西南大学学报 (自然科学版)  2019, Vol. 41 Issue (12): 50-56.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.12.007
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  • 广义Euler函数方程φ6(n)=$\frac{n}{d}$的可解性    [PDF全文]
    张四保    
    喀什大学 数学与统计学院, 新疆 喀什 844008
    摘要:令n是一正整数,φen)为广义Euler函数.广义Euler函数φen)与莫比乌斯函数μn)有着密切的关系.利用广义Euler函数φ6n)的计算公式与分类讨论的方式讨论了广义Euler函数方程φ6n)=$\frac{n}{d}$的可解性,给出了该方程正整数解的情况,其中dn的正因数.
    关键词广义Euler函数    方程    正整数解    

    在将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方[1-2]时,文献[3-4]定义了广义Euler函数φe(n),其中e为正整数,其值等于序列0,1,2,…,$\left[ {\frac{n}{e}} \right]$中与n互素的整数的个数.广义Euler函数φe(n)一经提出,不少学者对它的性质进行了讨论[3-7],且对于包含广义Euler函数φe(n)的方程有一定的研究[8-14].文献[15]讨论了方程φe(n)= $\frac{n}{d}$的可解性,其中e=1,2,4,dn的正因数.文献[16]讨论了方程φ3(n)= $\frac{n}{d}$的可解性.本文将讨论有关广义Euler函数φ6(n)的方程

    $ {\varphi _6}(n) = \frac{n}{d} $ (1)

    的可解性,采用分类讨论的方式及初等方法,给出该方程的整数解的情况.

    引理1[5]  若n>6,n=2α3β $\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $,其中αβαi≥0,(qi,6)=1,1≤ik,则:

    (ⅰ)若α=0,β∈[0, 1],qi≡5(mod 6),1≤ik,则${\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) + 1 - \beta }}}}{6}$

    (ⅱ)若α=1,β∈[0, 1],qi≡5(mod 6),1≤ik,则${\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1 - \beta }}}}{6}$

    (ⅲ)若α≥2,β∈[0, 1],qi≡5(mod 6),1≤ik,则${\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) - {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - \beta }}}}{6}$

    (ⅳ)其它情况下,${\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n)}}{6}$.

    定理1  若n>6,n=3β $\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $β∈[0, 1],αi≥0,(qi,6)=1,qi≡5(mod 6),1≤ik,则

    (Ⅰ)当β=0时,方程(1)有解(nd)=(11,11);

    (Ⅱ)当β=1时,方程(1)无解.

      (Ⅰ)当β=0时,n=$\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $,由引理1有

    $ {\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) + 1}}}}{6} $

    则有

    $ d\left( {\frac{1}{2}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^k}} \right) = 3\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $ (2)

    k=1时,ω(n)=1,则由(2)式有

    $ {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2d = q_1^{{\alpha _1} - 1}\left( {3{q_1} - \frac{{{q_1} - 1}}{2}d} \right) $ (3)

    由于dn的因数,设d=q1δ1,0≤δ1α1.

    δ1=α1时,由(3)式有$\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{a_1} - 1} = 5$,或者$\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{a_1} - 1} = 1$.当$\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{a_1} - 1} = 5$时,有q1=11,Ω(n)=α1=1,此时n=11,d=11,即方程(1)有解(nd)=(11,11);当$\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{a_1} - 1} = 1$时,有Ω(n)=α1=1,q1=3,由于q1≡5(mod 6),则q1=3并不满足,则方程(1)无解.

    当0≤δ1α1时,由(3)式有

    $ {( - 1)^{\Omega (n)}}2 = q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1} - 1}\left( {3{q_1} - \frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{\delta _1}}} \right) $ (4)

    由于q1≡5(mod 6),则由(4)式可得α1-δ1-1=0,3q1- $\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{\delta _1}} = 2$或3q1- $\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{\delta _1}} = - 2$.

