西南大学学报 (自然科学版)  2020, Vol. 42 Issue (2): 36-40.  DOI: 10.13718/j.cnki.xdzk.2020.02.006
0
Article Options
  • PDF
  • Abstract
  • Figures
  • References
  • 扩展功能
    Email Alert
    RSS
    本文作者相关文章
    吴德垠
    杨高进
    欢迎关注西南大学期刊社
     

  • 闭模糊拟阵圈函数和圈区间的推广    [PDF全文]
    吴德垠, 杨高进    
    重庆大学 数学与统计学院, 重庆 401331
    摘要:采用将模糊拟阵转换为导出拟阵的方法,对闭模糊拟阵圈函数和圈区间进行了推广.同时,对推广后的圈函数和圈区间的性质进行了深入的分析.首先分析了闭模糊拟阵中,模糊圈的性质、导出拟阵圈的性质和模糊圈与导出拟阵圈的关系.然后,利用这些性质和关系,定义了广义圈函数和圈范围.通过研究广义圈函数和圈范围的性质,说明广义圈函数和圈范围是圈函数和圈区间的推广.最后,利用广义圈函数给出了准模糊图拟阵和精细模糊拟阵的充要条件.
    关键词拟阵    圈公理    模糊拟阵    广义圈函数    圈范围    

    文献[1]将模糊集合引入拟阵理论,提出了模糊拟阵的概念(中国部分学者称之为G-V模糊拟阵[2]).文献[3]定义了模糊拟阵的圈函数和圈区间,通过这些概念,讨论了模糊圈的一系列性质.我们可以发现:模糊圈与导出拟阵圈之间存在密切的关系.能否通过导出拟阵的圈来研究模糊拟阵的模糊圈?本文计划采用将模糊拟阵问题转换为导出拟阵[1](即普通拟阵)问题的方法,利用导出拟阵的圈性质来推广圈函数和圈区间概念.然后,利用推广的概念进一步研究模糊拟阵和模糊圈的性质.这种研究方法首先在文献[4]中提出并使用,后来在文献[5-10]中得到发展和广泛应用.

    1 预备知识

    E={x1x2,…,xN}是非空有限集合,则E上的模糊集μ是一个映射μE→[0, 1]. E上模糊集的全体记为F(E).文中使用的模糊数学的有关概念和符号主要参照文献[1].初等模糊集的概念使用较多,介绍如下:∀AE,∀r∈(0,1],称

    $ \omega ( A , r ) ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { r } & { x \in A } \\ { 0 } & { x \notin A } \end{array} \right. $

    为支撑集为A,高度为r的初等模糊集.

    文献[11]通过独立集公理定义拟阵.文献[1]的定义1.2定义了模糊拟阵及其有关概念.

    定理1[1]  设M=(E)是模糊拟阵,∀r∈(0,1),令Ir={cr(μ)|∀μ},则Mr=(EIr)是E上的拟阵(称为由模糊拟阵M导出的r-水平拟阵,简称导出拟阵).有有限实数列r0r1<…<rn,使得:

    (ⅰ) r0=0,rn≤1;

    (ⅱ) 当0<rrn时,Ir≠{};当rrn时,Ir={};

    (ⅲ) ∀st∈(riri+1),Is=It(0≤in-1);

    (ⅳ) 若risri+1tri+2,则IsIt(0≤in-2).

    则称序列0=r0r1<…<rn≤1为M的基本序列.

    对1≤in,设$ \overline {{r_i}} $=(ri+ri-1)/2,称拟阵序列Mr1=(EIr1)⊃Mr2=(EIr2)⊃…⊃Mrn=(EIrn)为M的导出拟阵序列.若Mr1=Mri(i=1,2,…,n),则称M是闭模糊拟阵[1].

    为了便于描述,我们统一规定Mr0=M0=(EI0),I0={X|∀XE}.当rn<1时,令rn+1=1,Mrn+1=(EIrn+1),Irn+1={}.除特别说明外,我们的讨论主要针对rn=1来进行,但同样适用于rn<1.有两种平凡的模糊拟阵,一种是I={},另一种是I=F(E)(此种也称为自由模糊拟阵).以后的讨论中,不涉及这两种模糊拟阵.

