西南大学学报 (自然科学版)  2019, Vol. 41 Issue (12): 57-60.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.12.008
0
Article Options
  • PDF
  • Abstract
  • Figures
  • References
  • 扩展功能
    Email Alert
    RSS
    本文作者相关文章
    陈波
    曾春娜
    欢迎关注西南大学期刊社
     

  • -空间网的ωβ-收敛性    [PDF全文]
    陈波1, 曾春娜2    
    1. 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715;
    2. 重庆师范大学 数学学院, 重庆 401331
    摘要:在-空间中建立了分子网的ωβ-收敛性,讨论了ωβ-收敛性的基本性质.应用分子网的ωβ-收敛性,刻画了-空间的Mωβ-连续性.
    关键词-空间    分子网    ωβ-收敛    Mωβ-连续性    

    收敛性是L-拓扑空间中的重要性质,文献[1-3]在L-拓扑空间中建立了不同的收敛性.作为L-拓扑空间的推广,文献[4]建立了-空间,随后讨论了-空间的多种拓扑性质[5-6].借助于L-拓扑空间中β开集[7-8]等概念,文献[9]在-空间中建立了ωβ-连通性理论.本文进一步在-空间中建立分子网的ωβ-收敛性理论,讨论了其基本性质,并给出了相关应用.

    在本文中,L为fuzzy格,MMi分别表示L和Li(i=1,2)中所有分子(即非零并既约元)所成之集合. LX表示定义在非空集合X上,取值于L的所有L-fuzzy集合构成的集族,10分别表示LX中的最大元和最小元,M*(LX)表示LX中所有分子所成的集合.其它相关概念可参见文献[10-11].

    定义1  设(LXΩ)为-空间,ALX

    (a) 如果Aωcl(ωint(ωcl(A))),则称Aωβ-开集;

    (b) 如果Aωint(ωcl(ωint(A))),则称Aωβ-闭集.

    ωβO(LX)和ωβC(LX)分别表示ωβ-开集和ωβ-闭集的全体.显然,AωβO(LX)当且仅当A′∈ωβC(LX).

    定义2  设(LXΩ)为-空间,ABLX.记

    $ \begin{array}{*{20}{l}} {\omega \beta {\mathop{\rm int}} (A) = \vee \left\{ {B \in {L^x},B \le A,B \in \omega \beta O\left( {{L^x}} \right)} \right\}}\\ {\omega \beta {\rm{cl}}(A) = \wedge \left\{ {B \in {L^x}:A \le B,B \in \omega \beta C\left( {{L^x}} \right)} \right\}} \end{array} $

    分别称ωβint(A)和ωβcl(A)为A的ωβ-内部和ωβ-闭包.

    定理1  设(LXΩ)为-空间,ALX,则:

    (ⅰ) A为ωβ-开集当且仅当A=ωβint(A);

    (ⅱ) A为ωβ-闭集当且仅当A=ωβcl(A);

    (ⅲ) ωβcl(A′)=(ωβint(A))′,ωβint(A′)=(ωβcl(A))′.

    定义3  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),PωβC(LX).如果xa$\nleq$P,则称Pxαωβ-闭远域.令ωβη-(xα)表示xα的所有ωβ-闭远域构成的集族.

    定义4  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),N={N(n)∈M*(LX):nD}是LX中的分子网,

    (a) 如果∀Pωβη-(xα),存在mD,当nm时,N(n)$\nleq$P,则称xαNωβ-极限点,记作Nωβ xαN的所有ωβ-极限点的并记为ωβ-lim N

    (b) 如果∀Pωβη-(xα)及∀mD,存在nDnm,使得N(n)$\nleq$P,则称xαNωβ-聚点,记作Nωβ xαN的所有ωβ-聚点的并记为ωβ-ad N.

    由定义4,Nωβ-极限点必是ωβ-聚点,从而ωβ-lim Nωβ-ad N.

    定理2  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),N={N(n)∈M*(LX):nD}是LX中的分子网,则:

    (ⅰ) Nωβ xα当且仅当xαωβ-lim N

    (ⅱ) Nωβ xα当且仅当xαωβ-ad N.

     (ⅰ)假设Nωβ xα,由定义4,xαωβ-lim N.

    反之,如果xαωβ-lim N,任取Pωβη-(xα),则ωβ-lim N$\nleq$P.存在Nωβ-极限点e,使得e$\nleq$P,即Pωβη-(e).于是,存在mD,当nDnm时,N(n)$\nleq$P.则Nωβ xα.

