西南大学学报 (自然科学版)  2018, Vol. 40 Issue (12): 94-99.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.12.015
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  • 模的限制内射维数    [PDF全文]
    宋彦辉, 梁力     
    兰州交通大学 数理学院, 兰州 730070
    摘要:介绍并研究了限制内射模,指出Gorenstein内射模是限制内射模,但反之不然.利用限制内射模的分解进一步研究了经典的限制内射维数,给出了其新的计算办法.证明了强挠自由模的特征模是限制内射的.当限定环的条件,即splf R° < ∞时,证明了:R-模M是强挠自由模当且仅当特征模M+是限制内射的.进一步,探讨了R-模M的限制平坦维数和M+的限制内射维数之间的关系.
    关键词限制内射模    限制内射维数    强挠自由模    

    本文中的环均指有单位元的结合环,所有的R-模都指左R-模(右R-模可视为反环R°上的模).关于限制同调维数,文献[1]做了很多工作,运用导出函子定义了模M的限制投射、内射和平坦维数:

    RpdRM=sup{i≥0|存在内射维数有限的R-模T,使得ExtRi(MT)≠0.}

    RidRM=sup{i≥0|存在投射维数有限的R-模L,使得ExtRi(LM)≠0.}

    RfdRM=sup{i≥0|存在平坦维数有限的R°-模T,使得ToriR(TM)≠0.}

    文献[2]研究了有限维数和限制平坦维数之间的关系.随后,文献[3-4]分别研究了复形的限制投射和内射维数,并给出了一些维数的性质.对限制同调维数的进一步研究可参见文献[5-6].受以上工作的启发,本文进一步研究模的限制内射维数.特别地,我们引入了限制内射模,并借助限制内射模的分解给出了限制内射维数新的计算办法.本文中投射、内射和平坦R-模的类分别记为P(R),I(R),F(R),所有投射、内射和平坦维数有限的R-模的类记为$\overline{P\left( R \right)}$$\overline{I\left( R \right)}$$\overline{F\left( R \right)}$.

    定义1    设MR-模.如果对任意的投射维数有限的R-模L,都有ExtR1(LM)=0,则称M是限制内射模.所有限制内射R-模构成的类记为RI(R).

    命题1    设MR-模.则M是限制内射模当且仅当对任意投射维数有限的R-模L,任意i>0,都有ExtRi(LM)=0.

        充分性显然成立,下证必要性.不妨设pdRL=m<∞.若m=0,则结论显然成立.故设m>0,则存在正合列

    $ 0 \to {P_m} \to {P_{m - 1}} \to \cdots \to {P_0} \to L \to 0 $

    其中PiP(R).令K=Ker(P0L),则有正合列

    $ 0 \to K \to {P_0} \to L \to 0 $

    因为pdRKm-1<∞,所以ExtR1(KM)=0.由于ExtR2(LM)≅ExtR1(KM),故ExtR2(LM)=0.再由数学归纳法可得,对任意的i>0,ExtRi(LM)=0.

    定义2[7,定义2.1]    称R-模M是Gorenstein内射模,如果存在一个内射R-模的正合列

    $ \cdots \to {I_1} \to {I_0} \to {I^0} \to {I^1} \to \cdots $

    使得M≅Ker(I0I1),并且对任意内射R-模E,HomR(E,-)保持其正合.所有Gorenstein内射R-模构成的类记为GI(R).

    命题2    设R是环.则Gorenstein内射R-模是限制内射的,即GI(R)⊆RI(R).

        设M是Gorenstein内射R-模,下证MRI(R),即对任意L$\overline{P\left( R \right)}$,证明ExtR1(LM)=0.不妨设pdRL=m<∞.如果m=0,则结论显然成立.故设m>0.因为MGI(R),则存在正合列

    $ 0 \to K \to {I_{m - 1}} \to \cdots \to {I_0} \to M \to 0 $

    其中IiI(R),故有

    $ {\rm{Ext}}_R^1\left( {L,M} \right) \cong {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,K} \right) = 0 $

    因此MRI(R).

