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研究单种群生物群体的渐近稳定性由来已久[1-5].近年来人们发现，生物种群的竞争模型同样能反映相关经济实体(如企业集群、学校、医院等)在特定地理位置聚集而形成的竞争.连续型多维竞争模型[6-9]只能粗略地反映客观系统，所获结论很难在客观实际中得到应用.为保留连续型竞争模型的竞争特点而消除系统误差，杨逢建等人[5, 10]对一维、二维离散型竞争系统进行了研究，建立了相关模型并获得了平衡点的渐近稳定性，由此得到了参与竞争的各群体和谐相处的条件(共生条件)、某群体在竞争中消亡的条件(淘汰条件)、竞争过程中各群体优势与劣势发生转化的条件(逆转条件)，等等.
本文讨论与连续型三维竞争系统对应的离散型三维竞争系统
其中：xn，yn，zn分别表示在一定区域内竞争同种自然资源的生物群体的即时存量，或处于相同经济层次的第i(i=1，2，3) 个集群企业拥有的各种要素总量(如劳动力、资本、市场规模、技术、原材料等)；a1，a2，a3分别表示3个生物群体在理想状态下的生命系数，在经济学中它们表示理想环境下各群体的最大产出增长率；b11，b22，b33分别表示3个群体的内部竞争系数；bij(i≠j，i，j=1，2，3) 表示群体i与群体j之间的竞争系数.根据竞争模型的特点，ai与bij(i，j=1，2，3) 均大于0.
本文先讨论竞争系统(1) 的平衡点的坐标与性质，然后借助一系列辅助平面讨论某些平衡点的渐近稳定性，由此得到系统(1) 中某群体在竞争过程中将竞争对手淘汰使自身达到最大可能数量(饱和量)的条件，和系统中各群体永不和谐(无法达到正平衡)的条件.
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下文中记
定理1(ⅰ) 系统(1) 有平衡点O(0，0，0)，
${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right),$ ${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right),$ ${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_33}}}} \right),$ ${Q_1}\left( {0,\frac{{{a_2}{b_{33}} - {a_3}{b_{23}}}}{{{b_{22}}{b_{33}} - {b_{23}}{b_{32}}}},\frac{{{a_3}{b_{22}} - {a_2}{b_{32}}}}{{{b_{22}}{b_{33}} - {b_{23}}{b_{32}}}}} \right),$ ${Q_2}\left( {\frac{{{a_1}{b_{33}} - {a_3}{b_{13}}}}{{{b_{11}}{b_{33}} - {b_{13}}{b_{31}}}},0,\frac{{{a_3}{b_{11}} - {a_1}{b_{31}}}}{{{b_{11}}{b_{33}} - {b_{13}}{b_{31}}}}} \right),$ ${Q_3}\left( {\frac{{{a_1}{b_{22}} - {a_2}{b_{12}}}}{{{b_{11}}{b_{22}} - {b_{12}}{b_{21}}}},\frac{{{a_2}{b_{11}} - {a_1}{b_{21}}}}{{{b_{11}}{b_{22}} - {b_{12}}{b_{21}}}},0} \right)$ 和$R\left( {\frac{{{D_1}}}{D},\frac{{{D_2}}}{D},\frac{{{D_3}}}{D}} \right)$ .当某个Di=0而Dj≠0(j≠i)时点R与Qi重合i=1，2，3.(ⅱ)当群体Ⅱ和Ⅲ都被淘汰时，群体Ⅰ有饱和量
$\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}}$ ，在经济学中它表示第Ⅰ个竞争群体的资源最大可能数量；同理，当群体Ⅰ和Ⅲ都被淘汰时，群体Ⅱ有饱和量$\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}}$ ；当群体Ⅰ和Ⅱ都被淘汰时，群体Ⅲ有饱和量$\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}$ .(ⅲ)系统(1) 中的3个群体永不和谐(达不到正平衡)的充分条件是
$\frac{{{D_i}}}{D}\left( {i = 1,2,3} \right)$ 至少有一个不存在或$\frac{{{D_i}}}{D} \geqslant 0\left( {i = 1,2,3} \right)$ 不同时成立.证 设系统(1) 的3个群体趋于平衡状态(X，Y，Z)，即有
令(1) 式两端n→∞取极限得
由方程组(4) 可解出(1) 式的平衡点.
当
$\frac{{{D_i}}}{D}\left( {i = 1,2,3} \right)$ 至少有一个不存在或$\frac{{{D_i}}}{D} \geqslant 0\left( {i = 1,2,3} \right)$ 不同时成立时，系统(1) 没有正平衡点，故系统永远无法达到正平衡.定理2 平衡点O(0，0，0) 是不稳定的.
