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离散型三维竞争系统中某群体竞争获胜的条件

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周志轩, 杨逢建. 离散型三维竞争系统中某群体竞争获胜的条件[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2017, 39(7): 124-129. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.07.019
引用本文: 周志轩, 杨逢建. 离散型三维竞争系统中某群体竞争获胜的条件[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2017, 39(7): 124-129. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.07.019
Zhi-xuan ZHOU, Feng-jian YANG. The Conditions for a Group Winning a Competition in a Three-Dimensional Discrete Competitive System[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2017, 39(7): 124-129. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.07.019
Citation: Zhi-xuan ZHOU, Feng-jian YANG. The Conditions for a Group Winning a Competition in a Three-Dimensional Discrete Competitive System[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2017, 39(7): 124-129. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2017.07.019

离散型三维竞争系统中某群体竞争获胜的条件

  • 基金项目: 广州市科技计划项目(2006j1-C0341)
详细信息
    作者简介:

    周志轩(1980-),男,山东金乡人,讲师,主要从事应用数学研究 .

    通讯作者: 杨逢建,教授
  • 中图分类号: O175.13

The Conditions for a Group Winning a Competition in a Three-Dimensional Discrete Competitive System

  • 摘要: 研究了离散型三维竞争系统的模型结构与稳定性,得到了这类竞争系统中各类平衡点的坐标及其性质,获得了系统在某些边界上的平衡点渐近稳定的充分条件和不稳定的充分条件,并由此得到了系统中的某群体在竞争过程中竞争获胜淘汰所有对手的条件和参与竞争的各个群体永不和谐的充分条件.
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出版历程
  • 收稿日期:  2016-04-12
  • 刊出日期:  2017-07-20

离散型三维竞争系统中某群体竞争获胜的条件

    通讯作者: 杨逢建,教授
    作者简介: 周志轩(1980-),男,山东金乡人,讲师,主要从事应用数学研究
  • 广州大学 华软软件学院基础部,广州 510990
基金项目:  广州市科技计划项目(2006j1-C0341)

摘要: 研究了离散型三维竞争系统的模型结构与稳定性,得到了这类竞争系统中各类平衡点的坐标及其性质,获得了系统在某些边界上的平衡点渐近稳定的充分条件和不稳定的充分条件,并由此得到了系统中的某群体在竞争过程中竞争获胜淘汰所有对手的条件和参与竞争的各个群体永不和谐的充分条件.

English Abstract

  • 研究单种群生物群体的渐近稳定性由来已久[1-5].近年来人们发现,生物种群的竞争模型同样能反映相关经济实体(如企业集群、学校、医院等)在特定地理位置聚集而形成的竞争.连续型多维竞争模型[6-9]只能粗略地反映客观系统,所获结论很难在客观实际中得到应用.为保留连续型竞争模型的竞争特点而消除系统误差,杨逢建等人[5, 10]对一维、二维离散型竞争系统进行了研究,建立了相关模型并获得了平衡点的渐近稳定性,由此得到了参与竞争的各群体和谐相处的条件(共生条件)、某群体在竞争中消亡的条件(淘汰条件)、竞争过程中各群体优势与劣势发生转化的条件(逆转条件),等等.

    本文讨论与连续型三维竞争系统对应的离散型三维竞争系统

    其中:xnynzn分别表示在一定区域内竞争同种自然资源的生物群体的即时存量,或处于相同经济层次的第i(i=1,2,3) 个集群企业拥有的各种要素总量(如劳动力、资本、市场规模、技术、原材料等);a1a2a3分别表示3个生物群体在理想状态下的生命系数,在经济学中它们表示理想环境下各群体的最大产出增长率;b11b22b33分别表示3个群体的内部竞争系数;bij(ijij=1,2,3) 表示群体i与群体j之间的竞争系数.根据竞争模型的特点,aibij(ij=1,2,3) 均大于0.

    本文先讨论竞争系统(1) 的平衡点的坐标与性质,然后借助一系列辅助平面讨论某些平衡点的渐近稳定性,由此得到系统(1) 中某群体在竞争过程中将竞争对手淘汰使自身达到最大可能数量(饱和量)的条件,和系统中各群体永不和谐(无法达到正平衡)的条件.