    文献[3]定义了模糊集截短μαT、模糊拟阵的初等模糊圈、圈函数τ和针对闭模糊拟阵的圈区间,证明了一些模糊圈的结论.

    2 模糊圈的若干性质

    M=(E)是模糊拟阵,0=r0r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1=(EIr1)⊃Mr2=(EIr2)⊃…⊃Mrn=(EIrn)为其导出拟阵序列.其中ri=(ri-1+ri)/2,Iri={Cri(μ)|∀μ}i=1,2,…,n.

    ζ={μF(E)|μM的模糊圈},称ζ是模糊拟阵M的模糊圈集.记

    $ \operatorname{supp} \zeta=\{\operatorname{supp} \mu \subseteq E | \forall \mu \in \zeta\} $

    $ \mathscr{C}$={CE|存在r∈[0, 1],使得CMr的圈},称$\mathscr{C} $是模糊拟阵M的导出拟阵圈集.

    定理2   设M=(E)是闭模糊拟阵,则M无非环模糊圈的充要条件是M有且只有一个模糊基.

      首先证明必要性.

    M是闭模糊拟阵和文献[12]的定理1.10知,M存在模糊基,取其一个模糊基μ.令νM的任何一个模糊基,我们要证明μ=ν.

    由文献[12]的定理1.9,有R+(μ)⊆{r1,…,rn},R+(ν)⊆{r1,…,rn}.因此,由模糊集的分解定理[13]得出

    $ \mu=\omega\left(C_{r_{1}}(\mu), r_{1}\right) \vee \omega\left(C_{r_{2}}(\mu), r_{2}\right) \vee \cdots \vee \omega\left(C_{r_{n}}(\mu), r_{n}\right) $
    $ \nu=\omega\left(C_{r_{1}}(\nu), r_{1}\right) \vee \omega\left(C_{r_{2}}(\nu), r_{2}\right) \vee \cdots \vee \omega\left(C_{r_{n}}(\nu), r_{n}\right) $

    用文献[11]的定理2.1.1(增广定理)可以证明:对∀i(1≤in),Cri(μ)都是Cri-1(μ)在Mri中的极大独立子集.

    用文献[3]的定理2.2(ⅱ)和归纳法证明Cri(μ)=Cri(ν)(1≤in).

    所以,μ=ν.

    再证充分性.如果M有且只有一个模糊基μ,则有

    $ \mu=\omega\left(C_{r_{1}}(\mu), r_{1}\right) \vee \omega\left(C_{r_{2}}(\mu), r_{2}\right) \vee \cdots \vee \omega\left(C_{r_{n}}(\mu), r_{n}\right) $

    下面证明,M无非环模糊圈.

    用文献[12]的定理1.10、文献[11]的定理2.1.1和归纳法可以证明:对∀i(1≤in),Cri(μ)都是Mri的唯一基.

    用文献[11]的定理2.1.1和归纳法可以证明:对∀i(1≤in),Mri都没有非环圈.

    最后证明M无非环模糊圈.反证,如果M有非环模糊圈μ,则Cm(μ)(μ)就是Mm(μ)的非环圈.

    Im(μ),存在i(1≤in),使得m(μ)∈(ri-1ri],则由定理1知Mm(μ)=Mri.因此Cm(μ)(μ)是Mri的非环圈,矛盾.

    M无非环模糊圈.

    命题1(导出拟阵圈的连贯性)设M=(E)是闭模糊拟阵,取A$\mathscr{C} $,如果AMriMri+2(假定i+2≤n)的圈,则A也是Mri+1的圈.

      由AMri的圈,则AIriIri+1,得出AMri+1的相关集.又由AMri+2的圈,则∀xA,都有A\{x}∈Iri+2 Iri+1.因此AMri+1的圈.

