西南大学学报 (自然科学版)  2018, Vol. 40 Issue (12): 105-111.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.12.017
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  • 一类偏序线性代数上的Freudenthal谱定理    [PDF全文]
    辛巧1, 穆春来2     
    1. 伊犁师范学院 数学与统计学院, 新疆 伊宁 835000;
    2. 重庆大学 数学与统计学院, 重庆 401331
    摘要:利用一类特殊的偏序线性代数上的极大投影的概念,讨论了其上的Freudenthal谱定理,不同于以往的方法,仅仅使用了偏序和Dedekind σ完备的基本概念.最后,给出了一个偏序线性代数的例子,它不是格,但是Freudenthal谱定理依然成立.
    关键词偏序线性代数    极大和极小投影    Freudenthal谱定理    

    关于Riesz空间上的Freudenthal谱定理的研究可以追溯至1936年Freudenthal的工作[1].在此基础上, 关于谱定理的研究开始受到了越来越多学者的关注, 此外, 谱定理在微分方程理论上的应用也受到国内外很多学者的关注[2-8].

    关于谱定理的研究, 文献[2]讨论了Dedekind完备的Riesz空间且是交换环的代数系统上的Freuenthal谱定理.本文主要讨论具有Dedekind σ完备的一类特殊的偏序线性代数上的Freuenthal谱定理.本文将此特殊的偏序线性代数称之为函数偏序线性代数.事实上, 函数偏序线性代数是一个格, 不同于文献[2]中采用的证明方法, 本文仅仅利用了偏序、Dedekind σ完备和极大、极小投影等基本概念来证明Freudenthal定理, 没有使用格的概念和技巧, 这提供了一个重要的启示, 即Freudenthal谱定理成立的条件或许不必是格, 最后的例子正是基于此, 这也是本文的主要动机.

    1 预备知识

    假定偏序线性代数(pola) A有乘法单位元1, 且1≥0.把具有Dedekind σ完备的偏序线性代数记作POLA, 即偏序线性代数A满足如下性质:若xnA, 且x1x2≥…≥xn≥…≥0, 则inf{xn}存在.此外, POLA满足Archimedean性质:若x, yA, 且对于所有的正整数n都有nxy, 则x≤0.关于POLA中的序闭和序极限可以按照标准的方式定义[9].设I={yAy≥1且y-1≥0}, 则I是一个序凸集, 即对于任意的y, zI, xAyxz, 则xI.其证明可以参考文献[9]中的引理6.4.定义A1=I-I, 称A1是POLA A的函数部分或者对角部分, 关于POLA的对角部分A1的主要性质概述如下:

    定理1[9]  集合A1是交换、序闭和序凸的子POLA, 且A1具有如下性质:

    (ⅰ)对于任意的xA1, 存在元素eA1, 使得0≤e≤1, e2=eex≥0, (1-e)x≤0;

    (ⅱ)对于任意的xA1, 有x2≥0, 并且若x2=0, 则x=0, 即A1不存在非零的幂零元;

    (ⅲ)对于任意的uA1u2=u, 有0≤u≤1;

    (ⅳ) A1是一个子POLA, 并且关于乘法运算是连续的, 即:若xnA1x1x2≥…≥xn≥…≥0, 令x=inf{xn}, 则对于任意的0≤aA1, 都有ax=inf{axn}且xa=inf{xna}.

    关于POLA的例子可参考文献[9].对所有的元素xA1, 若元素e满足如下性质:0≤e2=e≤1和ex≥0, (1-e)x≤0, 则称e为元素x的一个投影.

    2 主要结论

    A是一个函数POLA, 对于任意的xA, 存在元素x的投影u, v, 使得对于元素x的任意投影e, 都有veu, 称u是元素x的极大投影, v是元素x的极小投影.下面证明极大、极小投影的存在性, 为此, 需如下引理:

    引理1  对于任意的xA, 存在dA, 满足0≤d2=d≤1且dx=0.此外, 对于0≤b≤1, b2=bbx=0, 还有bd.