    当3q1- $\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{\delta _1}} = 2$时,有$6{q_1} - q_1^{{\delta _1} + 1} + q_1^{{\delta _1}} = 4$,即$q_{1}\left(6-q_{1}^{\delta_{1}}+q_{1}^{\delta_{1}-1}\right)=4$,则无满足q1≡5(mod 6)的素数解;同理,当3q1- $\frac{{{q_1} - 1}}{2}q_1^{{\delta _1}} = - 2$时也无满足q1≡5(mod 6)的素数解.

    k≥2时,由于qi≡5(mod 6),则(2)式的左端为偶数,右端为奇数,因而(2)式显然不成立,因而方程(1)无解.

    (Ⅱ)当β=1时,n=3$\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $,由引理1有

    $ {\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n)}}}}{6} $

    则有

    $ {\omega _6}(n) = \frac{1}{6}\left( {\omega (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n)}}} \right) = \frac{1}{6}\left( {2\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n)}}} \right) = \frac{3}{d}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $ (5)

    由于此时ω(n)≥2,且qi≡5(mod 6)为素数,则由(5)式可得此时方程(1)无解.

    定理2  若$n > 6, n = 2 \times {3^\beta }\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} , $$\beta \in [0, 1], {\alpha _i} \ge 0, \left( {{q_i}, 6} \right) = 1$${q_i} \equiv 5(\bmod \, 6), 1 \le i \le k$,则:

    (Ⅰ)当β=0时,方程(1)有解(nd)=(10,10),(22,11),(170,17);

    (Ⅱ)当β=1时,方程(1)有解(nd)=(66,22),(30,30).

      (Ⅰ)当β=0时,$n = 2\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $.由引理1有

    $ {\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}}}}{6} $

    $ {\omega _6}(n) = \frac{{\omega (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}}}}{6} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}}}}{6} = \frac{{2\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} }}{d} $ (6)

    k=1时,此时ω(n)=2,则由(6)式有

    $ \frac{1}{3}\left( {q_1^{{\alpha _1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}} \right) = \frac{{2q_1^{{a_1}}}}{d} $ (7)

    由于dn的因数,不妨设d=2γq1δ1,0≤γ≤1,0≤δ1α1.显然γ与δ1不能同时为0,若γ=δ1=0,则由(7)式有(-1)Ω(n)2=11 $q_1^{{a_1}} + q_1^{{a_1} - 1}$,这是完全不可能的.

    γ=0,δ1≠0时,此时d=q1δ1,则由(7)式,有$q_1^{{a_1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = 6q_1^{{a_1} - {\delta _1}}$,则δ1=α1,若不然,当δ1α1时,则有矛盾关系式(-1) $^{\mathit{\Omega }\left( 2 \right)}2 = q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}\left( {12 - q_1^{{\delta _1}} + q_1^{{\delta _1} - 1}} \right)$.

    δ1=α1时,有$q_1^{{a_1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = 6$,则有$q_1^{{a_1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} = 5, 7$.对于$q_1^{{a_1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} = 7$,方程(1)无满足qi≡5(mod 6)的解,因而此时无解;而对于$q_1^{{a_1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} = 5$,有δ1=α1=1,q1=11,此时方程(1)有解(nd)=(22,11).

    γ=1,δ1≠0时,d=2q1δ1,则由(7)式有

    $ q_1^{{\alpha _1}} - q_1^{{\alpha _1} - 1} + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2 = 6q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}} $

    $ {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2 = q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}\left( {6 - q_1^{{\delta _1}} + q_1^{{\delta _1} - 1}} \right) $ (8)

    α1-δ1≥1,则(8)式不可能成立;若α1-δ1=0,则由(8)式得2=6- $q_1^{\delta 1} + q_1^{{a_1} - 1}$或-2=6- $q_1^{\delta 1} + q_1^{{a_1} - 1}$.当2=6- $q_1^{\delta 1} + q_1^{{a_1} - 1}$时,有δ1=1,q1=5,因而α1=1,则n=2×5=10,d=2×5=10,此时方程(1)有解(nd)=(10,10).