    定理3  设M=(E)是闭模糊拟阵,取A$ \mathscr{C}$,则有两个整数jk(jk=0,1,2,…,njk),使得:

    (ⅰ)∀λ∈(rjrk],A都是Mλ的圈;

    (ⅱ)∀λ∈[0, 1]\(rjrk],A都不是Mλ的圈.

      根据$ \mathscr{C}$的定义知,必有r∈(0,1],使得AMr的圈.也存在i(1≤inn+1,rn<1时,令rn+1=1),使得r∈(ri-1ri].因此AMri的圈.

    I0=Ir0={X|XE}(自由拟阵[11]).

    (ⅰ)我们先找j.考察A是否为Mri-1(i-1>0时)的圈.如果A不是Mri-1的圈,则终止.如果AMri-1的圈,则继续考察A是否为Mri-2(i-2>0时)的圈,以此继续.由于Mr0=(EIr0)无圈,因此,这个过程结束时,会找到j(j=0,1,2,…,i-1),使得AMrj+1的圈,但不是Mrj的圈.

    再找k.考察A是否为Mri+1(i+1≤n时)的圈.如果A不是Mri+1的圈,则终止.如果AMri+1的圈,则继续考察A是否为Mri+2(i+2≤n时)的圈,以此继续.由于n的有限性,会找到k(k=ii+1,…,n),使得AMrk的圈.如果kn,则A不是Mrk+1的圈.

    根据前面的证明知,AMrj+1,…,Mri,…,Mrk的圈.而且,∀λ∈(rjrk],必有l(l=j,…,k-1),使得λ∈(rlrl+1].根据导出拟阵的性质知,Mλ=Mrl+1.因此,AMλ的圈.

    (ⅱ)∀λ∈[0,rn]\(rjrk],我们采用反证法.如果存在λ,使得AMλ的圈,存在l,使得λ∈(rlrl+1].根据λ的取法,必有l+1≤jk,或lkjln-1.又由于Mλ=Mrl+1,因此AMrl+1的圈.

    l+1≤jk时,AMrl+1Mrk的圈.因此,由命题1,A也是Mrj的圈.这与j的选取矛盾.

    lkjln-1时,A是MrkMrl+1的圈,而且l+1>k.因此,由命题1,AMrk+1的圈.这与k的选取矛盾.即∀λ∈[0,rn]\(rjrk],A都不是Mλ的圈.

    如果rn=1,前面已经说明∀λ∈[0, 1]\(rjrk],A都不是Mλ的圈.

    如果rn<1,对∀λ∈(rn,1],由定理1,都有Iλ={}.所以,∀xE,{x}都是Mλ的圈(环).而且Mλ没有非环圈.

    若|A|>1,∀λ∈(rn,1]\(rjrk],A不是Mλ的圈.

    若|A|=1,AM1的圈(环).因此,与A对应的jnkrk=1(k=n+1). (rn,1]\(rjrk]=(rn,1]\(rj,1]=.没有λ使得λ∈(rn,1]\(rjrk].

    3 广义圈函数和圈范围

    定义1   设M=(E)是闭模糊拟阵,0=r0r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1Mr2⊃…⊃Mrn为其导出拟阵序列.设F(E)是E上的全体模糊集.构造映射πF(E)→{r0r1,…,rn}×{r0r1,…,rn}如下:

    μF(E),如果supp μ$ \mathscr{C}$,则定义π(μ)=(r0r0);如果supp μ$\mathscr{C} $,根据定理3,可找到与之对应的唯一一对整数jk(jk=0,1,2,…,njk),则定义π(μ)=(rjrk).

    我们称此映射π为广义圈函数.如果μζ,令(μ)=(rjrk],称之为μ的圈范围.

    如果rn<1,令rn+1=1,此时π的像集有稍微改变,πF(E){r0r1,…,rn}×{r0r1,…,rn+1}.

    从定义1可以看出,映射π的像取决于模糊圈的支撑集,而与其模糊隶属度没有本质联系.