  • 下文中记

    定理1(ⅰ) 系统(1) 有平衡点O(0,0,0), ${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right),$ ${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right),$ ${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_33}}}} \right),$ ${Q_1}\left( {0,\frac{{{a_2}{b_{33}} - {a_3}{b_{23}}}}{{{b_{22}}{b_{33}} - {b_{23}}{b_{32}}}},\frac{{{a_3}{b_{22}} - {a_2}{b_{32}}}}{{{b_{22}}{b_{33}} - {b_{23}}{b_{32}}}}} \right),$ ${Q_2}\left( {\frac{{{a_1}{b_{33}} - {a_3}{b_{13}}}}{{{b_{11}}{b_{33}} - {b_{13}}{b_{31}}}},0,\frac{{{a_3}{b_{11}} - {a_1}{b_{31}}}}{{{b_{11}}{b_{33}} - {b_{13}}{b_{31}}}}} \right),$ ${Q_3}\left( {\frac{{{a_1}{b_{22}} - {a_2}{b_{12}}}}{{{b_{11}}{b_{22}} - {b_{12}}{b_{21}}}},\frac{{{a_2}{b_{11}} - {a_1}{b_{21}}}}{{{b_{11}}{b_{22}} - {b_{12}}{b_{21}}}},0} \right)$ $R\left( {\frac{{{D_1}}}{D},\frac{{{D_2}}}{D},\frac{{{D_3}}}{D}} \right)$ .当某个Di=0而Dj≠0(ji)时点RQi重合i=1,2,3.

    (ⅱ)当群体Ⅱ和Ⅲ都被淘汰时,群体Ⅰ有饱和量 $\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}}$ ,在经济学中它表示第Ⅰ个竞争群体的资源最大可能数量;同理,当群体Ⅰ和Ⅲ都被淘汰时,群体Ⅱ有饱和量 $\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}}$ ;当群体Ⅰ和Ⅱ都被淘汰时,群体Ⅲ有饱和量 $\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}$ .

    (ⅲ)系统(1) 中的3个群体永不和谐(达不到正平衡)的充分条件是 $\frac{{{D_i}}}{D}\left( {i = 1,2,3} \right)$ 至少有一个不存在或 $\frac{{{D_i}}}{D} \geqslant 0\left( {i = 1,2,3} \right)$ 不同时成立.

     设系统(1) 的3个群体趋于平衡状态(XYZ),即有

    令(1) 式两端n→∞取极限得

    由方程组(4) 可解出(1) 式的平衡点.

    $\frac{{{D_i}}}{D}\left( {i = 1,2,3} \right)$ 至少有一个不存在或 $\frac{{{D_i}}}{D} \geqslant 0\left( {i = 1,2,3} \right)$ 不同时成立时,系统(1) 没有正平衡点,故系统永远无法达到正平衡.

    定理2 平衡点O(0,0,0) 是不稳定的.

     由于aibij(ij=1,2,3) 均大于0,故平面

    中每个平面与坐标轴的交点都在正半轴上.这3个平面与3个坐标平面在第一卦限围成一个闭区域Ω1.在区域Ω1上,有

    且只要点(xnynzn)不与原点重合,等号就不同时成立,故xn+1xnyn+1ynzn+1zn至少有一个成立.因此,只要初始值(x0y0z0)的3个分量不全为0,则解序列中的点(xnynzn)的3个分量也会不全为0,即平衡点O(0,0,0) 是不稳定的.

  • 以下作如下假设:

    (H1) ${A_1} = {\text{max}}\left\{ {\frac{{{a_2}}}{{{b_{23}}}},\frac{{{a_1}}}{{{b_{13}}}}} \right\} < \frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant {\text{min}}\left\{ {\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}},\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}} \right\}$ ,由平面z=A1x=0,y=0和π3所围成的位于第一卦限的闭区域记为Ω2.

    (H2) ${A_2} = {\text{max}}\left\{ {\frac{{{a_3}}}{{{b_{32}}}},\frac{{{a_1}}}{{{b_{12}}}}} \right\} < \frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}} \leqslant {\text{min}}\left\{ {\frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{32}}}},\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{12}}}}} \right\}$ ,由平面y=A2x=0,z=0和π2所围成的位于第一卦限的闭区域记为Ω3.