证 由于ai与bij(i，j=1，2，3) 均大于0，故平面
中每个平面与坐标轴的交点都在正半轴上.这3个平面与3个坐标平面在第一卦限围成一个闭区域Ω1.在区域Ω1上，有
且只要点(xn，yn，zn)不与原点重合，等号就不同时成立，故xn+1＞xn，yn+1＞yn，zn+1＞zn至少有一个成立.因此，只要初始值(x0，y0，z0)的3个分量不全为0，则解序列中的点(xn，yn，zn)的3个分量也会不全为0，即平衡点O(0，0，0) 是不稳定的.
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以下作如下假设：
(H1)
${A_1} = {\text{max}}\left\{ {\frac{{{a_2}}}{{{b_{23}}}},\frac{{{a_1}}}{{{b_{13}}}}} \right\} ＜ \frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant {\text{min}}\left\{ {\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}},\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}} \right\}$ ，由平面z=A1，x=0，y=0和π3所围成的位于第一卦限的闭区域记为Ω2.(H2)
${A_2} = {\text{max}}\left\{ {\frac{{{a_3}}}{{{b_{32}}}},\frac{{{a_1}}}{{{b_{12}}}}} \right\} ＜ \frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}} \leqslant {\text{min}}\left\{ {\frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{32}}}},\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{12}}}}} \right\}$ ，由平面y=A2，x=0，z=0和π2所围成的位于第一卦限的闭区域记为Ω3.(H3)
${A_3} = {\text{max}}\left\{ {\frac{{{a_3}}}{{{b_{31}}}},\frac{{{a_2}}}{{{b_{21}}}}} \right\} ＜ \frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}} \leqslant {\text{min}}\left\{ {\frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{31}}}},\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{21}}}}} \right\}$ ，由平面x=A3，y=0，z=0和π1所围成的位于第一卦限的闭区域记为Ω4.显然，由A1＞0，π3与三坐标轴都交于正半轴可知，区域Ω2是正不变的.同理，区域Ω3和Ω4也是正不变的.
定理3 (ⅰ)设系统(1) 满足假设(H1)，a3≤1，
$\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{32}}}} ＜ \frac{{1 + {a_1} - {b_{13}}{A_1}}}{{{b_{12}}}},\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{31}}}} ＜ \frac{{1 + {a_2} - {b_{23}}{A_1}}}{{{b_{21}}}}$ ，则平衡点${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}} \right)$ 对于区域Ω2是渐近稳定的.(ⅱ)设系统(1) 满足假设(H2)，
$\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{23}}}} ＜ \frac{{1 + {a_1} - {b_{12}}{A_2}}}{{{b_{13}}}},\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{21}}}} ＜ \frac{{1 + {a_3} - {b_{32}}{A_2}}}{{{b_{31}}}}$ ，则平衡点${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ 对于区域Ω3是渐近稳定的.(ⅲ)设系统(1) 满足假设(H3)，
$\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{13}}}} ＜ \frac{{1 + {a_2} - {b_{21}}{A_3}}}{{{b_{23}}}},\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{12}}}} ＜ \frac{{1 + {a_3} - {b_{31}}{A_3}}}{{{b_{32}}}}$ ，则平衡点${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ 对于区域Ω3是渐近稳定的.证 先证明结论(ⅰ).记平面
平面π4与x轴交于点
$\left( {\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ ，与z轴交于$\left( {0,0,\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}} \right)$ ；平面π3与x轴的交点只能位于饱和点${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ 与原点之间，由此和条件$\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}$ 可知，π4与xoz平面在第一象限的交线位于π3与xoz平面在第一象限的交线的上方.又平面π3与z=A1在yoz平面的交点为$\left( {0,\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{32}}}},{A_1}} \right)$ ，平面π4与z=A1在yoz平面的交点为$\left( {0,\frac{{1 + {a_1} - {b_{13}}{A_1}}}{{{b_{12}}}},{A_1}} \right)$ ，因此当$\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{32}}}} ＜ \frac{{1 + {a_1} - {b_{13}}{A_1}}}{{{b_{12}}}}$ 时，由$\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}$ 知平面π4与yoz平面的交线对应于${A_1} \leqslant z \leqslant \frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}$ 那一段位于π3与yoz平面的交线对应那一段的上方.由以上讨论可知，平面π3与π4在区域Ω2不相交.