      由定理1可知x2≥0和1≤x2+1.因此, (1+x2)-1存在, 并且

    $ 0 \le (1 + {x^2}) - 1 \le 1 $

    定义

    $ a = 1 - {x^2}(1 + {x^2}) - 1 $

    因为

    $ 1 = (1 + {x^2}) - 1 + {x^2}(1 + {x^2}) - 1 $

    可得0≤a≤1, 进而1≥aa2≥…≥0.定义d=inf{an}, 显然有0≤d≤1.由于乘法运算是连续的, 可知d2=d.此外,

    $ (1 + {x^2})d = \inf \{ (1 + {x^2}){a^n}\} = \inf \{ {a^{n - 1}}\} = d $

    这蕴含着x2d=0, 进而x2d=(xd)2=0, 由定理1可知xd=0.

    最后, 若0≤b≤1, b2=bbx=0, 则由定理1和ba=b可知

    $ bd = \inf \{ b{a^n}\} = \inf \left\{ b \right\} = b $

    这样, 就有

    $ d-b=d-bd=d(1-b)≥0 $

    因此db.

    定理2  对于任意的xA, 存在其极大投影u和极小投影v.

      由定理1可知, 对于任意的xA, 存在e0A使得:

    $ 0 \le {e_0} \le 1\;\;\;\;\;\;{e_0}^2 = {e_0}\;\;\;\;\;\;{e_0}x \ge 0\;\;\;\;\;\;\left( {1 - e} \right){x_0} \le 0 $

    事实上, e0A是元素x的一个投影.此外, 由引理1可知, 存在dA使得0≤d2=d≤1且dx=0.

    现定义v=e0(1-d)和u=(1-d)e0+d.显然, uv都是元素x的投影.现假设eA是元素x的任意一个投影, 可知0≤e≤1, e2=eex≥0, (1-e)x≤0, 进一步, 由vx, ux≥0, (1-v)x≤0和(1-u)x≤0, 可得

    $ 0≤ex(1-v)=e(1-v)x≤0 $

    $ e(1-v)x=0 $

    类似地, 可得

    $ e(1-u)x=0 $

    由引理1可知

    $ e(1-v)≤d $

    此外, 还有

    $ ev-v=v(e-1)≤0 $

    进而:

    $ e≤d+ev≤d+v=u ~~~~~u(1-e)≤d $

    所以v=u-deu, 据此可得veueu.

    定理2主要确定了函数POLA上极大、极小投影的存在性, 接下来, 给出极大投影的一些主要性质:

    引理2  对于任意的xA, u是其极大投影, 若0≤w2=w≤1且wx≥0, 则uw.

      令vx的极小投影, 由定理2可知, 极大投影u=v+d.显然有

    $ 0≤(wx)(1-v)=w(x(1-v))≤0 $

    所以

    $ w(1-v)x=0 $

    由引理1可知

    $ w(1-v)≤d $

    此外, 还有

    $ vw-v=v(w-1)≤0 $

    $ w≤d+vw≤d+v=u $

    引理3  对于任意的x, yA, ux, uy分别是元素x, y的极大投影, 若xy, 则uxuyuxuy=uy.

      因为

    $ {u_y}x = {u_y}\left( {y + \left( {x - y} \right)} \right) = {u_y}y + {u_y}\left( {x - y} \right) $

    uyy≥0, 所以uyx≥0, 进而, 由引理2可知uxuy.进一步, 有

    $ {u_x}{u_y} \ge {u_y}{u_y} \ge {u_y} $

    此外,

    $ {u_y} - {u_x} = {u_y}(1 - {u_x}) \ge 0 $

    这意味着

    $ {u_y} \ge {u_x}{u_y} $

    综上可得

    $ {u_y} = {u_x}{u_y} $

    对于任意的λ$ \mathbb{R}$xA, 用eλx表示λ1-x的极大投影, 其中1表示函数POLA A的乘法单位元.接下来, 讨论eλx的性质, 并由此性质证明Freudenthal谱定理.