    由定理3和定义1,可以扩展文献[3]的定理3.4,得出如下定理:

    定理4  设M=(E)是闭模糊拟阵,0=r0r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1Mr2⊃…⊃Mrn为其导出拟阵序列,∀μζ,圈范围为(μ)=(rjrk],都有:

    (ⅰ)∀λ(μ),supp μ都是Mλ的圈;

    (ⅱ)∀λ∈[0, 1]\(μ),supp μ都不是Mλ的圈;

    (ⅲ) ∀λ∈[0,rj],supp μIλ;∀λ∈(rk,1](如果rk<1),supp μIλ

    (ⅳ) ∀ri∈{r1,…,rn},存在μζ,使得π(μ)=(riβ)或π(μ)=(αri).

      令A=supp μ.

    (ⅰ)和(ⅱ)都可从定理3获知.

    再来证明(ⅲ).若存在λ∈[0,rj],使得supp μIλ,则存在Mλ的圈C,使得C⊆supp μ.则ω(Cλ),ω(supp μrk)都是初等模糊圈,而且ω(Cλ)≤ω(supp μrk).由文献[3]的定理2.8知,必有C=supp μ,即supp μ也是Mλ的圈.这与π(μ)的定义矛盾.所以supp μIλ.

    λ∈(rk,1](如果rk<1),rkλ,如果supp μIλ,则由supp μIλIrk知,与supp μMrk的圈矛盾.因此supp μIλ.

    最后证明(ⅳ).当in时,考察导出拟阵MriMri+1.由于MriMri+1,因此两个拟阵的圈集(分别为CriCri+1)不能相同,而且Mri+1必定有圈.

    Mri+1的一个圈C,使其不是Mri的圈,则取μ=ω(Cri+1)∈ζ.根据定义1,存在β∈{r1,…,rn},使得π(μ)=(riβ).

    如果没有这样的圈,则CriCri+1.再取CCri\Cri+1,则CMri的圈,而非Mri+1圈.取μ=ω(Cri)∈ζ,则由定义1,存在α∈{r0r1,…,rn-1},使得π(μ)=(αri).

    i=n时,考察导出拟阵Mrn.由于前面已经排除了自由模糊拟阵的情况,因此,Mrn必定有圈C.取初等模糊圈μ=ω(C,rn)∈ζ.如果rn=1,则有α∈{r0r1,…,rn-1},使得π(μ)=(α,1)=(αrn).如果rn<1,由Irn⊃{}知,必有xE,使得{x}不是Mrn的环,而是M1=(E,{})的环.取μ=ω({x},1)∈ζ,则π(μ)=(rn,1).

    下面,讨论广义圈函数、圈范围,与圈函数、圈区间的关系(圈函数与圈区间的符号来自文献[3]).

    定理5   设M=(E)是闭模糊拟阵,0=r0r1<…<rn≤1为其基本序列,Mr1Mr2⊃…⊃Mrn为其导出拟阵序列.∀μζ,有π(μ)=(rjrk),则τ(μ)=rj(μ)⊆(μ).

    定理5可以通过定理4和定理2给予证明.

    由此可以看出,广义圈函数和圈范围是圈函数和圈区间的推广.

    下面,我们用广义圈函数来描述精细模糊拟阵[2]和准模糊图拟阵[14].

    定理6  设M=(E)是闭模糊拟阵.则M是精细模糊拟阵的充要条件是:∀μζ,都存在rj(j=1,2,…,n),使得π(μ)=(rj,1).

    文献[5]的定理11给出了准模糊图拟阵的充要条件.现在,我们使用推广圈函数和圈区间的概念,再给出一个充要条件:

    定理7  设M=(E)是闭模糊拟阵.则M是准模糊图拟阵的充要条件是:∀μζ,只要|supp μ|>1,都存在rk(k=1,2,…,n),使得π(μ)=(0,rk).

      由广义圈函数的定义知:∀μζ,都存在rjrkrjrk,使得π(μ)=(rjrk).因此,只需要证明:M是准模糊图拟阵⇔∀μζ且|supp μ|>1,则rj=0.