    γ=1,δ1=0时,d=2,则由(7)式,有

    $ \frac{1}{3}\left( {q_1^{{\alpha _1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2} + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}} \right) = q_1^{{\alpha _1}} $

    进而有

    $ q_1^{{\alpha _1}} - q_1^{{\alpha _1} - 1} + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2 = 6q_1^{{\alpha _1}} $

    即(-1)Ω(n)2=5q1α1+q1α1-1,这完全不可能.

    k=2时,则由(6)式有

    $ q_1^{{\alpha _1} - 1}q_2^{{\alpha _2} - 1}\left( {{q_1} - 1} \right)\left( {{q_2} - 1} \right) + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}} = \frac{{12q_1^{{\alpha _1}}q_2^{{\alpha _2}}}}{d} $ (9)

    由于d是n的因数,设$d = {2^\gamma }q_1^{{\delta _1}}q_2^{{\delta _2}}$,0≤γ≤1,0≤δ1α1,0≤δ2α2.则由(9)式有

    $ q_1^{{\alpha _1} - 1}q_2^{{\alpha _2} - 1}\left( {{q_1} - 1} \right)\left( {{q_2} - 1} \right) + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}} = {2^{2 - \gamma }} \times 3 \times q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _2} - {\delta _2}} $ (10)

    γ=1时,由(10)式有

    $ q_1^{{\alpha _1} - 1}q_2^{{\alpha _2} - 1}\left( {{q_1} - 1} \right)\left( {{q_2} - 1} \right) + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}} = 2 \times 3 \times q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _2} - {\delta _2}} $

    k=2时,有ω(n)=3,则有

    $ \frac{1}{2}q_1^{{\alpha _1} - 1}q_2^{{\alpha _2} - 1}\left( {{q_1} - 1} \right)\left( {{q_2} - 1} \right) + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 2}} = 3 \times q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _2} - {\delta _2}} $

    这不可能.

    γ=0,δ1≠0,δ2≠0时,由(10)式有

    $ {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _2} - {\delta _2}}\left( {3 \times q_1^{{\delta _1} - 1}q_2^{{\delta _2} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2}} \right) $

    $q_1^{{\delta _1} - 1}q_2^{{\delta _2} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = 4$$q_1^{{\delta _1} - 1}q_2^{{\delta _2} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = 2$.当$q_1^{{\delta _1} - 1}q_2^{{\delta _2} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = 4$时,有(q1-1)(q2-1)=16,由于qi≡5(mod 6),则(q1-1)(q2-1)=16无解.同理,当$q_1^{{\delta _1} - 1}q_2^{{\delta _2} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = 2$时无解.

    γ=0,δ1≠0,δ2=0时,由(10)式有

    $ {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _2} - 1}\left( {3 \times {q_2} - q_1^{{\delta _1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2}} \right) $

    从而有α1=δ1α2=1,且$3 \times q_{2}-q_{1}^{\delta_{1}-1} \frac{q_{1}-1}{2} \frac{q_{2}-1}{2}=1$或者$3 \times {q_2} - q_1^{{\delta _1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = - 1$.当$3 \times {q_2} - q_1^{{\delta _1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = 1$时,无满足qi≡5(mod 6)的素数解;当$3 \times {q_2} - q_1^{{\delta _1} - 1}\frac{{{q_1} - 1}}{2}\frac{{{q_2} - 1}}{2} = - 1$时有解δ1=1,q1=17,q2=5,则n=2×17×5=170,d=17,则方程(1)有解(nd)=(170,17).

    k≥3时,则由(6)式有

    $ d\left( {\frac{1}{4}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 3}}} \right) = 3\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $ (11)

    由于此时ω(n)≥4,则对于(11)式,左端为奇数,而右端为偶数,因而(11)式不成立.

    (Ⅱ) 当β=1时,n=2×3 $\prod\limits_{i = 1}^k {{q_i}^{{a_i}}} $.由引理1有

    $ {\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 2}}}}{6} $

    则由方程(1),结合ω(n)≥3有

    $ \frac{{\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 3}}}}{6} = \frac{{3\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} }}{d} $ (12)

    k=1时,由于dn的因数,设d=2γ3λq1δ,其中0≤γλ≤1,0≤δα1,由(12)式有

    $ {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = q_1^{{\alpha _1} - \delta }\left( {{2^{1 - \gamma }} \times {3^{2 - \lambda }} - q_1^\delta + q_1^{\delta - 1}} \right) $