    (ⅱ)类似于(ⅰ).

    定理3  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),N={N(n)∈M*(LX):nD}和T={T(n)∈M*(LX):nD}是LX中的分子网,且对∀nDN(n)≤T(n).则:

    (ⅰ)如果Nωβ xα,则Tωβ xα

    (ⅱ)如果Nωβ xα,则Tωβ xα.

    定理4  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),N={N(n)∈M*(LX):nD}是LX中的分子网,则:

    (ⅰ) Nωβ xα当且仅当∀eβ*(xα),Nωβ e

    (ⅱ) Nωβ xα当且仅当∀eβ*(xα),Nωβ e.

     (ⅰ)设Nωβ xαeβ*(xα).任取Pωβη-(e),因exαxα$\nleq$P,即Pωβη-(xα),存在mD,当nDnm时,N(n)$\nleq$P.从而Nωβ e.

    反之,设xα不是Nωβ-极限点.存在Pωβ-(xα),对于所有mD,能找到nDnm,有N(n)≤P.另一方面,由xα=∨β*(xα),存在eβ*(xα),e$\nleq$P.于是Pωβη-(e),但e不是N的ωβ-极限点.

    (ⅱ)类似于(ⅰ).

    定理5  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),N={N(n)∈M*(LX):nD}是LX中的分子网,则:

    (ⅰ) Nωβ xα当且仅当N存在子网TTωβ xα

    (ⅱ) Nωβ xα,则对N的任意子网TTωβ xα.

     (ⅰ)设Nωβ xα,则对∀ Pωβη-(xα)及nD,存在D中的kn,满足N(k)$\nleq$P.取k=S((nP)),对映射SD×ωβη-(xα)D,有N(S(nP))$\nleq$P.令E=D×ωβη-(xα),定义(n1P1)≥(n2P2)当且仅当n1n2P1P2,于是E是定向集.取

    $ \mathit{T}{\rm{((}}\mathit{n, P}{\rm{))}}\mathit{ = N}{\rm{(}}\mathit{S}{\rm{(}}\mathit{n, P}{\rm{))}} $

    可知TN的子网,且Tωβ xα.

    假设T={T(m):mE}是N的子网,Tωβ xα.任取Pωβη-(xα)及n0D,存在映射SE $\longrightarrow$D及m0E,则对所有mm0,有S(m)≥n0.由Tωβ xα,存在m1E,当mm1时,Tm$\nleq$P.由E的定向性,存在m2E,满足m2m0m2m1.于是Tm2$\nleq$P,且S(m2)≥n0.令n=S(m2),则

    $ {N(n) = N\left( {S\left( {{m_2}} \right)} \right) = T\left( {{m_2}} \right)\nleq P} $

    $ {n \ge {n_0}} $

    Nωβ xα.

    (ⅱ)假设N={N(n):nD},Nωβ xαT={T(m):mE}是N的任一子网.则对∀Pωβη-(xα),存在n0D,当nn0时,N(n)$\nleq$P.由子网的定义,存在映射SE $\longrightarrow$Dm0E,当mEmm0时,有

    $ {S(m) \ge {n_0}} $

    $ {T(m) = N(S(m))} $

    于是T(m)≤|PTωβ xα.

    定理6  设(LXΩ)为-空间,xαM*(LX),ALX.则xαωβcl(A)当且仅当存在A中的分子网N,使得Nωβ xα.

     假设xαωβcl(A),对∀Pωβη-(xα),A$\nleq$P.由

    $ {A = \vee \left\{ {e \in {M^*}\left( {{L^X}} \right):e \le A} \right\}} $

    存在ePAeP$\nleq$P.令

    $ {N = \left\{ {{e_P}:P \in \omega \beta {\eta ^ - }\left( {{x_a}} \right)} \right\}} $

    可知N是A中的分子网且Nωβ xα.

    反之,设N={N(n):nD}是A中的分子网且Nωβ xα.任取Pωβη-(xα),存在mD,当nDnm时,N(n)$\nleq$P.于是∀nDN(n)≤A,有A$\nleq$P,即xαωβcl(A).

    定理7  设(LXΩ)为-空间,ALX,则:

    (ⅰ) Aωβ-闭集;

    (ⅱ) A中的任意分子网Nωβ-ad NA

    (ⅲ) A中的任意分子网Nωβ-lim NA.