平面π5与z轴交于点
$\left( {0,0,\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}}} \right)$ ，与y轴交于$\left( {0,\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ ；平面π3与y轴的交点只能位于饱和点${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ 与原点之间，由此和条件$\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}}$ 可知π5与yoz平面在第一象限的交线位于π3与yoz平面在第一象限的交线的上方.又平面π3与z=A1在xoz平面的交点为$\left( {\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{31}}}},0,{A_1}} \right)$ ，平面π5与z=A1在xoz平面的交点为$\left( {\frac{{1 + {a_2} - {b_{23}}{A_1}}}{{{b_{21}}}},0,{A_1}} \right)$ ，因此当$\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{31}}}} ＜ \frac{{1 + {a_2} - {b_{23}}{A_1}}}{{{b_{21}}}}$ 时，由$\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}}$ 知平面π5与xoz平面的交线对应于${A_1} \leqslant z \leqslant \frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}$ 那一段位于π3与xoz平面的交线对应那一段的上方.所以平面π3与π5在区域Ω2不相交.因此，区域Ω2位于平面π1和π2的上方，平面π3，π4和π5的下方，故对于任意初值点(x0，y0，z0)∈Ω2，有
由(10) 式和(1) 式可得
由于a3≤1，在a3-b31x0-b32y0-b33z0≥0两边同乘以1-a3，得
即
由于
由上式有
得
即
由此和(10) 式的前两式有
即
由(11) 和(12) 式可知，点(x1，y1，z1)∈Ω2.递推可知，只要系统(1) 的某个数量点(xk，yk，zk)∈Ω2，则有(xk+1，yk+1，zk+1)∈Ω2，由Ω2是一个有界闭域知，序列{xn}，{yn}，{zn}均有界.当n＞k时，序列{xn}，{yn}均单调递减，序列{zn}单调递增，因而由单调有界准则知3个序列均存在极限.又系统在此区域上只有一个平衡点
${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}} \right)$ ，因此所以，平衡点
${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}} \right)$ 对于区域Ω2是渐近稳定的.结论(ⅱ)的证明与结论(ⅰ)类似，但需考虑平面
利用与(ⅰ)类似的方法，由条件
$\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{12}}}}$ 和$\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{23}}}} ＜ \frac{{1 + {a_1} - {b_{12}}{A_2}}}{{{b_{13}}}}$ 可以证明，平面π2与π4在区域Ω3不相交；由条件$\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{32}}}},\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{21}}}} ＜ \frac{{1 + {a_3} - {b_{32}}{A_2}}}{{{b_{31}}}}$ 可以证明，平面π2与π6在区域Ω3不相交.由此可知，区域Ω3位于平面π1和π3的右方、平面π2，π4和π6的左方.由此和条件a2≤1利用前面类似的方法可以证明：只要系统(1) 的某个数量点(xk，yk，zk)∈Ω3，则有(xk+1，yk+1，zk+1)∈Ω3，由Ω3是一个有界闭域知，序列{xn}，{yn}，{zn}均有界.且当n＞k时，序列{xn}，{zn}均单调递减，序列{yn}单调递增，因而由单调有界准则知3个序列均存在极限.又系统在此区域只有一个平衡点${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ ，因此平衡点${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ 对于区域Ω3是渐近稳定的.结论(ⅲ)的证明也与结论(ⅰ)类似，由条件
$\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{21}}}}$ 和$\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{13}}}} ＜ \frac{{1 + {a_2} - {b_{21}}{A_3}}}{{{b_{23}}}}$ 可以证明，平面π1与π5在区域Ω4不相交；由条件$\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{31}}}}$ 和$\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{12}}}} ＜ \frac{{1 + {a_3} - {b_{31}}{A_3}}}{{{b_{32}}}}$ 可以证明，平面π1与π6在区域Ω4不相交.因此，区域Ω4位于平面π2和π3的前方、平面π1，π5和π6的后方.由此和条件a1≤1利用与(ⅰ)类似的方法可以证明：只要系统(1) 的某个点(xk，yk，zk)∈Ω4，则有(xk+1，yk+1，zk+1)∈Ω4，由Ω4是一个有界闭域知，序列{xn}，{yn}，{zn}均有界.且当n＞k时，序列{yn}，{zn}均单调递减，序列{xn}单调递增，因而由单调有界准则知3个序列均存在极限.又系统在此区域只有一个平衡点${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ ，因此平衡点${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ 对于区域Ω4是渐近稳定的.由定理2和定理3，可知三维离散型竞争系统(1) 满足如下规律：
推论 (ⅰ)设竞争系统(1) 满足定理3条件(ⅰ)，若系统(1) 中3个群体的某个数量点落入区域Ω2，则群体Ⅰ和群体Ⅱ将被淘汰，群体Ⅲ将趋于饱和量
${\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}}$ .(ⅱ)设竞争系统(1) 满足定理3条件(ⅱ)，若系统(1) 中3个群体的某个数量点(xn，yn，zn)落入区域Ω3，则群体Ⅰ和群体Ⅲ将被淘汰，群体Ⅱ将趋于饱和量
${\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}}}$ .(ⅲ)设竞争系统(1) 满足定理3条件(ⅲ)，若系统(1) 中3个群体的某个数量点(xn，yn，zn)落入区域Ω4，则群体Ⅱ和群体Ⅲ将被淘汰，群体Ⅰ将趋于饱和量
${\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}}}$ .
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