阶群,则:

    (ⅰ)当p=3时,k(G)≥5,且k(G)=5当且仅当G$ \cong $G18

    p=7时,k(G)≥8,且k(G)=8当且仅当G$ \cong $G16.

    (ⅱ)当p≠3,7时,

    p≡3(mod 4),则k(G)≥2p+3,且k(G)=2p+3当且仅当G$ \cong $G3G4

    p≡5(mod 8),则 $k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{2}+7 $ ,且 $ k\left( G \right)=\frac{p-1}{2}+7$ 当且仅当G$ \cong $G13

    p≡1(mod 8),则 $k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{8}+8 $ ,且 $ k\left( G \right)=\frac{p-1}{8}+8$ 当且仅当G$ \cong $G15.

       (ⅰ) p=3时,24阶群有15个,即G1G2,…,G12G17G18G19.又由定理1知,对24阶群Gk(G)≥5,且k(G)=5当且仅当G$ \cong $G18.

    p=7时,56阶群有13个,即G1G2,…,G12G16.又由定理1知,对56阶群Gk(G)≥8,且k(G)=8当且仅当G$ \cong $G16.

    (ⅱ) p≠3,7时,考虑p≡1(mod 4)和p≡3(mod 4).因p=4n+1,则当n为偶数时,p≡1(mod 8);当n为奇数时,p≡5(mod 8).故分以下几种情形:

    p≡3(mod 4),则8p阶群共有12个,即G1G2,…,G12,于是对8p(p≡3(mod 4))阶群G,有k(G)≥2p+3,且k(G)=2p+3当且仅当G$ \cong $G3G4.

    p≡5(mod 8),则8p阶群共有14个,即G1G2,…,G14,于是对8p(p≡5(mod 8))阶群G,有$k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{2}+7 $,且$ k\left( G \right)=\frac{p-1}{2}+7$当且仅当G$ \cong $G13.

    p≡1(mod 8),则8p阶群共有15个,即G1G2,…,G15,于是对8p(p≡1(mod 8))阶群G,有$ k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{8}+8$,且$ k\left( G \right)=\frac{p-1}{8}+8$当且仅当G$ \cong $G15.

    参考文献
    [1] 李月, 曹洪平. 交错群A5, A6, A7的新刻画[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2016, 38(2): 47-50.
    [2] 孙晓敏, 曹洪平. 用元素阶的和刻画2pq阶群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2014, 36(12): 56-60.
    [3] 朱伟华, 游兴中.共轭类的数量性质与有限群结构[D].长沙: 长沙理工大学, 2013. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10536-1013303049.htm
    [4] 李美艳, 游兴中. 非中心元的共轭类较少的有限群[J]. 吉首大学学报(自然科学版), 2014, 35(4): 13-17. DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2014.04.003
    [5] 张远达. 有限群构造(下册)[M]. 北京: 科学出版社, 1982: 687-713.
    [6] LOPEZ A V, VERA-LOPEZ J. Classification of Finite Groups According to the Number of Conjugacy Classes[J]. Israel J Math, 1985, 51(4): 305-338. DOI:10.1007/BF02764723
    [7] LOPEZ A V, VERA-LOPEZ J. Classification of Finite Groups According to the Number of Conjugacy Classes Ⅱ[J]. Israel J Math, 1986, 56(2): 188-221. DOI:10.1007/BF02766124
    [8] 徐明曜. 有限群导引(上册)[M]. 北京: 科学出版社, 1999.
    [9] ISAACS I M. Character Theory of Finite Groups[J]. Walter de Gruyter, 1998, 27(2): 515-524.
    [10] 薛海波, 吕恒. 非交换子群具有极小中心化子的有限p-群[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2016, 41(8): 12-15.
    [11] 苑金枝, 曹洪平. 23p阶群的一个新刻画[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2008, 30(4): 7-10.
    [12] KURZWEIL H, STELLMACHER B.有限群论导引[M].施武杰, 李士恒, 译.北京: 科学出版社, 2009: 62-64.
    [13] 曲海鹏, 陈迎光. 9中心化子群的结构[J]. 数学研究, 2010, 43(1): 89-97.
    [14] 陈重穆. 有限群论基础[M]. 重庆: 重庆出版社, 1982: 46-49.
    The Number of Conjugate Classes and the Structure of the Group with Order 23p
    LIAO Jun-mei, CAO Hong-ping     
    School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China
    Abstract: In the study of finite groups, the order of a group and the number of conjugate classes of the elements of a group are two very important quantities of the group. These two quantities have a great influence on the structure and properties of the group. Many finite groups can be determined completely by these two quantities. For groups of order 23p (p is an odd prime), the number of conjugate classes of 19 kinds of groups of order 23p is determined by using their generators and generative relations as well as the knowledge of number theory and group theory. The number of conjugate classes of the 19 kinds of groups of order 23p is further compared, and the minimum number of conjugate classes of groups of order 23p is obtained. According to the minimum number of conjugate classes and the order of groups of order 23p, the number of conjugate classes of 19 groups of order 23p is compared by using the classification of groups of order 23p, and the concrete structure of groups of order 23p with the minimum number of conjugate classes is determined.
    Key words: conjugate class number    minimum value    group structure    
    X