    以下例子说明限制内射R-模未必是Gorenstein内射的.

    例1    设(Rm)是一个交换的Artin局部环,其中m2=0,且R不是Gorenstein环.事实上R=k[xy]/(x2xyy2)即满足上述条件,其中k是域.因为R不是Gorenstein环,故存在非Gorenstein内射的R-模M,但M是限制内射的.事实上,若L是任意投射维数有限的R-模,因为R是一个交换的Artin局部环,所以L是投射的,因此ExtR1(LM)=0,即M是限制内射R-模.

    定义3[8]    设ℵ是R-模的类.如果I(R)⊆ℵ,且对任意的正合列

    $ 0 \to X' \to X \to X'' \to 0 $

    其中X∈ℵ,有X∈ℵ当且仅当X∈ℵ,则称ℵ是内射可解的.

    定理1    令R是环,则RI(R)是内射可解的,并且对任意的直积和直和项封闭.

        注意到I(R)⊆RI(R).令0→MMM0是R-模的正合列,其中MRI(R),下证MRI(R)当且仅当MRI(R).设MRI(R).对任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,有正合列

    $ \cdots \to {\rm{Ext}}_R^1\left( {L,M} \right) \to {\rm{Ext}}_R^1\left( {L,M''} \right) \to {\rm{Ext}}_R^2\left( {L,M'} \right) \to \cdots $

    因为MMRI(R),所以由命题1知

    $ {\rm{Ext}}_R^1\left( {L,M} \right) = 0 = {\rm{Ext}}_R^2\left( {L,M'} \right) $

    因此ExtR1(LM)=0,故MRI(R).反之,设MRI(R),类似于上述证明可得MRI(R),因此RI(R)是内射可解的.

    设{Mi|iI}⊆RI(R),则对任意L$\overline{P\left( R \right)}$有ExtR1(LMi)=0,所以

    $ {\rm{Ext}}_R^1\left( {L,\prod {{M_i}} } \right) \cong \prod {{\rm{Ext}}_R^1\left( {L,{M_i}} \right)} = 0 $

    因此∏MiRI(R),即RI(R)对任意直积封闭,再由文献[8]的命题1.4知RI(R)对直和项封闭.

    MR-模,则由文献[1]的定义5.10知,M的限制内射维数是

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M = \sup \left\{ {i \ge 0\left| {存在\;L \in \overline {P\left( R \right)} ,使得\;{\rm{Ext}}_R^i\left( {L,M} \right) \ne 0} \right..} \right\} $

    由命题1知,RidRM=0当且仅当M是限制内射模.

    下面我们借助限制内射模的分解给出其新的计算办法.

    引理1    设有R-模的正合列0→MEC→0,其中E是限制内射模.如果M是限制内射模,那么C也是限制内射模,否则RidRC=RidRM-1.

        若M是限制内射模,则由定理1知,C也是限制内射模.令M不是限制内射模,即RidRM>0,当RidRM=∞时,由维数转移知结论成立.不妨设RidRM=n<∞,则存在L$\overline{P\left( R \right)}$,使得

    $ 0 \ne {\rm{Ext}}_R^n\left( {L,M} \right) \cong {\rm{Ext}}_R^{n - 1}\left( {L,C} \right) $

    所以

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}C \ge n - 1 $

    若RidRCn,则由维数转移知RidRMn+1,这与RidRM=n矛盾,因此

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}C = n - 1 = {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M - 1 $

    定理2    设MR-模,n≥0是整数,则以下结论等价:

    (ⅰ) RidRMn

    (ⅱ)存在R-模的正合列0→ME0→…→En→0,其中Ei是限制内射模;

    (ⅲ)对任意的in及任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,都有ExtRi(LM)=0;

    (ⅳ)对任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,都有ExtRn+1(LM)=0;

    (ⅴ)对任意正合列0→ME0E1→…,其中Ei是限制内射R-模,都有Kn=Ker(EnEn+1)是限制内射模.