    引理4  设λ, μ$ \mathbb{R}$, 对于任意的xA, λ1-xμ1-x的极大投影eλxeμx具有如下性质:

    (ⅰ)若λμ, 则eλxeμx, eλxeμx=eμxeλx(1-eμx)=eλx-eμx

    (ⅱ) supλ{eλx}=1, infλ{eλx}=0;

    (ⅲ)若λ1λ2μ1μ2, 则eλ1x-eλ2xeμ1x-eμ2x

    (ⅳ)若λμ, 则μ(eλx-eμx)≤(eλx-eμx)xλ(eλx-eμx).

      (ⅰ)  因为λμ, 所以λ1-xμ1-x, 由引理3直接得到结论.

    (ⅱ)  由(ⅰ)的结论可知, 集合{eλxλ$ \mathbb{R}$}是一个全序集, 其上界为1下界为0.接下来证明supλ{eλx}=1, 为此, 设e'=supλ{eλx}, 下证e'=1.首先, 因为0≤e'≤1和e'eλx, 所以, 对于任意的xA, 都有

    $ 0 \le 1 - {e^{'}} \le 1 - e_\lambda ^x $

    此外, 由定理1可知

    $ (1 - e_\lambda ^x)\left( {\lambda 1 - x} \right) \le 0 $

    这意味着λ(1-eλx)≤(1-eλx)x.设e是元素x的一个投影, 则有:

    $ x=ex+(1-e)x~~~~~ ex≥0 ~~~~~(1-e)x≤0 $

    x-ex≤0, 即xex.进一步, 由1-eλx≥0, 则对于任意的实数λ≥0, 可以得到

    $ \lambda (1 - {e^{'}}) \le \lambda (1 - e_\lambda ^x) \le (1 - e_\lambda ^x)x \le (1 - e_\lambda ^x)ex \le ex $

    最后, 由于函数POLA A具有Archmedian性质, 可知1-e'≤0, 所以1-e'=0, 即e'=1.

    现在证明inf{eλx}=0.对于任意λ$ \mathbb{R}$, 都有(λ1-x)eλx≥0, 即λeλxeλxx, 这意味着-λeλx≤-eλxx.此外, 我们还有-x≤(e-1)x, 则

    $ - \lambda e_\lambda ^x \le - e_\lambda ^xx \le \left( {e - 1} \right)x $

    现在取λ→-∞, 由Archmedian性质, 我们有eλx→0, 所以infλ{eλx}=0.

    (ⅲ)  由(ⅰ)可知:

    $ e_{{\lambda _1}}^xe_{{\mu _1}}^x = e_{{\lambda _2}}^xe_{{\mu _1}}^x = e_{{\mu _1}}^x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e_{{\lambda _1}}^xe_{{\mu _2}}^x = e_{{\lambda _2}}^xe_{{\mu _2}}^x = e_{{\mu _2}}^x $

    所以

    $ (e_{{\lambda _1}}^x - e_{{\lambda _2}}^x)(e_{{\mu _1}}^x - e_{{\mu _2}}^x) = e_{{\lambda _1}}^xe_{{\mu _1}}^x - e_{{\lambda _1}}^xe_{{\mu _2}}^x - e_{{\lambda _2}}^xe_{{\mu _1}}^x + e_{{\lambda _2}}^xe_{{\mu _2}}^x = 0 $

    (ⅳ)  由定理1(ⅰ), 可知(1-eμx)(μ1-x)≤0.由引理4(ⅰ), 可知eλxeμx=eμxeλx≥0.则

    $ (e_\lambda ^x - e_\mu ^x)\left( {\mu 1 - x} \right) = e_\lambda ^x(1 - e_\mu ^x)\left( {\mu 1 - x} \right) \le 0 $

    $ \mu (e_\lambda ^x - e_\mu ^x) \le (e_\lambda ^x - e_\mu ^x)x $

    再次利用定理1(ⅰ), 可知eλx(λ1-x)≥0.此外, 还有eλxeμx=eμx, 可得

    $ (e_\lambda ^x - e_\mu ^x)\left( {\lambda 1 - x} \right) = (1 - e_\mu ^x)e_\lambda ^x\left( {\lambda 1 - x} \right) \ge 0 $