    α1=δ,21-γ×32-λ-q1δ+q1δ-1=±1.对0≤γλ≤1,0≤δα1范围内的整数利用分类讨论的方法进行讨论,有α1=δ=1,γ=1,λ=0,q1=11或α1=δ=1,γ=1,λ=1,q1=5,此时n=2×3×11=66,d=2×11=22,或n=2×3×5=30,d=2×3×5=30.从而此时方程(1)有解(nd)=(66,22),(30,30).

    k=2时,由于dn的因数,设$d = {2^\gamma }{3^\lambda }q_1^\delta $,其中0≤γλ≤1,0≤δ1α1,0≤δ2α2,则由(12)式有

    $ \prod\limits_{i = 1}^2 {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2 = {2^{1 - \gamma }} \times {3^{2 - \lambda }} \times q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _1} - {\delta _2}} $

    则有

    $ {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2 = q_1^{{\alpha _1} - {\delta _1}}q_2^{{\alpha _2} - {\delta _2}}\left( {{2^{1 - \gamma }} \times {3^{2 - \lambda }} - q_1^{{\delta _1} - 1}q_2^{{\delta _2} - 1}\left( {{q_1} - 1} \right)\left( {{q_2} - 1} \right)} \right) $

    从而有α1=δ1α2=δ2,±2=21-γ×32-λ$-q_{1}^{\delta_{1}-1} q_{2}^{\delta_{2}-1}$(q1-1)(q2-1).利用分类讨论的方法对0≤γλ≤1范围内的数进行讨论,结合qi≡5(mod 6),得±2=21-γ×32-λ $-q_{1}^{\delta_{1}-1} q_{2}^{\delta_{2}-1}$(q1-1)(q2-1)无解,则方程(1) 无解.

    k≥3时,有ω(n)≥5,则有

    $ d\left( {\frac{1}{2}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) + {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - {\rm{4}}}}} \right) = 9\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $

    左端为偶数,右端为奇数,因而不可能成立.

    定理3  若n>6,n=2α3βqα1α≥2,β∈[0, 1],α1≥0,(q1,6)=1,q1≡5(mod 6),则:

    (Ⅰ)当β=0时,方程(1)有解(nd)=(40,20),(44,11),(20,10);

    (Ⅱ)当β=1时,方程(1)有解(nd)=(132,22),(60,30).

    (Ⅰ)当β=0时,n=2αqα1,由引理1有

    $ \frac{{{2^{\alpha - 2}}{q^{{\alpha _1} - 1}}\left( {{q_1} - 1} \right) - {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}}}}{3} = \frac{{{2^\alpha }{q^{{\alpha _1}}}}}{d} $ (13)

    由于dn的因数,设d=2γqδ1,其中0≤γα,0≤δ1α1,由(13)式有

    $ - {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}}2 = {2^{\alpha - \gamma }} \times 3{q^{{\alpha _1} - {\delta _1}}} - {2^{\alpha - 2}}{q^{{\alpha _1} - 1}}(q - 1) $ (14)

    解(14)式可得:α1=δ1=1,α=3,γ=2,q=5,此时有n=23×5=40,d=22×5=20;α1=δ1=1,α=2,γ=0,q1=11,此时有n=22×11=44,d=11;α1=δ1=1,α=2,γ=1,q=5,此时有n=22×5=20,d=2×5=10.因而方程(1)有解(nd)=(40,20),(44,11),(20,10).

    (Ⅱ)当β=1时,n=2α3qα1,由引理1有

    $ {\varphi _6}(n) = \frac{{\varphi (n) - {{( - 1)}^{\mathit{\Omega }(n)}}{2^{\omega (n) - 1}}}}{6} $

    则有

    $ {2^{\alpha - 2}}{q^{{\alpha _1} - 1}}(q - 1) - {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = \frac{{{2^{\alpha - 1}}{3^2}{q^{{\alpha _1}}}}}{d} $ (15)

    由于dn的因数,设d=2γ3λqδ,0≤γα,0≤λ≤1,0≤δα1,由(15)式有

    $ - {( - 1)^{\mathit{\Omega }(n)}} = {q^{{\alpha _1} - \delta }}\left( {{2^{\alpha - 1 - \gamma }}{3^{2 - \lambda }} - {q^{\delta - 1}}(q - 1)} \right) $ (16)

    解(16)式可得:α1=δ=1,α=2,γ=1,λ=0,q1=11,此时有n=22×3×11=132,d=2×11=22;α1=δ=1,α=2,γ=1,λ=1,q1=5,此时有n=22×3×5=60,d=2×3×5=30.因而方程(1)有解(nd)=(132,22),(60,30).