     (ⅰ)⇒(ⅱ)设Aωβ-闭集,N={N(n):nD}是A中的分子网.任取xαM*(LX)且xαωβ-ad N.对∀Pωβη-(xα)及mD,存在nDnm满足N(n)$\nleq$P.于是A$\nleq$P,即xαωβcl(A)≤A.从而ωβ-ad NA.

    (ⅱ)⇒(ⅲ)对任意分子网Nωβ-lim Nωβ-ad N,从而结论成立.

    (ⅲ)⇒(ⅰ)任取xαM*(LX),且xαωβcl(A).由定理6,存在A中分子网NNωβ xα.由,xαωβ-lim NA.于是ωβcl(A)≤AA是ωβ-闭集.

    定义5  设(LXΩ1),(LYΩ2)为-空间.映射f:(LXΩ1)(LYΩ2),如果对任意的AωβO(LY),有f-1(A)∈ωβO(LX),则称f是Mωβ-连续的.

    由定义5,有以下定理:

    定理8  设(LXΩ1),(LYΩ2)为-空间. f:(LXΩ1)(LYΩ2)是Mωβ-连续的当且仅当∀xαM*(LX)及∀Pωβη-(f(xα)),有f-1(P)∈ωβη-(xα).

    定理9  设(LXΩ1),(LYΩ2)为-空间,N={N(n)∈M*(LX):nD}是LX中的分子网,f:(LXΩ1) $\longrightarrow$(LYΩ2)是Mωβ-连续的.如果Nωβ xα,则f(N)→ωβ f(xα).

     设f是Mωβ-连续的,Nωβ xα.任取Pωβη-(f(xα)),由定理8,f-1(P)∈ωβη-(xα).存在mD,当nDnmN(n)$\nleq$f-1(P),从而f(N(n))$\nleq$P,即f(N)→ωβ f(xα).

    推论1  设(LXΩ1),(LYΩ2)为-空间,f:(LXΩ1) $\longrightarrow$(LYΩ2)是Mωβ-连续的.则对LX中任意分子网N,有f(ωβ-lim N)≤ωβ-lim f(N).

    参考文献
    [1]
    PU P M, LIU Y M. Fuzzy Topology I, Neighborhood Structure of a Fuzzy Point and Moore-Smith Convergence[J]. J Math Anal Appl, 1980, 76(2): 571-599. DOI:10.1016/0022-247X(80)90048-7
    [2]
    CHEN S L. U-Convergence Theory and L-Fuzzy U-Sets[J]. Information Sciences, 1995, 87: 205-213. DOI:10.1016/0020-0255(95)00125-5
    [3]
    CHEN S L, CHEN S T. A New Extension of Fuzzy Convergence[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2000, 109(2): 199-204. DOI:10.1016/S0165-0114(98)00048-7
    [4]
    陈水利, 董长清. L-fuzzy保序算子空间[J]. 模糊系统与数学, 2002, 16(2): 36-41. DOI:10.3969/j.issn.1001-7402.2002.02.005
    [5]
    黄金兰, 陈水利. Lω-空间中的ω-Tychonoff分离性[J]. 模糊系统与数学, 2012, 26(4): 43-48. DOI:10.3969/j.issn.1001-7402.2012.04.007
    [6]
    陈波, 刘建军. L-fuzzy保序算子空间的ω-Lindelöf可数性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2006, 31(4): 32-34. DOI:10.3969/j.issn.1000-5471.2006.04.008
    [7]
    BALASUBRAMANIAN G. Fuzzy β-Open Sets and Fuzzy β-Separation Axioms[J]. Kybernetika, 1999, 35(2): 215-223.
    [8]
    HANAFY I M. Fuzzy β-Compactness and Fuzzy β-Closed Spaces[J]. Turk J Math, 2004, 28(1): 281-293.
    [9]
    陈波, 曾春娜. -空间的ωβ-连通性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2016, 38(12): 71-75.
    [10]
    王国俊. L-fuzzy拓扑空间论[M]. 西安: 陕西师范大学出版社, 1988.
    [11]
    LIU Y M, LUO M K. Fuzzy Topology[M]. Singapore: World Scientific, 1997.
    ωβ-Convergence of Nets in -Spaces
    CHEN Bo1, ZENG Chun-na2    
    1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;
    2. School of Mathematics Science, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China
    Abstract: In this paper, the ωβ-convergence theory of molecule nets in -spaces is introduced. Some properties of ωβ-convergence are discussed. The ωβ-convergence theory is used to characterize the Mωβ-continuous functions in -spaces.
    Key words: -space    molecule net    ωβ-convergence    Mωβ-continuity    
    X