    (ⅰ)⇒(ⅱ)设RidRMn,对n进行数学归纳.当n=0时,M是限制内射模,则结论显然成立.不妨设n>0,考虑正合列

    $ 0 \to M \to {E^0} \to K \to 0 $

    其中E0I(R),则由引理1知RidRK=n-1,再由归纳假设知,存在R-模的正合列

    $ 0 \to K \to {E^1} \to \cdots \to {E^n} \to 0 $

    其中Ei是限制内射的.因此存在R-模的正合列

    $ 0 \to K \to {E^0} \to {E^1} \to \cdots \to {E^n} \to 0 $

    其中Ei是限制内射模.

    (ⅱ)⇒(ⅲ)令0→ME0→…→En→0是R-模的正合列,其中Ei是限制内射的.由维数转移知,对任意的in及任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,都有

    $ {\rm{Ext}}_R^i\left( {L,M} \right) \cong {\rm{Ext}}_R^{i - n}\left( {L,{E^n}} \right) = 0 $

    (ⅳ)⇒(ⅴ)考虑正合列0→ME0E1→…,其中Ei是限制内射R-模.令

    $ {K^n} = {\rm{Ker}}\left( {{E^n} \to {E^{n + 1}}} \right) $

    则有正合列

    $ 0 \to M \to {E^0} \to \cdots \to {E^{n - 1}} \to {K^n} \to 0 $

    对任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,有

    $ {\rm{Ext}}_R^1\left( {L,{K^n}} \right) \cong {\rm{Ext}}_R^{n + 1}\left( {L,M} \right) = 0 $

    因此Kn是限制内射模.

    (ⅱ)⇒(ⅰ)令0→ME0→…→En→0是R-模的正合列,其中Ei是限制内射的.对n进行数学归纳.若n=0,则M是限制内射的,结论显然成立.不妨设n>0,令K=Ker(E1E2),则有正合列

    $ 0 \to M \to {E^0} \to K \to 0 $

    $ 0 \to K \to {E^1} \to \cdots \to {E^n} \to 0 $

    由归纳假设得RidRKn-1.若M是限制内射模,则结论显然成立;若M不是限制内射模,则由引理1知RidRM=RidRK+1≤n.

    (ⅲ)⇒(ⅳ)和(ⅴ)⇒(ⅱ)显然成立.

    推论1    设{Mλ|λΛ}是R-模的类,则有RidR(∏Mλ)=sup{RidRMλ|λΛ}.

        首先证明RidR(∏Mλ)≤sup{RidRMλ|λΛ}.不妨设sup{RidRMλ|λΛ}=n<∞,则对任意的λΛ,都有RidRMλn.由定理2知,存在正合列

    $ 0 \to {M_\lambda } \to {E_{{\lambda _0}}} \to \cdots \to {E_{{\lambda _n}}} \to 0 $

    其中Eλ0,…,Eλn是限制内射R-模,故存在正合列

    $ 0 \to \prod {{M_\lambda }} \to \prod {{E_{{\lambda _0}}}} \to \cdots \to \prod {{E_{{\lambda _n}}}} \to 0 $

    由定理1知∏Eλ0,…,∏Eλn是限制内射R-模,因此RidR(∏Mλ)≤n.

    另一方面,要证sup{RidRMλ|λΛ}≤RidR(∏Mλ),只需证明对任意的λΛ,RidRMλ≤RidR(∏Mλ)即可.不妨设RidR(∏Mλ)=m<∞.由定理2知对任意im以及L$\overline{P\left( R \right)}$,有ExtRi(L,∏Mλ)=0,所以ExtRi(LMλ)=0.再由定理2知RidRMλm.