    定理4  若n>6,n=2α3β $\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $,其中αβαi≥0,(qi,6)=1,1≤ik,条件为引理1中的(ⅳ),则方程(1)有解(nd)=(3β,9)(β≥2),(7α1,7),(2α3β,18)(β≥2),(2α7α1,14),(2α3β7α1,21),(2α3β19α1,19).

      当α≥3,β=0,αi=0时,有n=2α,结合引理1以及方程(1),有$\frac{{{2^{a - 1}}}}{6} = \frac{{{2^a}}}{d}$,不存在n=2α的正因数d使得该式成立;

    α=0,β≥2,αi=0时,有n=3β,结合引理1以及方程(1),有$\frac{{2 \times {3^{\beta - 1}}}}{6} = \frac{{{3^\beta }}}{d}$,从而可得d=9,因而此时方程(1)有解(nd)=(3β,9),其中β≥2;

    α=0,β=0,αi≠0时,有$n = \prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $,结合引理1有

    $ \frac{1}{6}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) = \frac{1}{d}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $

    从而可得k=1,q1=7,d=7,因而此时方程(1)有解(nd)=(7α1,7);

    α≠0,β≠0,αi=0时,有n=2α3β,结合引理1有$\frac{2^{\alpha} \times 3^{\beta-1}}{6}=\frac{2^{\alpha} \times 3^{\beta}}{d}$,从而可得d=18,因而此时方程(1)有解(nd)=(2α3β,18),其中β≥2;

    α≠0,β=0,αi≠0时,有 $n = {2^\alpha }\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $,结合引理1以及方程(1),有

    $ \frac{1}{6}{2^{\alpha - 1}}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) = \frac{1}{d}{2^\alpha }\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $

    从而可得k=1,q1=7,d=14,因而此时方程(1)有解(nd)=(2α7α1,14);

    α=0,β≠0,αi≠0时,有$n = {2^a}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{a_i}}} $,结合引理1以及方程(1),有

    $ \frac{1}{6} \times 2 \times {3^{\beta - 1}}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) = \frac{1}{d}{3^\beta }\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $

    经计算无奇素数解,因而此时方程(1)无解;

    α≠0,β≠0,αi≠0时,有 $n = {2^\alpha }{3^\beta }\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $,结合引理1以及方程(1),有

    $ {\omega _6}(n) = \frac{1}{6}\omega (n) = \frac{{{2^\alpha } \times {3^{\beta - 1}}}}{6}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i} - 1}} \left( {{q_i} - 1} \right) = \frac{{{2^\alpha } \times {3^\beta }}}{d}\prod\limits_{i = 1}^k {q_i^{{\alpha _i}}} $

    则有

    $ d = \frac{{18}}{{\prod\limits_{i = 1}^k {{{\left( {{q_i} - 1} \right)}^{\frac{k}{i}}}} }}\prod\limits_{i = 1}^k {{q_i}} $

    因而有k=1,且$d=\frac{18 q_{1}}{q_{1}-1}=18+\frac{18}{q_{1}-1}$.当q1=7时,有d=21,此时(nd)=(2α3β7α1,21);当q1=19时,有d=19,此时(nd)=(2α3β19α1,19).

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    The Solvability of the Generalized Euler Function Equation φ6(n)=$\frac{n}{d}$
    ZHANG Si-bao    
    School of Mathematics and Statistics, Kashi University, Kashi Xinjiang 844008, China
    Abstract: Let n be a positive integer, and φe(n) a generalized Euler function. The generalized Euler function φe(n) is closely related to the Möbius function μ(n). The solvability of the generalized Euler function equation φ6(n)=$\frac{n}{d}$ is discussed with the accurate calculation formula of the generalized Euler function φ6(n) and the classification discussion method, and the cases of its positive integer solutions are given, where d is a positive factor of n.
    Key words: generalized Euler function    equation    positive integer solution    
    X