    (H3) ${A_3} = {\text{max}}\left\{ {\frac{{{a_3}}}{{{b_{31}}}},\frac{{{a_2}}}{{{b_{21}}}}} \right\} < \frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}} \leqslant {\text{min}}\left\{ {\frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{31}}}},\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{21}}}}} \right\}$ ,由平面x=A3y=0,z=0和π1所围成的位于第一卦限的闭区域记为Ω4.

    显然,由A1>0,π3与三坐标轴都交于正半轴可知,区域Ω2是正不变的.同理,区域Ω3Ω4也是正不变的.

    定理3 (ⅰ)设系统(1) 满足假设(H1),a3≤1, $\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{32}}}} < \frac{{1 + {a_1} - {b_{13}}{A_1}}}{{{b_{12}}}},\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{31}}}} < \frac{{1 + {a_2} - {b_{23}}{A_1}}}{{{b_{21}}}}$ ,则平衡点 ${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}} \right)$ 对于区域Ω2是渐近稳定的.

    (ⅱ)设系统(1) 满足假设(H2), $\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{23}}}} < \frac{{1 + {a_1} - {b_{12}}{A_2}}}{{{b_{13}}}},\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{21}}}} < \frac{{1 + {a_3} - {b_{32}}{A_2}}}{{{b_{31}}}}$ ,则平衡点 ${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ 对于区域Ω3是渐近稳定的.

    (ⅲ)设系统(1) 满足假设(H3), $\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{13}}}} < \frac{{1 + {a_2} - {b_{21}}{A_3}}}{{{b_{23}}}},\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{12}}}} < \frac{{1 + {a_3} - {b_{31}}{A_3}}}{{{b_{32}}}}$ ,则平衡点 ${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ 对于区域Ω3是渐近稳定的.

     先证明结论(ⅰ).记平面

    平面π4x轴交于点 $\left( {\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ ,与z轴交于 $\left( {0,0,\frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}} \right)$ ;平面π3x轴的交点只能位于饱和点 ${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ 与原点之间,由此和条件 $\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}$ 可知,π4xoz平面在第一象限的交线位于π3xoz平面在第一象限的交线的上方.又平面π3z=A1yoz平面的交点为 $\left( {0,\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{32}}}},{A_1}} \right)$ ,平面π4z=A1yoz平面的交点为 $\left( {0,\frac{{1 + {a_1} - {b_{13}}{A_1}}}{{{b_{12}}}},{A_1}} \right)$ ,因此当 $\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{32}}}} < \frac{{1 + {a_1} - {b_{13}}{A_1}}}{{{b_{12}}}}$ 时,由 $\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{13}}}}$ 知平面π4与yoz平面的交线对应于 ${A_1} \leqslant z \leqslant \frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}$ 那一段位于π3yoz平面的交线对应那一段的上方.

    由以上讨论可知,平面π3π4在区域Ω2不相交.

    平面π5z轴交于点 $\left( {0,0,\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}}} \right)$ ,与y轴交于 $\left( {0,\frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ ;平面π3y轴的交点只能位于饱和点 ${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ 与原点之间,由此和条件 $\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}}$ 可知π5yoz平面在第一象限的交线位于π3yoz平面在第一象限的交线的上方.又平面π3z=A1xoz平面的交点为 $\left( {\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{31}}}},0,{A_1}} \right)$ ,平面π5z=A1xoz平面的交点为 $\left( {\frac{{1 + {a_2} - {b_{23}}{A_1}}}{{{b_{21}}}},0,{A_1}} \right)$ ,因此当 $\frac{{{a_3} - {b_{33}}{A_1}}}{{{b_{31}}}} < \frac{{1 + {a_2} - {b_{23}}{A_1}}}{{{b_{21}}}}$ 时,由 $\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{23}}}}$ 知平面π5xoz平面的交线对应于 ${A_1} \leqslant z \leqslant \frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}$ 那一段位于π3xoz平面的交线对应那一段的上方.所以平面π3π5在区域Ω2不相交.