    命题3    设R是环,0→MMM→0是R-模的正合列.则:

    (ⅰ)令n≥0且RidRMn,则RidRMn当且仅当RidRMn,并且有不等式RidRM≤max{RidRM,RidRM}和RidRM≤max{RidRM,RidRM};

    (ⅱ)若RidRM>RidRM或RidRM>RidRM,则RidRM=RidRM

    (ⅲ) RidRM≤1+max{RidRM,RidRM}.

        (ⅰ)若n=0,即MRI(R),则由定理1知,MRI(R)当且仅当MRI(R).设n>0,由Horseshoe引理可得以下正合交换:

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&0&{}&0&{}&0&{}&{}\\ {}&{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}&{}\\ 0& \to &{M'}& \to &M& \to &{M''}& \to &0\\ {}&{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}&{}\\ 0& \to &{{{I'}_0}}& \to &{{{I'}_0} \oplus {{I''}_0}}& \to &{{{I''}_0}}& \to &0\\ {}&{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}&{}\\ {}&{}& \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots &{}&{}\\ {}&{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}&{}\\ 0& \to &{{{I'}_{n - 1}}}& \to &{{{I'}_{n - 1}} \oplus {{I''}_{n - 1}}}& \to &{{{I''}_{n - 1}}}& \to &0\\ {}&{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}&{}\\ 0& \to &{K'}& \to &K& \to &{K''}& \to &0\\ {}&{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}& \downarrow &{}&{}\\ {}&{}&0&{}&0&{}&0&{}&{} \end{array} $

    其中I0,…,In-1I0,…,In-1都是内射模.由定理2知KRI(R).再由定理1知,KRI(R)当且仅当KRI(R),所以RidRMn当且仅当RidRMn.

    不妨设m=max{RidRM,RidRM}<∞.对任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,考虑正合列

    $ \cdots \to {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,M} \right) \to {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,M''} \right) \to {\rm{Ext}}_R^{m + 2}\left( {L,M'} \right) \to \cdots $

    由定理2知

    $ {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,M} \right) = 0 = {\rm{Ext}}_R^{m + 2}\left( {L,M'} \right) $

    所以

    $ {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,M''} \right) = 0 $

    因此

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M'' \le m = \max \left\{ {{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M',{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M} \right\} $

    同理可得

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M \le \max \left\{ {{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M',{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M''} \right\} $

    (ⅱ)设RidRM>RidRM,则由(ⅰ)知RidRM≤RidRM.若RidRM<RidRM,则

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M'' > \max \left\{ {{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M',{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M} \right\} $

    这与(ⅰ)中事实相矛盾,所以RidRM=RidRM.同理可证当RidRM>RidRM时,RidRM=RidRM.

    (ⅲ)不妨设m=max{RidRM,RidRM}<∞.对任意的L$\overline{P\left( R \right)}$,考虑正合列

    $ \cdots \to {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,M''} \right) \to {\rm{Ext}}_R^{m + 2}\left( {L,M'} \right) \to {\rm{Ext}}_R^{m + 2}\left( {L,M} \right) \to \cdots $

    由定理2知

    $ {\rm{Ext}}_R^{m + 1}\left( {L,M''} \right) = 0 = {\rm{Ext}}_R^{m + 2}\left( {L,M} \right) $

    因此

    $ {\rm{Ext}}_R^{m + 2}\left( {L,M'} \right) = 0 $

    再由定理2可得

    $ {\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M' \le 1 + m = 1 + \max \left\{ {{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M'',{\rm{Ri}}{{\rm{d}}_R}M} \right\} $

    推论2    设有R-模的正合列0→MMM→0,如果MMM中任意两个模的限制内射维数有限,那么第三个模的限制内射维数也有限.

    定义4[9,定义5.4.2]    设MR-模,如果对任意的平坦维数有限的R°-模T,都有Tor1R(TM)=0,则称M是强挠自由的.