    则有

    $ (e_\lambda ^x - e_\mu ^x)x \le \lambda (e_\lambda ^x - e_\mu ^x) $

    定理3  设A是一个函数POLA.对于实轴(-∞, +∞)的任意一个划分

    $ - \infty \leftarrow \cdots {\lambda _{ - 2}} < {\lambda _{ - 1}} < {\lambda _0} < {\lambda _1} < {\lambda _2} \cdots \to + \infty $

    任意选取ln∈[λn-1, λn], 令

    $ \delta = {\sup _n}\{ {\lambda _n} - {\lambda _{n - 1}}\} $

    则任意的元素xA可以表示成Stieltjes类型的积分形式, 即

    $ x = \smallint _{ - \infty }^{ + \infty }\lambda {\rm{d}}e_\lambda ^x = \mathop {o - \lim }\limits_{\delta \to 0, p \to + \infty } \left( {{{\mathop \sum \limits_{n = - p}^{pl} }_n}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)} \right) $

      令σp=eλpx-eλ-p-1x, 由引理4(ⅰ), 可知:

    $ e_{{\lambda _{p + 1}}}^x \ge e_{{\lambda _p}}^x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e_{{\lambda _{ - p - 1}}}^x \ge e_{{\lambda _{ - p - 2}}}^x $

    $ e_{{\lambda _{p + 1}}}^x - e_{{\lambda _{ - p - 2}}}^x \ge e_{{\lambda _p}}^x - e_{{\lambda _{ - p - 1}}}^x $

    则有σp+1σp.这样, 部分和

    $ {s_p} = \mathop \sum \limits_{n = - p}^p (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) = e_{{\lambda _p}}^x - e_{{\lambda _{ - p - 1}}}^x \le 1 $

    是一个正的单调递增序列, 且1=supp{sp}.其上确界可以表示为$1 = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) $.因为在函数POLA A中关于乘法运算连续, 所以

    $ x = o - \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } ({s_p}x) = o - \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \left( {\mathop \sum \limits_{n = - p}^p (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)x} \right) $

    接下来, 设

    $ {u_n} = {l_n}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;n = \cdots , - 2, - 1, 0, 1, 2, \cdots $

    由引理3可知

    $ {\lambda _{n - 1}}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) \le (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)x \le {\lambda _n}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) $ (1)

    $ - {\lambda _n}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) \le - {l_n}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) \le - {\lambda _{n - 1}}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) $ (2)

    (1) 式和(2)式相加可得

    $ \begin{array}{l} - ({\lambda _n} - {\lambda _{n - 1}})(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) \le (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)x - {u_n}\\ \le ({\lambda _n} - {\lambda _{n - 1}})(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) \le \delta (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) \end{array} $

    其中δ=max(λn-λn-1).则

    $ \begin{array}{l} - \delta (e_{{\lambda _p}}^x - e_{{\lambda _{ - p - 1}}}^x) \le \mathop \sum \limits_{n = - p}^{n = p} (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)\\ x - \mathop \sum \limits_{n = - p}^p {u_n} \le \delta (e_{{\lambda _p}}^x - e_{{\lambda _{ - p - 1}}}^x) \le \delta 1 \end{array} $

    p→∞和δ→0, 可得

    $ x = o - \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \left( {\mathop \sum \limits_{n = - p}^p (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)x} \right) = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x)x $

    因此, $o - \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \mathop \sum \limits_{n = - p}^p {u_n} $存在并且其序极限为x, 即

    $ x = o - \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \mathop \sum \limits_{n = - p}^p {u_n} = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty {l_n}(e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) = \smallint _{ - \infty }^{ + \infty }\lambda {\rm{d}}e_\lambda ^x $
    3 例子

    本节给出一个POLA的例子, 它们不是格, 自然也不是Riesz空间, 但是Freudenthal谱定理依然成立.该类POLA的研究可以参考文献[10], 其在算子代数中的应用可以参考文献[11].值得注意的是, Banach代数可以看作是POLA的子代数, 可以用POLA中的序结构研究Banach代数[12], 或许也可以进一步应用此来讨论Banach空间中广义方程的性质[13].

