基于梯度变换耦合最优似然法则的图像修复算法过程见图 1.该算法通过构造的置信度获取优先权因子，从待修补块集合中获取优先修补块，确定各修补块之间的修补顺序；接着利用尺寸选择模型对优先修补块的尺寸进行调整；然后，再利用余弦度量模型以及相似度量模型来设计最优似然法则，从源区域中搜索最优匹配块，完成图像的修复.

在一幅图像I中，用Ω表示破损区域，用θ表示源区域.源区域与破损区域的边界线用∂Ω表示，根据Criminisi算法^[7]，对于边界线∂Ω上任意一个以像素点k为中心的待修补块f(k)，其对应的优先权因子可以表述为

D(k)为数据项，反应了f(k)邻域的结构特征^[8]，

其中，n_k是单位法线向量，$\nabla I_k^ \bot $是k点的等照度线方向，α为归一化因子^[9].

C(k)为置信度，反应了f(k)中已知像素所占的比重，

其中，|f(k)|表示待修补块f(k)的面积大小.

当$\nabla I_k^ \bot $与n_k为垂直关系时，D(k)为0，根据式(1)可知，此时的P(k)为0，待修补块将不会得到填充修复，从而导致修复图像质量下降，而且在修复算法的反复迭代过程中，置信度C(k)也会降为0，从而难以确保修补块之间的修复顺序^[10].因此，需要改进优先权因子，提高修复质量.根据Criminisi算法可知，待修复块的优先级对整个图像的复原质量影响最大，特别是信息结构较强(对应的D(k)值较大)的图像.如果优先修复D(k)值较大的图像块，就可以明确修复的方向，提高图像的复原质量.因此，为了防止D(k)为0，确保D(k)值的子块修复优先级，在式(1)的基础上增加D(k)的比重来改进优先权因子：

其中，w＞0为权重系数.

通过多次修复实验，当系数w=7时，可获得理想的修复质量.根据式(4)可知，即使出现了$\nabla I_k^ \bot $与n_k正交的情况，优先权因子P(k)仍不为0.

同时，为了防止C(k)在反复迭代过程中为0，本文约束其按照边缘变化最强的方向进行修复，利用待修复像素点k的邻域方向特征来改进置信度，其表述如下：

其中，‖f(k)‖表示f(k)中的像素总和，NU表示k邻域内多个方向上的有效像素点总和，其示意图如图 2所示.

综合式(4)和式(5)，可得最终改进的优先权因子为

再利用式(6)对以边界线∂Ω上的像素点为中心的待修补块进行计算，选取P(k)最大值对应的待修补块作为优先修补块.

通过式(6)选取的优先修补块尺寸都为固定值，其尺寸一般为9×9像素.在图像修复过程中，对于纹理结构较为丰富的区域，如果采用过大的修补块尺寸，将会导致边界修复错误^[11].而在平滑的区域，如果采用过小的修补块尺寸，将会出现块效应^[12].因此，为了克服修复图像出现块效应等不足，提高修复图像的质量，需要对待修补块的尺寸进行调整.

由于图像区域信息量可以通过梯度变换∇I(k)来反映，因此，本文利用像素点梯度变换来构造尺寸选择模型，对待修补块的尺寸进行调整^[13].对于像素点k，当其梯度变换为∇I(k)时，其尺寸选择模型为^[14]

其中，round(·)表示四舍五入取整函数.根据像素点对应的梯度变换即可对待修复块的尺寸进行自适应调整，从而确定合适大小的待修补块.

确定了待修补块的尺寸后，从源区域中搜索出最优匹配块，对待修补块进行填充修复.本文采用修补块f(k)与匹配块h(j)的内积关系来构造余弦度量模型，再利用二者的距离关系来构造相似度量模型.通过余弦度量模型以及相似度量模型来建立最优似然法则，完成最优匹配块的搜索.

设B为包含了待修补块f(k)全部信息的矩阵，C为包含了匹配块h(j)全部信息的矩阵^[15].此时，待修补块与匹配块的内积关系可表述为^[16-17]

其中，Tr()代表了矩阵中主对角线上的元素之和.

再利用修补块与匹配块的内积关系来构造余弦度量模型，则

其中，‖·‖代表范数.

修补块f(k)与匹配块h(j)高斯加权距离的平方为‖f(k)-h(j)‖_2，a²，通过f(k)与h(j)的这种距离关系，本文构造了相似度量模型：

其中，g为权重因子；DS为源区域中像素点对应的归一化因子，

通过(9)式可知，当S的值越趋于1时，表示修补块f(k)与匹配块h(j)的相似度最高，而越趋于-1时表示相似度最低^[18].由(10)式可知，当S_r(S_r∈[0, 1])的值越大时，表示修补块f(k)与匹配块h(j)具有更高的灰度相似性^[19].