    因此,区域Ω2位于平面π1π2的上方,平面π3π4π5的下方,故对于任意初值点(x0y0z0)∈Ω2,有

    由(10) 式和(1) 式可得

    由于a3≤1,在a3-b31x0-b32y0-b33z0≥0两边同乘以1-a3,得

    由于

    由上式有

    由此和(10) 式的前两式有

    由(11) 和(12) 式可知,点(x1y1z1)∈Ω2.递推可知,只要系统(1) 的某个数量点(xkykzk)∈Ω2,则有(xk+1yk+1zk+1)∈Ω2,由Ω2是一个有界闭域知,序列{xn},{yn},{zn}均有界.当nk时,序列{xn},{yn}均单调递减,序列{zn}单调递增,因而由单调有界准则知3个序列均存在极限.又系统在此区域上只有一个平衡点 ${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}} \right)$ ,因此

    所以,平衡点 ${P_3}\left( {0,0,\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}} \right)$ 对于区域Ω2是渐近稳定的.

    结论(ⅱ)的证明与结论(ⅰ)类似,但需考虑平面

    利用与(ⅰ)类似的方法,由条件 $\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_1}}}{{{b_{12}}}}$ $\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{23}}}} < \frac{{1 + {a_1} - {b_{12}}{A_2}}}{{{b_{13}}}}$ 可以证明,平面π2π4在区域Ω3不相交;由条件 $\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{32}}}},\frac{{{a_2} - {b_{22}}{A_2}}}{{{b_{21}}}} < \frac{{1 + {a_3} - {b_{32}}{A_2}}}{{{b_{31}}}}$ 可以证明,平面π2π6在区域Ω3不相交.由此可知,区域Ω3位于平面π1π3的右方、平面π2π4π6的左方.由此和条件a2≤1利用前面类似的方法可以证明:只要系统(1) 的某个数量点(xkykzk)∈Ω3,则有(xk+1yk+1zk+1)∈Ω3,由Ω3是一个有界闭域知,序列{xn},{yn},{zn}均有界.且当nk时,序列{xn},{zn}均单调递减,序列{yn}单调递增,因而由单调有界准则知3个序列均存在极限.又系统在此区域只有一个平衡点 ${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ ,因此平衡点 ${P_2}\left( {0,\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}},0} \right)$ 对于区域Ω3是渐近稳定的.

    结论(ⅲ)的证明也与结论(ⅰ)类似,由条件 $\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_2}}}{{{b_{21}}}}$ $\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{13}}}} < \frac{{1 + {a_2} - {b_{21}}{A_3}}}{{{b_{23}}}}$ 可以证明,平面π1π5在区域Ω4不相交;由条件 $\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}} \leqslant \frac{{1 + {a_3}}}{{{b_{31}}}}$ $\frac{{{a_1} - {b_{11}}{A_3}}}{{{b_{12}}}} < \frac{{1 + {a_3} - {b_{31}}{A_3}}}{{{b_{32}}}}$ 可以证明,平面π1π6在区域Ω4不相交.因此,区域Ω4位于平面π2π3的前方、平面π1π5π6的后方.由此和条件a1≤1利用与(ⅰ)类似的方法可以证明:只要系统(1) 的某个点(xkykzk)∈Ω4,则有(xk+1yk+1zk+1)∈Ω4,由Ω4是一个有界闭域知,序列{xn},{yn},{zn}均有界.且当nk时,序列{yn},{zn}均单调递减,序列{xn}单调递增,因而由单调有界准则知3个序列均存在极限.又系统在此区域只有一个平衡点 ${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ ,因此平衡点 ${P_1}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}},0,0} \right)$ 对于区域Ω4是渐近稳定的.

    由定理2和定理3,可知三维离散型竞争系统(1) 满足如下规律:

    推论 (ⅰ)设竞争系统(1) 满足定理3条件(ⅰ),若系统(1) 中3个群体的某个数量点落入区域Ω2,则群体Ⅰ和群体Ⅱ将被淘汰,群体Ⅲ将趋于饱和量 ${\frac{{{a_3}}}{{{b_{33}}}}}$ .

    (ⅱ)设竞争系统(1) 满足定理3条件(ⅱ),若系统(1) 中3个群体的某个数量点(xnynzn)落入区域Ω3,则群体Ⅰ和群体Ⅲ将被淘汰,群体Ⅱ将趋于饱和量 ${\frac{{{a_2}}}{{{b_{22}}}}}$ .

    (ⅲ)设竞争系统(1) 满足定理3条件(ⅲ),若系统(1) 中3个群体的某个数量点(xnynzn)落入区域Ω4,则群体Ⅱ和群体Ⅲ将被淘汰,群体Ⅰ将趋于饱和量 ${\frac{{{a_1}}}{{{b_{11}}}}}$ .

参考文献 (10)

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