    例1  设H是一个Hilbert空间, 其上所有的线性算子构成一个算子代数.在H上定义偏序关系, 即对于任意的vHH上的线性算子T, T≥0等价于(Tv, v)≥0.事实上, 正的线性算子也是自伴随算子, 其证明可以参考文献[14].该算子代数是满足Dedekind σ完备的偏序向量空间, 但不是格.事实上, 若算子T≥0和T'≥0, 则TT'不一定是正算子, 除非TT'可交换.现在, 任意给定H上的非平凡自伴随算子S, 考虑S的第二换位子空间C(S), 则C(S)是一个Banach代数, 事实上也是一个POLA, 乘法单位元是其单位算子, 记作I'.现在, 我们将C(S)嵌入到集合A={x=(T, a)}, 其中T表示C(S)中的任意一个自伴随算子, a是一个实数.定义集合A中元素的运算为点态运算, 偏序定义如下:0=(0, 0)≤x=(T, a)等价于aI'T≥0, 或者说对任意的vH, 都有

    $ 0≤(Tv, v)≥a||v||^2 $

    则偏序集A具有如下性质:

    (ⅰ) (A, ≤)是一个POLA且具有乘法单位元I=(I', 1);

    (ⅱ) A满足性质:若Ix=(T, a), 则x的逆元存在, 并且-(0, 1)≤x-1I, 即A不是一个函数POLA;

    (ⅲ) A不是格;

    (ⅳ) A中的元素满足Freudenthal谱定理.

      (ⅰ)和(ⅱ)  根据定义容易验证, 这里证明略.

    (ⅲ)  设e1, e2e3是Hilbert空间H的3个单位正交元, Li是元素ei所生成的子空间(i=1, 2, 3), 这样可以得到

    $ H = {L_1} \oplus {L_2} \oplus {L_3} \oplus L $

    定义Hilbert空间H上的3个正交投影EiHH, 对任意的vH, 定义Ei(v)=(ei, v)ei (i=1, 2, 3).容易验证Ei正交(i=1, 2, 3), 即

    $ {E_1}{E_2} = {E_1}{E_3} = {E_2}{E_3} = 0 $

    $ x = ({E_1} + {E_2}, 1) $

    $ x = ({E_1} + {E_3}, 1) $

    x, y≥0.接下来, 我们来证明inf{x, y}不存在.

    若存在, 可设

    $ z = \left( {T, a} \right) = \inf \left\{ {x, y} \right\} $

    则有xzyz, 进而由A中偏序的定义可知:

    $ a \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le {E_1} + {E_2} - T\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le {E_1} + {E_3} - T $ (3)
    $ {E_1} + {E_2} - T \le \left( {1 - a} \right){I^{'}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;{E_1} + {E_3} - T \le \left( {1 - a} \right){I^{'}} $ (4)

    则:

    $ \begin{array}{l} a \le 1\;\;\;\;\;\;{E_1} + {E_2} - \left( {1 - a} \right){I^{'}} \le T \le {E_1} + {E_2}\\ \;\;\;\;\;\;{E_1} + {E_3} - \left( {1 - a} \right){I^{'}} \le T \le {E_1} + {E_3} \end{array} $

    对于任意的vH, 由伴随算子的偏序的定义可得

    $ (({E_1} + {E_2} - \left( {1 - a} \right){I^{'}})v, v) \le \left( {Tv, v} \right) \le (({E_1} + {E_2})v, v) $ (5)

    $ (({E_1} + {E_3} - \left( {1 - a} \right){I^{'}})v, v) \le \left( {Tv, v} \right) \le (({E_1} + {E_3})v, v) $ (6)

    特别地, 选取vL2v≠0, 则可得

    $ ({E_1}v, v) = ({E_3}v, v) = 0 $

    $ ({E_2}v, v) = \left( {v, v} \right) = {\left| {\left| v \right|} \right|^2} \ne 0 $

    这样, 由(5)式和(6)式可得

    $ a{\left\| v \right\|^2} \le \left( {Tv, v} \right) \le {\left\| v \right\|^2} $ (7)