    对于环R,令splf R=sup{pdRF|F是平坦R-模}.若R是Iwanaga-orenstein环,则由文献[10]的命题9.1.7知splf R<∞.若环R的左有限投射维数有限,则由文献[11]的命题6知splf R<∞.对不变量splf R的进一步研究可参见文献[12].

    引理2    设MR-模,若M是强挠自由模,则M的特征模Hom(M,ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.如果splf R°<∞,那么M是强挠自由模当且仅当Hom(M,ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.

        设M是强挠自由模,则对任意平坦维数有限的R°-模T,都有Tor1R(TM)=0.令L是投射维数有限的R°-模.则L的平坦维数有限,故有

    $ \text{Ext}_{{{R}^{\circ }}}^{1}\left( L,\text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right) \right)\cong \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( \text{Tor}_{1}^{R}\left( L,M \right),\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)=0 $

    从而Hom(M,ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.

    令splf R°<∞且Hom(M,ℚ/ℤ)是限制内射R°-模.对任意平坦维数有限的R°-模L,由条件知L的投射维数有限,故

    $ \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( \text{Tor}_{1}^{R}\left( L,M \right),\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\cong \text{Ext}_{{{R}^{\circ }}}^{1}\left( L,\text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right) \right)=0 $

    所以M是强挠自由模.

    定理3    设MR-模,则有不等式RidR°Hom(M,ℚ/ℤ)≤RfdRM;如果splf R°<∞,那么

    $ \text{Ri}{{\text{d}}_{{{R}^{\circ }}}}\text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)=\text{Rf}{{\text{d}}_{R}}M $

        不妨设RfdRM=n<∞,则由文献[3]的推论2.5知,存在R-模的正合列

    $ \xi :0 \to {F_n} \to \cdots \to {F_0} \to M \to 0 $

    其中Fi是强挠自由模.用函子Hom(-,ℚ/ℤ)作用于正合列ξ,得到以下正合列

    $ 0\to \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\to \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( {{F}_{0}},\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\to \cdots \to \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( {{F}_{n}},\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\to 0 $

    因为Fi是强挠自由模,所以由引理2知Hom(Fi,ℚ/ℤ)是限制内射模.因此由定理2可得

    $ \text{Ri}{{\text{d}}_{{{R}^{\circ }}}}\text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\le n=\text{Rf}{{\text{d}}_{R}}M $

    如果splf R°<∞,下证RfdRM≤RidR°Hom(M,ℚ/ℤ).不妨设RidR°Hom(M,ℚ/ℤ)=n<∞,考虑正合列

    $ \eta :0 \to {K_n} \to {F_{n - 1}} \to \cdots \to {F_0} \to M \to 0 $

    其中Fi是平坦模.再用函子Hom(-,ℚ/ℤ)作用于正合列η,得到以下正合列

    $ 0\to \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\to \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( {{F}_{0}},\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\to \cdots \to \text{Ho}{{\text{m}}_{\mathbb{Z}}}\left( {{K}_{n}},\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \right)\to 0 $

    其中Hom(Fi,ℚ/ℤ)是内射模.注意到RidR°Hom(M,ℚ/ℤ)=n,由定理2知Hom(Kn,ℚ/ℤ)∈RI(R),从而由引理2知Kn是强挠自由模.因此再由文献[3]的推论2.5可得RfdRMn.

    参考文献
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    Restricted Injective Dimension of Modules
    SONG Yan-hui, LIANG Li     
    School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China
    Abstract: This paper introduces the conception of restricted injective module and points out that Gorenstein injective modules are restricted injective modules, but the opposite is not true. The classical restricted injective dimension is investigated by using resolutions with restricted injective modules, and some new methods are given to compute the restricted injective dimension. It is shown in the paper that M is a strongly torsion-free module and M+ is restricted injective. If splf R° < ∞, then M is a strongly torsion-free module if and only if M+ is restricted injective. Furthermore, the relationships between the restricted flat dimension of M and the restricted injective dimension of M+ are given.
    Key words: restricted injective module    restricted injective dimension    strongly torsion-free module    
    X