    先证必要性.存在i(i=1,2,…,n),使得m(μ)∈(ri-1ri].由文献[3]的定理2.5,Cm(μ)=supp μMm(μ)=Mri的非环圈.再由准模糊图拟阵的定义知,supp μ也是Mr1的非环圈.因此,由定理3及其证明知,rjr1.即rj=r0=0.

    再证充分性.任取Mri(i=2,…,n)的非环圈C,构造模糊集ν=ω(Cri).则由文献[3]的定理2.5知,νM的模糊圈且|supp ν|>1.由已知,存在rkrir1>0,使得π(ν)=(0,rk),显然r1∈(0,rk].由定理4(ⅰ)知,C也是Mr1的非环圈.所以,M是准模糊图拟阵.

    利用推广的圈函数和圈区间,可以研究模糊拟阵的许多问题.比如,使用现在的概念去讨论文献[15]的模糊圈的秩,可以得到更好的结论.

    参考文献
    [1]
    GOETSCHEL R J, VOXMAN W. Fuzzy Matroids[J]. Fuzzy Sets And Systems, 1988, 27(3): 291-302. DOI:10.1016/0165-0114(88)90055-3
    [2]
    LI X N, LIU S Y, LI S G. Connectedness of Refined Goetschel-Voxman Fuzzy Matroids[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2010, 161(20): 2709-2723. DOI:10.1016/j.fss.2010.04.014
    [3]
    GOETSCHEL R J, VOXMAN W. Fuzzy Circuits[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989, 32(1): 35-43. DOI:10.1016/0165-0114(89)90086-9
    [4]
    吴德垠, 王彭. 关于模糊截短列拟阵的研究[J]. 模糊系统与数学, 2016, 30(5): 125-131.
    [5]
    吴德垠. 一个准模糊图拟阵的新特征[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2018, 40(2): 35-39.
    [6]
    吴德垠. 模糊拟阵的独立模糊壳[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2018, 40(8): 89-94.
    [7]
    吴德垠, 张忠. 研究模糊拟阵的一种新方法[J]. 模糊系统与数学, 2018, 32(4): 24-31.
    [8]
    吴德垠. 模糊拟阵的导出集合函数[J]. 模糊系统与数学, 2019, 33(1): 1-11.
    [9]
    张晓婷, 吴德垠. 关于一致模糊横贯拟阵的研究[J]. 模糊系统与数学, 2019, 33(2): 1-10.
    [10]
    吴德垠. 模糊横贯拟阵的再研究[J]. 模糊系统与数学, 2019, 33(3): 1-18.
    [11]
    刘桂真, 陈庆华. 拟阵[M]. 长沙: 国防科技大学出版社, 1994.
    [12]
    GOETSCHEL R, VOXMAN W. Bases of Fuzzy Matroids[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989, 31(2): 253-261. DOI:10.1016/0165-0114(89)90007-9
    [13]
    李安贵, 张志宏, 孟艳, 等. 模糊数学及其应用[M]. 2版. 北京: 冶金工业出版社, 2005: 19-27.
    [14]
    [15]
    李永红, 刘宴兵, 石庆喜. 模糊圈的秩[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2009, 34(3): 21-23.
    Generalizations of Circuit Functions and Circuit Intervals in Closed Fuzzy Matroids
    WU De-yin, YANG Gao-jin    
    School of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing 401331, China
    Abstract: The concepts of circuit functions and circuit intervals for closed fuzzy matroids are generalized by transforming fuzzy matroids into induced matroids in this paper, and the properties of the generalized circuit functions and circuit intervals are studied in detail. First, the properties of the fuzzy circuit and the induced matroid circuit and the relationship between the two in closed fuzzy matroids are analyzed. Then, with the help of these properties and relationships, the terms of generalized circuit function and circuit range are defined. The study of the properties of generalized circuit functions and circuit ranges shows that generalized circuit functions and circuit ranges are the generalization of the original circuit functions and circuit intervals. Finally, using the generalized circuit functions, this paper gives the sufficient and necessary conditions for quasi-fuzzy graph matroids and refined fuzzy matroids.
    Key words: matroid    circuit axiom    fuzzy matroid    generalized circuit function    circuit range    
    X