对此，本文利用余弦度量模型以及相似度量模型建立最优似然法则，从源区域中搜索最优匹配块.将余弦度量模型作为粗匹配条件，从源区域选取候选最优匹配块，再利用相似度量模型作为精匹配条件，选取最优匹配块.最优似然法则定义如下：

对于待修补块f(k)与源区域中的任意匹配块h(j)，将它们通过(9)式进行余弦度量，若f(k)与h(j)的余弦度量值S大于预定阀值Tc，则将h(j)视为候选最优匹配块.接着再将f(k)与h(j)通过(10)式进行相似度量，若相似度量值大于预定阀值Te，则判定h(j)为f(k)对应的最优匹配块，可利用h(j)对f(k)进行填充修复.

为了体现所提算法的先进性，将文献[20]和文献[21]作为对照组.其中，文献[20]是利用TV模型与演化算法来实现破损区域的复原，TV模型是图像修复领域中最常用的方法之一，得到了诸多学者的认可，而且此文献对TV模型进行了改进，进一步提升了修复质量.文献[21]则是通过设计新的结构张量，将其引入到待修复子块的优先权中，通过搜索最优匹配块来提高修复质量，结构张量在当前图像修复领域中应用较为广泛，该技术能够重点捕获人眼感知敏感的内容，获取丰富的局部信息.实验测试环境为IntelCore i3，2.2 GHz处理器，4 GB内存，操作系统为Windows 7，仿真工具为MATLAB 7.10.

图 3、图 4为不同算法对文字破损图像、划痕破损图像的修复效果.从图 3可知，对于文字破损图像，3种算法都具有良好的修复质量.但是通过对比可知，文献[20]的修复图像中存在一定的修复残留效应，文献[21]的修复图像中存在块效应，而本文算法的修复质量更好，其复原图像中不存在此类效应.从图 4可知，对于划痕破损图像的修复，3种算法同样具有可接受的修复质量.但是进一步放大修复区域发现，文献[20]中算法修复区域放大图中存在一定的残留效应以及模糊效应，文献[21]中算法修复区域放大图中存在一定的阶梯效应以及不连续效应，分别见图 4(d)、图 4(f)；而本文算法具备更高的修复质量，无间断效应与块效应，见图 4(h).这些测试结果说明本文算法在对破损图像进行修复时，不仅能够完整地修复破损区域，而且还能较好地抑制不连续效应以及阶梯效应等缺陷，使得修复图像具有更好的视觉效果.

结构相似性(SSIM，structural similarity index)是客观评估修复图像质量的常用指标，结构相似性越高，则表明修复的图像质量越好^[22].以图 5为目标，对其设置不同程度的破损后，利用本文算法以及对照组算法对图像进行修复，并且计算每种算法对应的修复前后图像之间的相似度，结果见图 6.由图 6可知，本文算法具有更高的结构相似性，说明本文算法修复的图像具有更高的质量.原因是本文首先对优先修补块进行选择，确保了修复过程的合理进行，提高了修复图像的质量.同时，本文还利用尺寸选择模型对待修补块的尺寸进行合理的调整，避免了修复图像出现块效应以及不连续效应，通过最优似然法则来获取最优匹配块，确保了修复的正确性.

依据本文图像修复算法的描述可知，其复杂度主要包含3部分：优先权的计算、修复子块尺寸的调整，以及基于最优似然法则的最优匹配块搜索.其中，优先权的计算的复杂度为O(t×a)，t为待修复块的数量，a为每个子块∂Ω边界线上像素点的数量.修复子块尺寸调整的复杂度为O(t×mn)，其中，mn为每个修复块的尺寸；最优匹配块搜索的复杂度为O(t×mn).因此，本文所提出的图像修复技术总的复杂度为O(2t×mn+t×a).文献[20]利用TV模型来修复图像的复杂度为O(M×N)，其中，M×N为破损图像区域的尺寸；文献[21]与所提算法有点类似，其复杂度主要来源于优先权计算与最优匹配块搜索，故其复杂度为O(t×a+t×mn).可见，在相同的破损区域情况下，有t×mn=M×N，因此，所提图像修复算法的复杂度要高于文献[20]、文献[21].

以图 3(b)为样本，利用这3种算法对其进行修复，记录三者的耗时，结果见表 1.由表可知，本文算法的修复效率要低于文献[20]、文献[21]，其中，文献[20]的修复速度最快，仅为7.26 s，而本文算法的时耗为10.72 s.这与前面的理论分析相吻合.

虽然所提算法的修复效率要低于文献[20]、文献[21]，但是三者相差不大，且其修复质量要远高于文献[20]、文献[21]，尤其是在大面积损伤的情况下，优势更加明显.因此，从兼顾修复质量与效率等方面来综合考虑，所提算法要优于文献[20]、文献[21].

通过利用像素点的梯度变换，本文提出了一种基于梯度变换耦合最优似然法则的图像修复算法.为了确保合理的修复顺序，利用像素点对应的邻域特征构造了置信度，从而形成了优先权因子，以选取优先修补块.随后，利用像素点的梯度变换建立尺寸选择模型，对待修补块的尺寸进行调整，克服了修复过程中产生的不连续效应以及块效应.同时，利用余弦度量模型以及相似度量模型建立最优似然法则，通过余弦度量模型进行粗匹配，再利用相似度量模型对粗匹配结果进行提纯，选取了最优匹配块.再利用最优匹配块对待修补块进行填充修复，实现了图像的修复.最后通过实验证明了本文所提算法的有效性.