    此外, 由0≤E1+E3-T, 对于任意的vL2, 我们有

    $ \left( {Tv, v} \right) \le (({E_1} + {E_3})v, v) = \left( {0, v} \right) = 0 $

    由(7)式可得

    $ a{\left\| v \right\|^2} \le \left( {Tv, v} \right) \le 0 $

    这意味着a≤0.另一方面, 因为z=(T, a)=inf{x, y}和x, y≥0, 所以(0, 0)是xy的下界, 所以z≥0.由A上的偏序的定义可知, TaI'.则对于任意的vH, 都有(Tv, v)≤a(v, v), 所以||T||≤a≤0, 这意味着||T||=0和a=0, 这样可知

    $ z = \left( {T, a} \right) = \left( {0, 0} \right) = \inf \left\{ {x, y} \right\} $

    容易验证(E1, 0)≤x, y, 然而(E1, 0)与(0, 0)不可比较, 这与z=inf{x, y}矛盾, 所以A不是格.

    (ⅳ)  容易验证.

    参考文献
    [1] FREUDENTHAL H. Teilweise Geordneten Moduln[J]. Proc Kon Ned Akad van Wetensch, 1936, 39: 641-651.
    [2] LUXEMBERG W A J, ZAANEN A C. Riesz Spaces, I[M]. Amsterdam-London: North-Holland Publishing Company, 1971.
    [3] STEEN S W P. An Introduction to the Theory of Operators I[J]. Proc London Math Soc, 1936, 41(5): 361-392.
    [4] LAVRIĈ B. On Freudenthal's Spectral Theorem[J]. Indagat Math, 1986, 89(4): 411-421. DOI:10.1016/1385-7258(86)90026-0
    [5] WÓJTOWICZ M. On a Weak Freudenthal Spectral Theorem[J]. Comment Math Univ Carolin, 1992, 33(4): 631-643.
    [6] TOUMI M A. A Simple Proof for a Theorem of Luxemburg and Zaanen[J]. J Math Anal Appl, 2006, 322(2): 1231-1234. DOI:10.1016/j.jmaa.2005.10.044
    [7] LIPECKI Z. On Binary-Type Approximations in Vector Lattices[J]. Arch Math, 1994, 62(6): 545-553. DOI:10.1007/BF01193743
    [8] 罗俊丽, 乔希民, 吴洪博. 区间集上非交换剩余格Fuzzy布尔滤子的特征性质[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2016, 41(4): 20-24.
    [9] DAI T Y. On Some Special Classes of Partially Ordered Linear Algebras[J]. J Math Anal Appl, 1972, 40(3): 649-682. DOI:10.1016/0022-247X(72)90011-X
    [10] DAI T Y, DEMARR R. A Property for Inverses in a Partially Ordered Linear Algebra[J]. Trans Amer Math Soc, 1976, 215: 285-292. DOI:10.1090/S0002-9947-1976-0382116-2
    [11] GELLAR R. 0 ≤ X2X[J]. Trans Amer Math Soc, 1972, 173: 341-352.
    [12] DEMARR R. On Partially Ordering Operator Algebras[J]. Canad J Math, 1967, 19(2): 636-643.
    [13] 杨明歌, 廖开方. Banach空间中非凸广义方程的度量次正则性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2015, 37(9): 77-81.
    [14] BACHMAN G, NARICI L. Functional Analysis[M]. New York: Dover Publications, 2000.
    Freudenthal Spectral Theorem on a Special Class of Partially Ordered Linear Algebra
    XIN Qiao1, MU Chun-lai2     
    1. College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yili Xinjiang 835000, China;
    2. School of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing 401331, China
    Abstract: Using the conception of the maximal projection of the special class of partially ordered linear algebras, we prove the spectral theorem on the partially ordered linear algebras. Specially, only rudimentary concepts such as partial ordering, Dedekind σ completeness are used in this work. Finally, we propose one partially ordered linear algebra, which is not a lattice, but the Freudenthal spectral theorem still holds.
    Key words: partially ordered linear algebra    maximal and minimal projections    Freudenthal spectral theorem    
    X